狄拉克δ函数

δ函數的圖形通常可以視為整條x軸和正y軸。雖然稱為函數，但δ函數並非真正的函數，至少它的值域不在實數以內。例如，f(x) = δ(x)和g(x) = 0這兩個數學對象除了在x = 0以外都有相同的值，但其積分卻不相同。根據勒貝格積分理論，若f和g為函數，使得f = g幾乎處處成立，則f可積當且僅當g可積且f和g的積分相同。要嚴謹處理δ函數，須用到測度論或分佈。

δ函數可以代表一個既高又窄的尖峰函數（脈衝），用以描述點電荷和質點等抽象化的概念。舉例來說，要描述球桿擊球的動力學問題，可以用δ函數描述擊球那一刻的力。不但各種方程式會因此簡化，而且只需球桿傳遞的總衝量就能算出球擊出後的運動，而不須考慮球桿向球傳遞能量的複雜具體情況。

在應用數學中，δ函數往往能看作是某函數序列的極限（弱極限），該序列中的每一項都在原點處有一個尖峰，例如以零為中心、方差趨向零的高斯分佈序列。

約瑟夫·傅利葉在他的《熱分析理論》（法語：）中呈現了以下的方程式，今天稱為傅里葉積分定理：

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\ \ d\alpha f(\alpha )\ \int _{-\infty }^{\infty }dp\ \cos(px-p\alpha )\ ,}$

這相当于以這種方式引入了δ函數：

${\displaystyle \delta (x-\alpha )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }dp\ \cos(px-p\alpha )\ .}$

之後，奧古斯丁·路易·柯西用指數函數表達了這一定理：

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\ e^{ipx}\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ip\alpha }f(\alpha )\ d\alpha \right)\ dp.}$

柯西指出，在某些情況下，積分的計算順序會影響計算結果。

分佈理論允許重新排列柯西方程式，使它更接近以上傅里葉的方程式：

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{ipx}\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ip\alpha }f(\alpha )\ d\alpha \right)\ dp\\&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{ipx}e^{-ip\alpha }\ dp\right)f(\alpha )\ d\alpha =\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x-\alpha )f(\alpha )\ d\alpha ,\end{aligned}}}$

其中δ函數可表達為：

${\displaystyle \delta (x-\alpha )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{ip(x-\alpha )}\ dp\ .}$

在接下來的幾個世紀，數學家才逐漸理解這一指數形式的嚴謹含義，以及方程式中的函數f所需的條件。用舊有的數學觀念來理解，會有以下的問題：

經典傅里葉變換的最大缺點在於，能夠有效計算的只有很狹窄的一類函數。這些函數必須（在無限的鄰域內）足夠快地降至零，才能保證傅里葉積分值的存在。例如，連多項式這種如此簡單的函數，也不存在經典意義上的傅里葉變換。經典傅里葉變換擴展至分佈，大大增加了能夠進行變換的函數類型，移除了諸多障礙。

之後，米歇爾·普朗歇爾（Michel Plancherel）開創性的L²理論（1910年）、諾伯特·維納和薩洛蒙·博赫納（Salomon Bochner）的貢獻（1930年前後）以及最後洛朗·施瓦茨歸納這一切的分佈理論（1945年）進一步推廣了傅里葉積分，並建立了狄拉克δ函數的嚴格定義。

1827年，柯西首次明確寫下一個無限高的單位脈衝函數（柯西分佈的無限小版本）。西莫恩·德尼·帕松和古斯塔夫·基爾霍夫之後在研究波傳播的時候，考慮過這一函數。基爾霍夫與赫爾曼·馮·亥姆霍茲將單位脈衝描述為高斯分佈的極限，這也符合開爾文勳爵對點熱源的描述。19世紀末，奧利弗·黑維塞利用形式上的傅里葉級數對單位脈衝進行操作。1930年，保羅·狄拉克在影響深遠的《量子力學原理》中引入了δ函數作為一種「方便的記號」，故此該函數今天以他命名。

籠統地來說，δ函數是在實數線上的一個函數，在原點上無限，在所有其他點上為零，

${\displaystyle \delta (x)={\begin{cases}+\infty ,&x=0\\0,&x\neq 0\end{cases}}}$

並同時滿足以下條件

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\,dx=1.}$

這只是一個概略的表述：δ函數並不是一個嚴格意義上的函數，沒有任何定義在實數線上的函數能滿足以上的條件。更嚴謹地來說，δ函數可以定義為分佈或測度。

測度是其中一種嚴謹定義δ函數的方法。作為一個測度，δ函數取一個實線R的子集A，當0 ∈ A時輸出δ(A) = 1，否則δ(A) = 0。如果把δ函數想象成位於0的一個理想化的質點，則δ(A)代表集合A所包含的質量。一個函數相對於δ的積分便可以定義為相對於這個測度的勒貝格積分。對於所有連續緊支撐函數f，這一積分滿足：

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta \{dx\}=f(0).}$

測度δ相對於勒貝格測度不絕對連續，它其實是一個奇異測度。因此，它並不具有拉東-尼科迪姆導數，也就是不存在滿足以下條件的函數δ：

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\delta (x)\,dx=f(0).}$

雖然這種寫法仍非常常見，但是它實際上只是一種方便的記號，而不是任何有良好定義的（黎曼或勒貝格）積分。

作為R上的概率測度，狄拉克測度可以通過它的累積分佈函數──單位階躍函數──來定義：

${\displaystyle H(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x\geq 0\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$

換句話說，H(x)是積累指示函數1_{(−∞, x]}相對於測度δ的積分：

${\displaystyle H(x)=\int _{\mathbf {R} }\mathbf {1} _{(-\infty ,x]}(t)\,\delta \{dt\}=\delta (-\infty ,x].}$

δ函數相對於一個連續函數的積分可以通過黎曼－斯蒂爾傑斯積分嚴格定義：

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\delta \{dx\}=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dH(x).}$

δ函數的所有更高矩都是零。其特徵函數和矩母函數都等於1。

在分佈理論中，一個廣義函數並不像普通函數一樣直接定義，而是在它相對其他函數積分的時候，以它如何影響這一積分來定義。沿著這條思路，只須定義δ函數相對某個足夠「良好」的測試函數的「積分」就足夠了。如果δ函數已經定義為測度，則這種積分可以是測試函數相對於這δ測度的勒貝格積分。

測試函數空間一般可包括所有${\displaystyle \mathbf {R} }$上的緊支撐光滑函數。作為一個分佈，δ函數是在測試函數空間上的線性泛函，定義為

${\displaystyle \forall \varphi ,\delta =\varphi (0).}$

(1)

若要使δ成為一個正式的分佈，它必須要在測試函數空間上相對某個合適拓撲為連續的。在測試函數空間上的線性泛函${\displaystyle S}$要能夠良好定義一個分佈，其必要和充分條件是，對於每個正整數${\displaystyle N}$，有整數${\displaystyle M_{N}}$和常數${\displaystyle C_{N}}$，使得對每個測試函數${\displaystyle \varphi }$，以下不等式都成立：

${\displaystyle |S|\leq C_{N}\sum _{k=0}^{M_{N}}\sup _{x\in }|\varphi ^{(k)}(x)|.}$

當${\displaystyle S}$就是δ分佈時，对所有的${\displaystyle N}$取${\displaystyle C_{N}=1,M_{N}=0}$，就能滿足這條不等式。因此，δ是級數為零的分佈。它也是一個緊支撐分佈，其支撐集是${\displaystyle \{0\}}$。

δ分佈有幾種等價的定義。例如，它是黑維塞階躍函數的分佈導數，也就是說，對於任何測試函數${\displaystyle \varphi }$，

${\displaystyle \delta =-\int _{-\infty }^{\infty }\varphi '(x)H(x)\,\mathrm {d} x.}$

直觀而言，如果允許分部積分法，以上的積分就會簡化為

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)H'(x)\,\mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\delta (x)\,\mathrm {d} x.}$

而利用黎曼－斯蒂尔杰斯积分的分部积分法可以得到

${\displaystyle -\int _{-\infty }^{\infty }\varphi '(x)H(x)\,\mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,\mathrm {d} H(x).}$

在测度论中，狄拉克測度通過積分產生分佈。相反，公式(1)在所有緊支撐連續函數${\displaystyle \varphi }$空間上定義了一個Daniell積分，且根據里斯表示定理，該積分可以表示為${\displaystyle \varphi }$相對於某拉東測度的勒贝格积分。

當講到「狄拉克δ函數」時，一般指的是分佈，而不是測度。因此一些文獻也會稱之為「狄拉克δ分佈」。測度論中相對應的概念則稱為狄拉克測度。

在n維歐幾里得空間Rⁿ中，狄拉克δ函數可以定義為一個測度，使得對於所有緊支撐連續函數f，滿足

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )\delta \{d\mathbf {x} \}=f(\mathbf {0} ).}$

作為一個測度，n維δ函數是每個獨立變量的1維δ函數的積測度。也就是說，若x = (x₁, x₂, ..., x_n)，則

${\displaystyle \delta (\mathbf {x} )=\delta (x_{1})\delta (x_{2})\cdots \delta (x_{n}).}$

(2)

上文的1維δ分佈也存在n維推廣。儘管在物理學和工程學中應用廣泛，公式(2)還是必須小心使用，因為多個分佈的積只有在較狹窄的條件下才有良好的定義。

狄拉克測度這個概念可以定義在任何集合上。設X是集合，x₀ ∈ X，Σ為X子集上的任何σ-代数，則對每個集合A ∈ Σ可以定義測度：

${\displaystyle \delta _{x_{0}}(A)={\begin{cases}1&{\text{if }}x_{0}\in A\\0&{\text{if }}x_{0}\notin A\end{cases}}}$

這就是單位質量集中在x₀處的狄拉克測度。

δ函數也可以推廣至微分流形，由於具有微分結構，因此能保留它作為分佈的一些性質。流形M上以x₀ ∈ M為中心的δ函數可定義為以下分佈：

${\displaystyle \delta _{x_{0}}=\varphi (x_{0})}$

(3)

對於所有M上的緊支撐光滑實數值函數φ。一個常見的特殊情況是，M是歐幾里得空間Rⁿ中的一個開集。

在局部緊豪斯多夫空間X中，集中在點x的狄拉克測度是對應於對緊支撐連續函數φ的Daniell積分(3)的拉東測度。推廣到這一層次，已經無法進行普通的微積分，不過仍然可以使用抽象分析中的許多工具。例如，映射${\displaystyle x_{0}\mapsto \delta _{x_{0}}}$是把X嵌入到包含所有在X上的有限拉東測度的空間（具有淡拓撲）的一個連續函數。而且，X在這一嵌入下的值域的凸包，在在X上的概率測度空間中是一個稠密集。

對非零純量${\displaystyle \alpha }$，δ函數有以下縮放性質：

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (\alpha x)\,\mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (u)\,{\frac {\mathrm {d} u}{|\alpha |}}={\frac {1}{|\alpha |}}}$

所以

${\displaystyle \delta (\alpha x)={\frac {\delta (x)}{|\alpha |}}.}$

(4)

δ函數是一個偶分佈，也就是說

${\displaystyle \delta (-x)=\delta (x).}$

因此δ函數屬於−1階齊次函數。

δ和${\displaystyle x}$的分佈積等於零：

${\displaystyle x\delta (x)=0.}$

相反，若${\displaystyle xf(x)=xg(x)}$，其中${\displaystyle f}$和${\displaystyle g}$為分佈，則存在常數${\displaystyle c}$使得

${\displaystyle f(x)=g(x)+c\delta (x).}$

延時δ函數的積分為：

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\delta (t-T)\,\mathrm {d} t=f(T).}$

因此δ函數有「篩選」或「採樣」的功能──可以篩選出函數在${\displaystyle t=T}$的值。

可以推論，函數${\displaystyle f(t)}$與延時δ函數卷積後會受到延時：

${\displaystyle (f(t)*\delta (t-T))\,}$	${\displaystyle \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\delta (t-T-\tau )\,\mathrm {d} \tau }$
	${\displaystyle =\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\delta (\tau -(t-T))\,\mathrm {d} \tau }$ （利用(4)：${\displaystyle \delta (-x)=\delta (x)}$）
	${\displaystyle =f(t-T).}$

這必須在${\displaystyle f}$是緩增分佈的前提下才會成立（見下文關於傅里葉變換的討論）。以一個特殊情況為例，有恆等式如下（把δ視為分佈）

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (\xi -x)\delta (x-\eta )\,\mathrm {d} x=\delta (\xi -\eta ).}$

更一般地來說，δ分佈可以和光滑函數${\displaystyle g(x)}$復合，使得熟悉的變量更換公式成立：

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} }\delta {\bigl (}g(x){\bigr )}f{\bigl (}g(x){\bigr )}|g'(x)|\,\mathrm {d} x=\int _{g(\mathbf {R} )}\delta (u)f(u)\,\mathrm {d} u}$

條件是${\displaystyle g}$為連續可微函數且處處非零。換言之，${\displaystyle \delta \circ g}$作為一個分佈具有唯一的定義，使得這條恆等式對於一切緊支撐測試函數f都成立。因此，定義域必須切割開來，排除${\displaystyle g'=0}$這一點。如果${\displaystyle g}$處處非零，那麼此分佈滿足${\displaystyle \delta (g(x))=0}$；否則如果${\displaystyle g}$在${\displaystyle x_{0}}$處有一個實數根，則

${\displaystyle \delta (g(x))={\frac {\delta (x-x_{0})}{|g'(x_{0})|}}.}$

很自然地，對連續可微函數${\displaystyle g}$，可以把${\displaystyle \delta (g(x))}$「定義」為

${\displaystyle \delta (g(x))=\sum _{i}{\frac {\delta (x-x_{i})}{|g'(x_{i})|}}}$

其中求和跑遍${\displaystyle g(x)}$的所有根，這些根都假設為單根。比如，

${\displaystyle \delta \left(x^{2}-\alpha ^{2}\right)={\frac {1}{2|\alpha |}}{\Big }.}$

δ分佈的廣義縮放特性，用積分寫出：

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (g(x))\,dx=\sum _{i}{\frac {f(x_{i})}{|g'(x_{i})|}}.}$

δ分佈在${\displaystyle n}$維空間中的縮放性質如下：

${\displaystyle \delta (\alpha \mathbf {x} )=|\alpha |^{-n}\delta (\mathbf {x} )}$

從而δ是一個${\displaystyle n}$階齊次分佈。δ分佈在任何鏡射和旋轉${\displaystyle \rho }$下不變：

${\displaystyle \delta (\rho \mathbf {x} )=\delta (\mathbf {x} ).}$

和單變量時一樣，可以唯一地定義δ與雙利普希茨函數${\displaystyle g:\mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R} ^{n}}$的復合，使得恆等式

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{n}}\delta (g(\mathbf {x} ))\,f(g(\mathbf {x} ))\,|\det g'(\mathbf {x} )|\,\mathrm {d} \mathbf {x} =\int _{g(\mathbf {R} ^{n})}\delta (\mathbf {u} )f(\mathbf {u} )\,\mathrm {d} \mathbf {u} }$

對於所有緊支撐函數${\displaystyle f}$成立。

利用幾何測度論中的餘面積公式，可以定義δ函數與從一個歐幾里得空間到另一個不同維度的空間的浸沒的復合，所產生的結果是一種流。在連續可微函數${\displaystyle g:\mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R} ^{n}}$滿足${\displaystyle g}$的梯度處處非零的特殊情況下，以下恆等式成立：

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )\,\delta (g(\mathbf {x} ))\,\mathrm {d} \mathbf {x} =\int _{g^{-1}(0)}{\frac {f(\mathbf {x} )}{|\mathbf {\nabla } g|}}\,\mathrm {d} \sigma (\mathbf {x} )}$

其中右邊的積分範圍是${\displaystyle g^{-1}(0)}$，即${\displaystyle g(\mathbf {x} )=0}$所定義的一個${\displaystyle (n-1)}$維曲面（依閔可夫斯基容度）。這叫做單層（simple layer）積分。

更一般地來說，若${\displaystyle S}$是${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$中的光滑超曲面，則可以把${\displaystyle S}$聯繫到在${\displaystyle S}$上對任何緊支撐光滑函數${\displaystyle g}$積分的分佈：

${\displaystyle \delta _{S}=\int _{S}g(\mathbf {s} )\,\mathrm {d} \sigma (\mathbf {s} )}$

其中${\displaystyle \sigma }$是聯繫到${\displaystyle S}$的超曲面測度。這種推廣與${\displaystyle S}$上的單層位勢的位勢論相關。設${\displaystyle D}$是${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$中具有光滑邊緣${\displaystyle S}$的區域，則${\displaystyle \delta _{S}}$等於${\displaystyle D}$的指示函數的（分佈意義上的）法向導數：

${\displaystyle -\int _{\mathbf {R} ^{n}}g(\mathbf {x} )\,{\frac {\partial 1_{D}(\mathbf {x} )}{\partial n}}\;\mathrm {d} \mathbf {x} =\int _{S}\,g(\mathbf {s} )\;\mathrm {d} \sigma (\mathbf {s} ),}$

其中${\displaystyle n}$是向外法線。

δ函數屬於緩增分佈，所以擁有良好定義的傅里葉變換。正式地說，（在一些傅里葉變換慣例下）有

${\displaystyle {\hat {\delta }}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-2\pi ix\xi }\delta (x)\,dx=1.}$

一個分佈的傅里葉變換的定義是，在緩增分佈與速降函數的對偶配對${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$下，要求傅里葉變換是自伴的。從而，${\displaystyle {\hat {\delta }}}$定義為滿足以下條件的唯一緩增分佈：

${\displaystyle \langle {\hat {\delta }},\varphi \rangle =\langle \delta ,{\hat {\varphi }}\rangle }$

對於一切速降函數φ。從此可推導，的確${\displaystyle {\hat {\delta }}=1}$。

這條恆等式意味著，δ函數與任何其他緩增分佈S的卷積即等於S：

${\displaystyle S*\delta =S.}$

這意味著，δ是緩增分佈上的卷積的單位元。而且，在卷積下的緊支撐分佈空間是一個以δ函數為單位元的結合代數。這在訊號處理應用中尤其重要，因為與緩增分佈的卷積屬於線性非時變系統，而基於δ函數的線性非時變系統可以測量該緩增分佈的脈衝響應。只要對δ作適當的近似，就可以以任意要求的程度算出脈衝響應。一旦知道脈衝響應，就能完全描述整個系統的特征。詳見線性非時變系統理論：脈衝響應和卷積。

緩增函數f(ξ) = 1的反傅里葉變換等於δ函數。更正式地表達，

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }1\cdot e^{2\pi ix\xi }\,d\xi =\delta (x).}$

更嚴謹地來說，有

${\displaystyle \langle 1,f^{\vee }\rangle =f(0)=\langle \delta ,f\rangle }$

對於一切速降函數f。

這樣，δ函數暗示著在R上的傅里葉核的正交性，即：

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{i2\pi \xi _{1}t}\left^{*}\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi (\xi _{2}-\xi _{1})t}\,dt=\delta (\xi _{2}-\xi _{1}).}$

換句話說，緩增分佈

${\displaystyle f(t)=e^{i2\pi \xi _{1}t}}$

的傅里葉變換是

${\displaystyle {\hat {f}}(\xi _{2})=\delta (\xi _{1}-\xi _{2}).}$

這同樣可以通過對傅里葉變換要求自伴性而得出。

利用傅里葉變換的解析延拓，可以得出δ函數的拉普拉斯變換：

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\delta (t-a)e^{-st}\,dt=e^{-sa}.}$

狄拉克δ分佈的分佈導數是一個分佈δ′，它對於所有緊支撐光滑測試函數φ定義為

${\displaystyle \delta '=-\delta =-\varphi '(0).}$

此處第一個等號類似於分部積分，因為若δ是個真正的函數，則

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta '(x)\varphi (x)\,dx=-\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\varphi '(x)\,dx.}$

δ的k階導數的定義大同小異，對任何測試函數φ，

${\displaystyle \delta ^{(k)}=(-1)^{k}\varphi ^{(k)}(0).}$

從而δ是個無限可微分佈。

δ函數的一階微分是差商

${\displaystyle \delta '(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {\delta (x+h)-\delta (x)}{h}}}$

的分佈極限。更準確地說，有

${\displaystyle \delta '=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}(\tau _{h}\delta -\delta )}$

其中τ_h是平移算子，對於函數的定義是τ_hφ(x) = φ(x + h)，而對於分佈S的定義是

${\displaystyle (\tau _{h}S)=S.}$

在電磁學中，δ函數的一階導數代表一個位於原點的點磁偶極，因此也稱為「偶極」或偶函數。 δ函數的導數滿足一些基本性質，包括：

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d}{dx}}\delta (-x)={\frac {d}{dx}}\delta (x)\\&\delta '(-x)=-\delta '(x)\\&x\delta '(x)=-\delta (x).\end{aligned}}}$

這些性質都可以通過對測試函數積分，並運用分部積分法推導而出。

另外，δ′與緊支撐光滑測試函數f的卷積為

${\displaystyle \delta '*f=\delta *f'=f',}$

這來自卷積的分佈導數的性質。

更一般地說，在n維歐幾里得空間Rⁿ中的開集U上，以點a ∈ U為中心的狄拉克δ分佈定義為

${\displaystyle \delta _{a}=\varphi (a)}$

對於一切φ ∈ S(U)，其中S(U)是所有U上的緊支撐光滑函數的空間。若α = (α₁, ..., α_n)是任何多重指標，而∂^α表示相關的混合偏導數算子，則δ_a的α階導數∂^αδ_a是

${\displaystyle \left\langle \partial ^{\alpha }\delta _{a},\varphi \right\rangle =(-1)^{|\alpha |}\left\langle \delta _{a},\partial ^{\alpha }\varphi \right\rangle =\left.(-1)^{|\alpha |}\partial ^{\alpha }\varphi (x)\right|_{x=a}}$

對於一切φ ∈ S(U)。也就是說，δ_a的α階導數是個分佈，它在任何測試函數φ的值等於φ在點a的α階導數（加上合適的正負號）。

δ函數的一階偏導數可以視為沿著坐標平面的雙層。更一般地來講，支撐在一個曲面上的單層的法向導數是在該曲面上的雙層，並表示一個層磁單極。δ函數的更高階導數，在物理學裡稱為多極。

高階導數很自然地能夠建構具有單元素支撐集的分佈的完整結構。若S是任何在U上、支撐集為一個點{a}的分佈，那麼存在整數m和一組係數c_α，使得

${\displaystyle S=\sum _{|\alpha |\leq m}c_{\alpha }\partial ^{\alpha }\delta _{a}.}$

δ函數可以視為一個函數序列的極限：

${\displaystyle \delta (x)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\eta _{\varepsilon }(x),\,}$

其中η_ε(x)有時稱為初生δ函數。這一極限是個弱極限：對於一切緊支撐連續函數f，有

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }\eta _{\varepsilon }(x)f(x)\,dx=f(0)\ }$

(5)

或者，這個極限對於一切緊支撐光滑函數f都存在。這兩種不同的弱收斂模式往往有十分微妙的差異，前者是依測度的淡拓撲收斂，而後者則是分佈的收斂。