谐振子

簡諧振子沒有驅動力，也沒有摩擦（阻尼），所以淨力單純為：

${\displaystyle F=-kx\,}$

利用牛頓第二定律

${\displaystyle F=ma=-kx\,}$

則加速度${\displaystyle a}$等於是${\displaystyle x}$的二次微分導數：

${\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-kx}$

若定義${\displaystyle {\omega _{0}}^{2}=k/m}$，則方程式可以寫為如下：

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+{\omega _{0}}^{2}x=0}$

可以觀察到：

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}={\ddot {x}}={\frac {\mathrm {d} {\dot {x}}}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} x}}={\frac {\mathrm {d} {\dot {x}}}{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} {\dot {x}}}{\mathrm {d} x}}{\dot {x}}}$

然後代回原式得到

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\dot {x}}}{\mathrm {d} x}}{\dot {x}}+{\omega _{0}}^{2}x=0}$

${\displaystyle \mathrm {d} {\dot {x}}\cdot {\dot {x}}+{\omega _{0}}^{2}x\cdot \mathrm {d} x=0}$

積分可得

${\displaystyle {\dot {x}}^{2}+{\omega _{0}}^{2}x^{2}=K}$

其中K是積分常數，設K = (A ω₀)²

${\displaystyle {\dot {x}}^{2}=A^{2}{\omega _{0}}^{2}-{\omega _{0}}^{2}x^{2}}$

${\displaystyle {\dot {x}}=\pm {\omega _{0}}{\sqrt {A^{2}-x^{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\pm {\sqrt {A^{2}-x^{2}}}}}={\omega _{0}}\mathrm {d} t}$

經過積分，結果（包括積分常數φ）為

${\displaystyle {\begin{cases}\arcsin {\frac {x}{A}}=\omega _{0}t+\phi \\\arccos {\frac {x}{A}}=\omega _{0}t+\phi \end{cases}}}$

並有一般解

${\displaystyle x=A\cos {(\omega _{0}t+\phi )}\,}$

其中振幅${\displaystyle A\,}$以及相位${\displaystyle \phi \,}$可透過初始條件來決定。

另外也可以將一般解寫成

${\displaystyle x=A\sin {(\omega _{0}t+\phi )}\,}$

其中${\displaystyle \phi \,}$的值與前面形式相比，偏移了${\displaystyle \pi /2\,}$；

又可以寫作

${\displaystyle x=A\sin {\omega _{0}t}+B\cos {\omega _{0}t}\,}$

其中${\displaystyle A\,}$與${\displaystyle B\,}$為透過初始條件決定的常數，以替代前面形式的${\displaystyle A\,}$與${\displaystyle \phi \,}$。

振動頻率則為

${\displaystyle f={\frac {\omega _{0}}{2\pi }}}$

動能為

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}m\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}kA^{2}\sin ^{2}(\omega _{0}t+\phi )}$.

以及勢能（位能）為

${\displaystyle U={\frac {1}{2}}kx^{2}={\frac {1}{2}}kA^{2}\cos ^{2}(\omega _{0}t+\phi )}$

所以系統總能為定值：

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}kA^{2}}$

一受驅諧振子滿足如下非齊次（nonhomogeneous）二階線性微分方程

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+{\omega _{0}}^{2}x=A_{0}\cos(\omega t)}$，

其中${\displaystyle A_{0}}$是驅動振幅而${\displaystyle \omega }$是驅動頻率，針對的是一弦波式的驅動機制。這樣的系統出現在交流LC（電感L-電容C）電路以及理想化的彈簧系統（沒有內部力學阻力或外部的空氣阻力）。

一阻尼諧振子滿足如下二階微分方程

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+{\frac {b}{m}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+{\omega _{0}}^{2}x=0}$，

其中${\displaystyle b}$是由實驗決定的阻尼常數，滿足關係式${\displaystyle F=-bv}$。遵守此方程式的系統，其中一例為置於水中的加權彈簧（weighted spring），若假設水所施的阻尼力與速度${\displaystyle v}$呈線性比例關係。

阻尼諧振子的頻率為

${\displaystyle \omega _{1}={\sqrt {\omega _{0}^{2}-R_{m}^{2}}}}$

其中

${\displaystyle R_{m}={\frac {b}{2m}}}$。

受驅阻尼振子滿足方程式

${\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+r{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+kx=F_{0}\cos(\omega t)}$。

其一般解為兩個解的和，一為暫態解（無驅動阻尼諧振子之齊次常微分方程的解），與初始條件相關；另一為穩態解（非齊次常微分方程式之特殊解），與初始條件無關，只與驅動頻率、驅動力、阻尼力有關。

穩態解為

${\displaystyle x(t)={\frac {F_{0}}{Z_{m}\omega }}\sin(\omega t-\phi )}$

其中

${\displaystyle Z_{m}={\sqrt {r^{2}+\left(\omega m-{\frac {k}{\omega }}\right)^{2}}}}$

為阻抗（impedance）或線性響應函數（linear response function）之絕對值

${\displaystyle Z=r+i\left(\omega m-{\frac {k}{\omega }}\right)}$

而

${\displaystyle \phi =\arctan \left({\frac {\omega m-{\frac {k}{\omega }}}{r}}\right)}$

為相對於驅動力（相位定為0）的振動相位。

可以觀察到，當在某特定驅動頻率${\displaystyle \omega }$時，振子振動之振幅（相對於一給定之${\displaystyle F_{0}}$）達到最大。這發生在頻率為

${\displaystyle {\omega }_{r}={\sqrt {{\frac {k}{m}}-2\left({\frac {r}{2m}}\right)^{2}}}}$

之時，而此現象稱之為（位移上的）共振。

總結來說，在穩態時，振動頻率等同於驅動力的頻率，但振動與驅動力在相位上有偏移；且振幅大小與驅動頻率相關，當驅動頻率與振動系統偏好（共振）頻率相同時，振幅達到最大。

例子：RLC電路；電阻類比於阻尼。

多數諧振子，至少近似上地說，是在解以下的微分方程式：

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+{\frac {b}{m}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+{\omega _{0}}^{2}x=A_{0}\cos(\omega t)}$

其中t是時間，b是阻尼常數，ω_o是本徵角頻率，而A_ocos(ωt)代表驅動系統的某種事物，其振幅A_o而角頻率ω。x是進行振盪的被測量量；可以是位置、電流或其他任何可能的物理量。角頻率與頻率f有關，關係式為

${\displaystyle f={\frac {\omega }{2\pi }}}$。

• 振幅：偏離平衡點的最大的位移量。
• 週期：系統完成一個振盪循環所需的時間，為頻率的倒數。
• 頻率：單位時間內系統執行的循環總數量（通常以赫茲 = 1/秒為量度）。
• 角頻率：${\displaystyle \omega =2\pi f}$
• 相位：系统完成了循环的多少（开始时，系统的相位为零；完成了循环的一半时，系统的相位为${\displaystyle \pi }$）。
• 初始條件：t = 0时系统的状态。