并矢张量

根據與所著作的權威教科書，在三維空間裏，並矢張量 ${\displaystyle \mathbf {A} \,}$ 是一個3×3陣列，其分量 ${\displaystyle A_{mn},\ m,n=1,2,3\,}$ ，當從一個坐標系變換到另外一個坐標系時，遵守協變變換()的定律。

${\displaystyle A_{ij}'=\sum _{m,n}{\frac {\partial x_{m}}{\partial x_{i}'}}{\frac {\partial x_{n}}{\partial x_{j}'}}A_{mn}\,}$ ；

其中，${\displaystyle A_{ij}'\,}$ 是變換後的分量。

所以，並矢張量是一個二階協變張量。反過來說，按照這定義推廣，任意二階協變張量都是並矢張量：

${\displaystyle \mathbf {A} =A_{11}{\boldsymbol {ii}}+A_{12}{\boldsymbol {ij}}+A_{13}{\boldsymbol {ik}}+A_{21}{\boldsymbol {ji}}+A_{22}{\boldsymbol {jj}}+A_{23}{\boldsymbol {jk}}+A_{31}{\boldsymbol {ki}}+A_{32}{\boldsymbol {kj}}+A_{33}{\boldsymbol {kk}}\,}$ 。

應用點積，並矢張量 ${\displaystyle \mathbf {A} \,}$ 可以與向量 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}\,}$ 綜合在一起：

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot {\boldsymbol {v}}=\sum _{m,n}(A_{mn}{\boldsymbol {e}}_{m}{\boldsymbol {e}}_{n})\cdot \sum _{\ell }(v_{\ell }{\boldsymbol {e}}_{\ell })\,}$ ；

其中，${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{m}\,}$ 、${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{n}\,}$ 、${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{\ell }\,}$ ，都是標準正交基的基底向量。

注意到 ${\displaystyle ({\boldsymbol {e}}_{m}{\boldsymbol {e}}_{n})\cdot {\boldsymbol {e}}_{\ell }={\boldsymbol {e}}_{m}\delta _{n\ell }\,}$ ；其中，${\displaystyle \delta _{n\ell }\,}$ 是克羅內克函數。所以，

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot {\boldsymbol {v}}=\sum _{m,n}A_{mn}v_{n}{\boldsymbol {e}}_{m}\,}$ ；

這點積運算得到的結果是一個協變向量。

並矢張量的縮併()運算，將每一個並置 ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{m}{\boldsymbol {e}}_{n}\,}$ ，替換為兩個單位基底向量的點積 ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{m}\cdot {\boldsymbol {e}}_{n}\,}$ ，以方程式表達為

${\displaystyle |\mathbf {A} |=\sum _{m}A_{m}^{m}\,}$ 。

只成立於三維空間，並矢張量的旋轉因子運算，將每一個並置 ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{m}{\boldsymbol {e}}_{n}\,}$ ，替換為兩個單位基底向量的叉積 ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{m}\times {\boldsymbol {e}}_{n}\,}$ ，以方程式表達為

${\displaystyle \langle \mathbf {A} \rangle ={\boldsymbol {e}}_{1}(A_{23}-A_{32})+{\boldsymbol {e}}_{2}(A_{31}-A_{13})+{\boldsymbol {e}}_{3}(A_{12}-A_{21})\,}$ 。

這也可以表達為 ${\displaystyle \mathbf {A} \,}$ 與列維-奇維塔符號 ${\displaystyle \epsilon _{imn}\,}$ 的完全縮併：

${\displaystyle \langle \mathbf {A} \rangle =\sum _{mn}\epsilon _{imn}A_{mn}\,}$ 。

两个向量 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}}\,}$ 的并矢积 ${\displaystyle {\boldsymbol {vw}}\,}$ 其实就是张量积 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}\otimes {\boldsymbol {w}}\,}$ 。 两个并矢积作形式上的相加就是并矢张量，从而并矢张量和二阶张量（严格地说，是二阶的反变张量）是同义词。力学、电动力学中常见的例子就是单位並矢张量 ${\displaystyle {\mathcal {I}}={\boldsymbol {ii}}+{\boldsymbol {jj}}+{\boldsymbol {kk}}\,}$ 、转动惯量 ${\displaystyle \mathbf {I} =\iiint (r^{2}{\mathcal {I}}-{\boldsymbol {r}}{\boldsymbol {r}})\,\rho \,dV\,}$ 以及馬克士威應力張量等；量子力学中的角动量耦合()理论也要用到并矢张量。

需要注意：并矢积是不可交换的，也就是说，除非两个矢量 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}}\,}$ 线性相关，否则一定有 ${\displaystyle {\boldsymbol {vw}}\neq {\boldsymbol {wv}}\,}$。

在物理学中，并矢张量最重要的应用之一就是它和向量的缩併。对于并矢积 ${\displaystyle {\boldsymbol {vw}}\,}$ 和向量 ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}\,}$ 的缩併，规定

${\displaystyle ({\boldsymbol {vw}})\cdot {\boldsymbol {u}}:={\boldsymbol {v}}\,({\boldsymbol {w}}\cdot {\boldsymbol {u}})\,,\qquad {\boldsymbol {u}}\cdot ({\boldsymbol {vw}}):=({\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {v}})\,{\boldsymbol {w}}\,}$ 。

如果要求这种规定也适用于量子力学中的态矢量，在这种情况下就要特别注意每个式子右端各个向量的先后顺序：用狄拉克符号来写，则 ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {v}}=\langle u|v\rangle \,}$ 。

设 ${\displaystyle V\,}$ 是域 ${\displaystyle F\,}$ 上的一个线性空间，则下述定义是等价的。

定义1. 对于任意 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}}\in V\,}$，称它们的张量积 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}\otimes {\boldsymbol {w}}\in V\otimes V\,}$ 为 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}\,}$ 和 ${\displaystyle {\boldsymbol {w}}\,}$ 的并矢积并将其简记为 ${\displaystyle {\boldsymbol {vw}}\,}$ ，称为并矢张量。更加推广，称 ${\displaystyle V\otimes V\,}$ 中的元素为 ${\displaystyle V\,}$ 上的并矢张量，或者二阶反变张量。

定义2. 如果有 ${\displaystyle F\,}$ 上的一个线性空间 ${\displaystyle W\,}$ 以及双线性映射 ${\displaystyle \phi :V\times V\rightarrow W\,}$ 满足

(1) ${\displaystyle \forall \mathbf {T} \in W\,}$, ${\displaystyle \exists k\in \mathbb {N} \,}$ 以及 ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}_{1},{\boldsymbol {v}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {u}}_{k},{\boldsymbol {v}}_{k}\in V\,}$ 使得

${\displaystyle \mathbf {T} =\sum _{i=1}^{k}\phi ({\boldsymbol {u}}_{i},{\boldsymbol {v}}_{i})\,}$ ；

(2) 当 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {v}}_{k}\in V\,}$ 线性无关时，${\displaystyle \{\phi ({\boldsymbol {v}}_{i},{\boldsymbol {v}}_{j})\,|\,i,j=1,\ldots ,k\}\,}$ 是 ${\displaystyle W\,}$ 中的线性无关向量组，

则称 ${\displaystyle W\,}$ 中的元素为 ${\displaystyle V\,}$ 上的并矢张量或二阶反变张量，把 ${\displaystyle \phi ({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}})\,}$ 记为 ${\displaystyle {\boldsymbol {vw}}\,}$ 。

定义3. ${\displaystyle V\,}$ 上的并矢张量（或者二阶反变张量）这个概念可以按照下述规则来建立：

(1) 任意向量 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}\,}$ 和 ${\displaystyle {\boldsymbol {w}}\,}$ 并置摆放形成一个并矢积 ${\displaystyle {\boldsymbol {vw}}\,}$；

(2) 对于任意的 ${\displaystyle \alpha \in F\,}$ 和任意的 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}}\in V\,}$，规定 ${\displaystyle (\alpha {\boldsymbol {v}}){\boldsymbol {w}}={\boldsymbol {v}}(\alpha {\boldsymbol {w}})=\alpha ({\boldsymbol {vw}})\,}$ ，并把上述结果不加区分地记作 ${\displaystyle \alpha {\boldsymbol {vw}}\,}$；

(3) 称有限个并矢积的形式和为一个并矢张量；

(4) 对任意正整数 ${\displaystyle k\,}$，如果 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {v}}_{k}\in V\,}$ 线性无关，则 ${\displaystyle \{{\boldsymbol {v}}_{i}{\boldsymbol {v}}_{j}\,|\,i,j=1,\ldots ,k\}\,}$ 是线性无关向量组——特别是， ${\displaystyle {\boldsymbol {vw}}=0\,}$ 的充分必要条件是 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}=0\,}$ 或 ${\displaystyle {\boldsymbol {w}}=0\,}$；

(5) 对任意的 ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}\,}$、${\displaystyle {\boldsymbol {v}}\,}$、${\displaystyle {\boldsymbol {w}}\in V\,}$，成立着分配律

${\displaystyle {\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {v}}+{\boldsymbol {w}})={\boldsymbol {uv}}+{\boldsymbol {uw}}\,,\qquad ({\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {v}}){\boldsymbol {w}}={\boldsymbol {uw}}+{\boldsymbol {vw}}\,}$ 。

注： 所谓形式和，就是说我们既不刻意追究求和的实际含义，也关心求和的结果在哪个集合中，而只是知道这种求和满足交换律和结合律。

既然上述定义等价，我们就把 ${\displaystyle V\,}$ 上所有的并矢张量所构成线性空间记为 ${\displaystyle V\otimes V\,}$。在此基础上，如果 ${\displaystyle V\,}$ 是一个内积空间并把 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}}\in V\,}$ 的内积记为 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {w}}\,}$（当 ${\displaystyle F=\mathbb {C} \,}$ 时，约定 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {w}}\,}$ 对 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}\,}$ 是共轭线性的），则定义并矢张量 ${\displaystyle \mathbf {T} \,}$ 和矢量 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}\,}$ 的缩併 ${\displaystyle \mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {v}}\,}$ 和 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}\cdot \mathbf {T} \,}$ 都是 ${\displaystyle V\,}$ 中的向量，满足下述运算律：

(6) 对于任意的 ${\displaystyle \alpha \in F,\,\mathbf {T} \in V\otimes V\,}$ 以及 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}\in V\,}$，

${\displaystyle (\alpha \mathbf {T} )\cdot {\boldsymbol {v}}=\mathbf {T} \cdot (\alpha ^{*}{\boldsymbol {v}})=\alpha (\mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {v}})\,,\qquad {\boldsymbol {v}}\cdot (\alpha \mathbf {T} )=(\alpha ^{*}{\boldsymbol {v}})\cdot \mathbf {T} =\alpha ({\boldsymbol {v}}\cdot \mathbf {T} )\,}$ ，

从而可以把上述两个结果分别记为 ${\displaystyle \alpha \mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {v}}\,}$ 和 ${\displaystyle \alpha {\boldsymbol {v}}\cdot \mathbf {T} \,}$。在上述公式中，${\displaystyle \alpha ^{*}\,}$ 表示 ${\displaystyle \alpha \,}$ 的複共軛（如果 ${\displaystyle F=\mathbb {C} \,}$）。

(7) 对于任意的 ${\displaystyle \mathbf {S} ,\,\mathbf {T} \in V\otimes V\,}$ 以及 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}\in V\,}$，总有

${\displaystyle (\mathbf {S} +\mathbf {T} )\cdot {\boldsymbol {v}}=\mathbf {S} \cdot {\boldsymbol {v}}+\mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {v}}\,,\qquad {\boldsymbol {v}}\cdot (\mathbf {S} +\mathbf {T} )={\boldsymbol {v}}\cdot \mathbf {S} +{\boldsymbol {v}}\cdot \mathbf {T} \,}$ 。

(8) 对于任意的 ${\displaystyle \mathbf {T} \in V\otimes V\,}$ 以及 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}},\,{\boldsymbol {w}}\in V\,}$，总有

${\displaystyle \mathbf {T} \cdot ({\boldsymbol {v}}+{\boldsymbol {w}})=\mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {v}}+\mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {w}}\,,\qquad ({\boldsymbol {v}}+{\boldsymbol {w}})\cdot \mathbf {T} ={\boldsymbol {v}}\cdot \mathbf {T} +{\boldsymbol {w}}\cdot \mathbf {T} \,}$ 。

(9) 对任意的 ${\displaystyle {\boldsymbol {u}},\,{\boldsymbol {v}},\,{\boldsymbol {w}}\in V\,}$，总有

${\displaystyle ({\boldsymbol {uv}})\cdot {\boldsymbol {w}}={\boldsymbol {u}}\,({\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {w}})\,,\qquad {\boldsymbol {u}}\cdot ({\boldsymbol {vw}})=({\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {v}})\,{\boldsymbol {w}}\,}$ 。

設定 ${\displaystyle \mathbf {M} \,}$ 為一個並矢張量：

${\displaystyle \mathbf {M} ={\boldsymbol {ji}}-{\boldsymbol {ij}}=\left({\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}}\right)\,}$ 。

${\displaystyle \mathbf {M} \,}$ 是一個二維空間的 90° 旋轉算子 () 。它可以從左邊點積一個向量來產生一個旋轉：

${\displaystyle \mathbf {M} \cdot (x{\boldsymbol {i}}+y{\boldsymbol {j}})=({\boldsymbol {ji}}-{\boldsymbol {ij}})\cdot (x{\boldsymbol {i}}+y{\boldsymbol {j}})=x{\boldsymbol {ji}}\cdot {\boldsymbol {i}}-x{\boldsymbol {ij}}\cdot {\boldsymbol {i}}+y{\boldsymbol {ji}}\cdot {\boldsymbol {j}}-y{\boldsymbol {ij}}\cdot {\boldsymbol {j}}=-y{\boldsymbol {i}}+x{\boldsymbol {j}}\,}$ ；

或以矩陣表達，

${\displaystyle \left({\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}x\\y\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}\ -y\\x\end{array}}\right)\,}$ 。

一個一般的二維旋轉並矢張量，會產生 ${\displaystyle \theta \,}$ 角度反時針方向的旋轉，表達為

${\displaystyle \cos \theta \mathbf {I} +\sin \theta \mathbf {M} ={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\ \cos \theta \end{pmatrix}}\,}$ ；

其中，${\displaystyle \mathbf {I} ={\boldsymbol {ii}}+{\boldsymbol {jj}}\,}$ 是二維的單位並矢張量。

设 ${\displaystyle V\,}$ 是量子力学中所有的角动量本征态所张成的希尔伯特空间（囊括了所有可能的总角动量量子数 ${\displaystyle 0\,}$，${\displaystyle 1/2\,}$，${\displaystyle 1\,}$，${\displaystyle 3/2\,}$，${\displaystyle \ldots \,}$），则 ${\displaystyle F=\mathbb {C} \,}$。当我们要考虑角动量耦合的时候，就会遇到态矢量的并矢张量 ${\displaystyle |j_{1}m_{1}\rangle |j_{2}m_{2}\rangle \,}$，而且时常把它记作 ${\displaystyle |j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}\rangle \,}$ 或 ${\displaystyle |j_{1}m_{1},j_{2}m_{2}\rangle \,}$ 等等。任取一些复数 ${\displaystyle C_{j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}}\,}$（但是其中只能有有限个非零），则

${\displaystyle \sum _{j_{1}}\sum _{m_{1}}\sum _{j_{2}}\sum _{m_{2}}C_{j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}}|j_{1}m_{1}\rangle |j_{2}m_{2}\rangle \,}$

就是一个并矢张量。不妨把这个并矢张量记作 ${\displaystyle \mathbf {T} \,}$，则它和 ${\displaystyle |jm\rangle \,}$ 的缩併就是

${\displaystyle \mathbf {T} \cdot |jm\rangle =\sum _{j_{1}}\sum _{m_{1}}\sum _{j_{2}}\sum _{m_{2}}C_{j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}}\langle jm|j_{2}m_{2}\rangle \,|j_{1}m_{1}\rangle \,}$，

${\displaystyle |jm\rangle \cdot \mathbf {T} =\sum _{j_{1}}\sum _{m_{1}}\sum _{j_{2}}\sum _{m_{2}}C_{j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}}\langle jm|j_{1}m_{1}\rangle \,|j_{2}m_{2}\rangle \,}$。

在这其中，量子力学中最广为人知的就是通过 CG矢量耦合系 数 () 所组合出来的张量。当然，在角动量耦合理论中，这样的张量被等同为某些角动量本征态，除了物理上的考虑之外，这更主要地还是有关李群 ${\displaystyle SU(2)\,}$及其李代数 ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)\,}$ 的表示的另外一个话题，请参看李群的表示 () 及李代数的表示 () ，在这里就不再深入探讨了。

实际上可以这样说，在量子力学中，只要物理问题涉及了系统的耦合，数学上就会导致态矢量的并矢。在这方面，还可以举一个常见的例子：由一维谐振子的态矢量所构成的并矢张量可以用来描述二维谐振子系统。

三维欧几里得空间上的并矢张量的例子非常多，例如转动惯量、应力张量、应变等等。这些例子实际上就是并矢张量这个概念的最初原型。

下面我们要说明，前面建议的规则 (1) 到 (9) 足以讲清楚二阶张量的运算和性质。

考虑 ${\displaystyle V\,}$ 为欧几里得空间的情形，则 ${\displaystyle V\,}$ 是实数域 ${\displaystyle \mathbb {R} \,}$ 上的有限维线性空间（设 ${\displaystyle \dim V=n\,}$）而且带有正定的内积。设 ${\displaystyle ({\boldsymbol {e}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {e}}_{n})\,}$ 是 ${\displaystyle V\,}$ 的一个基底，则任意 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}\,}$、${\displaystyle {\boldsymbol {w}}\in V\,}$ 都可以作线性展开 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}=\sum _{i=1}^{n}v^{i}{\boldsymbol {e}}_{i}\,}$，${\displaystyle {\boldsymbol {w}}=\sum _{i=1}^{n}w^{i}{\boldsymbol {e}}_{i}\,}$。在这里，为了充分演示规则 (1) 到 (9) （见上面的定义3以及并矢张量与向量的缩併）的使用，我们明显地写出了求和号而不使用爱因斯坦求和约定。但是，为了简便，求和的上下限被略去了。

以下运算中，等于号上方的标号是规则的编号。

首先，我们要证明所有的二阶张量都能够用 ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{i}{\boldsymbol {e}}_{j}\,}$ 展开。重复地利用规则 (5) 可得

${\displaystyle {\boldsymbol {vw}}={\Big (}\sum _{i}v^{i}{\boldsymbol {e}}_{i}{\Big )}{\Big (}\sum _{j}w^{j}{\boldsymbol {e}}_{j}{\Big )}{\stackrel {(5)}{=}}\sum _{i}{\Big }{\stackrel {(5)}{=}}\sum _{i}\sum _{j}(v^{i}{\boldsymbol {e}}_{i})(w^{j}{\boldsymbol {e}}_{j})\,}$ 。

接下来重复地利用规则 (2) 可得

${\displaystyle {\boldsymbol {vw}}{\stackrel {(2)}{=}}\sum _{i}\sum _{j}{\boldsymbol {e}}_{i}{\Big (}v^{i}(w^{j}{\boldsymbol {e}}_{j}){\Big )}=\sum _{i}\sum _{j}{\boldsymbol {e}}_{i}{\Big (}(v^{i}w^{j})\,{\boldsymbol {e}}_{j}){\Big )}{\stackrel {(2)}{=}}\sum _{i}\sum _{j}(v^{i}w^{j})\,{\boldsymbol {e}}_{i}{\boldsymbol {e}}_{j}\,}$ 。

这样，我们就证明了所有的并矢，即形如 ${\displaystyle {\boldsymbol {vw}}\,}$ 的张量都能够写成 ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{i}{\boldsymbol {e}}_{j}\,}$ 的线性组合。接下来，按照规则 (3) 以及上面的结论，所有的二阶张量最终都能够表达为 ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{i}{\boldsymbol {e}}_{j}\,}$ 的线性组合。

反之，由规则 (1) 和 (3)，每一个 ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{i}{\boldsymbol {e}}_{j}\,}$ 都是一个二阶张量，再由规则 (3)，它们的任意线性组合也是二阶张量。至此，我们证明了二阶张量等价于 ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{i}{\boldsymbol {e}}_{j}\,}$ 的线性组合。

然后，从规则 (4) 可以证明，全部的 ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{i}{\boldsymbol {e}}_{j}\,}$ 是线性无关的，因此构成了 ${\displaystyle V\otimes V\,}$ 的基底。

最后，利用规则（6）到（9）不难把所有的缩併最终归结为计算 ${\displaystyle ({\boldsymbol {e}}_{i}\cdot {\boldsymbol {e}}_{j})\,{\boldsymbol {e}}_{k}\,}$。特别是，如果所给的基是标准正交基，那么结果就非常简单了。

对于 ${\displaystyle n\,}$ 维欧几里得空间 ${\displaystyle V\,}$ 而言，由于 ${\displaystyle F=\mathbb {R} \,}$，规则 (6) 和 (8) 表明，给定任意一个并矢张量 ${\displaystyle \mathbf {T} \,}$ 之后，从矢量 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}\,}$ 到 ${\displaystyle \mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {v}}\,}$（或者 ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}\cdot \mathbf {T} \,}$）的映射是线性映射，所以，欧几里得空间上的并矢张量总是对应着它自身上的线性变换。下面要证明，从并矢张量到线性变换的这种对应是满射。为了准确起见，把 ${\displaystyle \mathbf {T} \in V\otimes V\,}$ 所对应的 ${\displaystyle V\,}$ 上的线性变换分别记为 ${\displaystyle R_{\flat }\mathbf {T} :V\rightarrow V,{\boldsymbol {v}}\mapsto \mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {v}}\,}$ 和 ${\displaystyle L_{\flat }\mathbf {T} :V\rightarrow V,{\boldsymbol {v}}\mapsto {\boldsymbol {v}}\cdot \mathbf {T} \,}$ ， 则有

引理1. 对于欧几里得空间 ${\displaystyle V\,}$ 上的任意一个线性变换 ${\displaystyle {\hat {T}}:V\rightarrow V\,}$，总是存在着 ${\displaystyle V\,}$ 上的并矢张量 ${\displaystyle \mathbf {T} \,}$ 和 ${\displaystyle \mathbf {T} '\,}$ 使得 ${\displaystyle {\hat {T}}=R_{\flat }\mathbf {T} \,}$, ${\displaystyle {\hat {T}}=L_{\flat }\mathbf {T} '\,}$ 。

证明： 由于证明方法类似，我们只证明 ${\displaystyle \mathbf {T} \,}$ 的存在性。设 ${\displaystyle ({\boldsymbol {e}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {e}}_{n})\,}$ 是 ${\displaystyle V\,}$ 的一个基底（不必是标准正交基），令

${\displaystyle g_{ij}={\boldsymbol {e}}_{i}\cdot {\boldsymbol {e}}_{j}\,}$ ，

则内积的正定性导致 ${\displaystyle g_{ij}\,}$ 所构成的 ${\displaystyle n\times n\,}$ 矩阵 ${\displaystyle G=(g_{ij})\,}$ 为正定矩阵。给了 ${\displaystyle V\,}$ 上的一个线性变换 ${\displaystyle {\hat {T}}:V\rightarrow V\,}$ 之后，我们可以借助於基底得到一个矩阵 ${\displaystyle T=(\ T_{\ j}^{i}\ )\,}$，其中，上标号是横标号，下标号是竖标号：

${\displaystyle {\hat {T}}{\boldsymbol {e}}_{j}=T_{\ j}^{i}{\boldsymbol {e}}_{i}\,}$ 。

在这里我们使用了爱因斯坦求和约定。现在我们利用 ${\displaystyle G\,}$ 的逆矩阵

${\displaystyle G^{-1}=(g^{ij})\,,\qquad g_{ij}g^{jk}=\delta _{i}^{k}\,}$ ，

构造一个并矢张量

${\displaystyle \mathbf {T} =T_{\ j}^{i}g^{jk}\,{\boldsymbol {e}}_{i}{\boldsymbol {e}}_{k}\,}$ ，

则

${\displaystyle (R_{\flat }\mathbf {T} ){\boldsymbol {e}}_{j}=\mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {e}}_{j}=T_{\ l}^{i}g^{lk}\,{\boldsymbol {e}}_{i}{\boldsymbol {e}}_{k}\cdot {\boldsymbol {e}}_{j}=T_{\ l}^{i}g^{lk}\,{\boldsymbol {e}}_{i}({\boldsymbol {e}}_{k}\cdot {\boldsymbol {e}}_{j})=T_{\ l}^{i}g^{lk}\,{\boldsymbol {e}}_{i}\,g_{kj}=T_{\ l}^{i}\delta _{j}^{l}\,{\boldsymbol {e}}_{i}=T_{\ j}^{i}\,{\boldsymbol {e}}_{i}={\hat {T}}{\boldsymbol {e}}_{j}\,}$ ，

可见由 ${\displaystyle {\hat {T}}=R_{\flat }\mathbf {T} \,}$ 。

类似地也可以构造一个 ${\displaystyle \mathbf {T} '\in V\otimes V\,}$ ，使之满足 ${\displaystyle {\hat {T}}=L_{\flat }\mathbf {T} '\,}$ 。事实上，还可以证明 ${\displaystyle \mathbf {T} '\,}$ 是 ${\displaystyle \mathbf {T} \,}$ 的转置——用基底来展开，就是说

${\displaystyle \mathbf {T} '=T_{\ j}^{i}g^{jk}\,{\boldsymbol {e}}_{k}{\boldsymbol {e}}_{i}\,}$ 。

结论证毕。

把 ${\displaystyle n\,}$ 维欧几里得空间 ${\displaystyle V\,}$ 上的所有的线性映射所构成的线性空间记为 ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)\,}$，则后者的维数为 ${\displaystyle n^{2}\,}$. 由并矢张量和向量的缩併中的规则 (6) 和 (7) 不难得到

引理2. 映射 ${\displaystyle R_{\flat }:V\otimes V\rightarrow {\mathfrak {gl}}(V),\mathbf {T} \mapsto R_{\flat }\mathbf {T} \,}$ 和 ${\displaystyle L_{\flat }:V\otimes V\rightarrow {\mathfrak {gl}}(V),\mathbf {T} \mapsto L_{\flat }\mathbf {T} \,}$ 都是线性映射。

前面已经分析过，

${\displaystyle \dim(V\otimes V)=n^{2}\,}$ 。

根据引理2和引理1，我们就得到了

定理 映射 ${\displaystyle R_{\flat }:V\otimes V\rightarrow {\mathfrak {gl}}(V)\,}$ 和 ${\displaystyle L_{\flat }:V\otimes V\rightarrow {\mathfrak {gl}}(V)\,}$ 都是线性同构。

这就是说，对于欧几里得空间来说，它上面的并矢张量和线性变换可以互相等同。一般说来，用 ${\displaystyle R_{\flat }\,}$ 作等同比较自然些。这种等同就是爱因斯坦在相对论中用所引入的指标升降法(尽管其中的线性空间是闵可夫斯基空间，但是方法是相似的)。具体来说，并矢张量是具有两个上指标的二阶反变张量，而线性变换则是一阶协变一阶反变的张量，${\displaystyle R_{\flat }\,}$ 就是用度规张量把二阶反变张量的右指标降下来，而 ${\displaystyle L_{\flat }\,}$ 则是把左边的反变指标降下来。

特别是，当 ${\displaystyle {\hat {T}}\,}$ 为恒等映射时，${\displaystyle T_{\ j}^{i}=\delta _{j}^{i}\,}$，从而得到

推论 把 ${\displaystyle V\,}$ 上的单位张量（这是经典力学中的叫法，在相对论中则常常被称为度规张量的逆）定义为与恒等映射相对应的那个并矢张量（不管是 ${\displaystyle R_{\flat }\,}$ 还是 ${\displaystyle L_{\flat }\,}$，结果都一样），则它可以借助于基底展开为 ${\displaystyle g^{ij}{\boldsymbol {e}}_{i}{\boldsymbol {e}}_{j}\,}$ 。

在上述讨论过程中我们实际上没有真正用到内积的正定性，而真正实质性的条件有两点：（1）${\displaystyle F=\mathbb {R} \,}$；（2）${\displaystyle G=(g_{ij})\,}$ 可逆。所以欧几里德空间可以放松为 ${\displaystyle \mathbb {R} \,}$ 上带有一个非退化的对称双线性型的线性空间。相对论中所用到的闵可夫斯基空间就是这样的。

• 並矢積
• 张量积
• 拉普拉斯-龍格-冷次向量
• 线性空间