平面波

在时间等于零时，正相移导致波向左移位。

随着t增加，波向右移动，给定点x处的值振荡正弦波。

3D平面波的动画。 每种颜色表示波的不同的相位。

用數學來表述，波動方程式為

${\displaystyle \nabla ^{2}f-{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial t^{2}}}=0}$ ；

其中，${\displaystyle f(\mathbf {x} ,t)}$ 是描述波動的函數，${\displaystyle \nabla ^{2}}$ 是拉普拉斯算符，${\displaystyle v}$ 是波動傳播的速度，${\displaystyle \mathbf {x} }$ 是位置，${\displaystyle t}$ 是時間。

描述平面波的函數 ${\displaystyle {\tilde {\psi }}(\mathbf {x} ,t)}$ 是波動方程式的一種解答：

${\displaystyle \nabla ^{2}{\tilde {\psi }}-{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\tilde {\psi }}}{\partial t^{2}}}=0}$ 。

平面波 ${\displaystyle {\tilde {\psi }}(\mathbf {x} ,t)}$ 的形式為：

${\displaystyle {\tilde {\psi }}(\mathbf {x} ,t)={\tilde {A}}e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega t)}}$ ；

其中，${\displaystyle i}$ 是虛數單位，${\displaystyle \mathbf {k} }$ 是波向量，${\displaystyle \omega =kv}$ 是角頻率，${\displaystyle {\tilde {A}}}$ 是複值的振幅純量。

取複函數的實部，則可以得到其物理意義。

${\displaystyle \operatorname {Re} \{{\tilde {\psi }}(\mathbf {x} ,t)\}=|{\tilde {A}}|\cos(\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega t+\arg {\tilde {A}})}$ 。

注意到在任意時刻 ${\displaystyle t=t_{0}}$ ，波相位不變的曲面滿足方程式

${\displaystyle \mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega t_{0}+\arg {\tilde {A}}=c_{1}}$ ，

或者，

${\displaystyle \mathbf {k} \cdot \mathbf {x} =c_{2}}$ ；

其中，${\displaystyle c_{1}}$ 、${\displaystyle c_{2}}$ 是任意常數。

所有滿足這方程式的 ${\displaystyle \mathbf {x} }$ 形成一個與 ${\displaystyle \mathbf {k} }$ 相互垂直的平面，平行波的波前就是這種平面，所有的波前都與 ${\displaystyle \mathbf {k} }$ 相互垂直，都相互平行。

對於向量的波動方程式，像描述在彈性固體內的機械波或電磁波的波動方程式：

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {E} -{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}=0}$ ，

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {B} -{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}=0}$ ；

其中，${\displaystyle \mathbf {E} }$ 是電場，${\displaystyle \mathbf {B} }$ 是磁場;

解答也很類似：

${\displaystyle {\tilde {\boldsymbol {\psi }}}(\mathbf {x} ,\ t)={\tilde {\mathbf {A} }}e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega t)}}$ ；

其中，${\displaystyle {\tilde {\mathbf {A} }}}$ 是複值的振幅向量。

横波的振幅向量垂直於波向量，像傳播於均向性介質的電磁波。縱波的振幅向量平行於波向量，像傳播於氣體或液體的聲波。

傳播於某介質內，角頻率與波向量之間的關係，可以以函數 ${\displaystyle \omega (\mathbf {k} )}$ 表達，稱為介質的色散關係。對於這介質，波的相速度是

${\displaystyle v_{p}=\omega /k}$ ，

群速度是

${\displaystyle v_{g}={\frac {\partial \omega }{\partial \mathbf {k} }}}$ 。

• 波动方程