克莱因-戈尔登方程

克莱因-戈尔登方程為

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi -\nabla ^{2}\psi +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =0}$。

很多時候會用自然單位（c=ħ=1）寫成

${\displaystyle -\partial _{t}^{2}\psi +\nabla ^{2}\psi =m^{2}\psi }$

由於平面波為此方程已知的一組解，所以方程形式由它決定：

${\displaystyle \psi =e^{-i\omega t+ik\cdot x}=e^{ik_{\mu }x^{\mu }}}$

遵從狹義相對論的能量動量關係式

${\displaystyle -p_{\mu }p^{\mu }=E^{2}-P^{2}=\omega ^{2}-k^{2}=-k_{\mu }k^{\mu }=m^{2}\,}$

跟薛定諤方式不同，每一個k在此都對應着兩個${\displaystyle \omega }$，只有通過把頻率的正負部份分開，才能讓方程描述到整個相對論形式的波函數。若方程在時間流逝下不變，則其形式為

${\displaystyle \left\psi (\mathbf {r} )=0}$。

自由粒子的薛定谔方程式是非相对论量子力学的最基本方程式：

${\displaystyle {\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}\psi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi }$

其中${\displaystyle \mathbf {p} =-i\hbar \mathbf {\nabla } }$是动量算符。

薛定谔方程式并非相对论协变的，意味着它不满足爱因斯坦的狭义相对论。

利用狭义相对论中四维动量的不变性导出的相对论动量能量关系，相对论能量

${\displaystyle E={\sqrt {\mathbf {p} ^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}}$

替换薛定谔方程式左边自由粒子的动能${\displaystyle {\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}}$，

并最终得到它的协变形式

${\displaystyle (\Box ^{2}+\mu ^{2})\psi =0,}$

其中${\displaystyle \mu ={\frac {mc}{\hbar }}\,}$

达朗贝尔算符${\displaystyle \Box ^{2}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\,}$

从相对论量子力学的观点来看，达朗贝尔算符的出现意味着克莱因-戈尔登方程式是一个量子力学的波方程。

场论中，对于自旋为零的场（标量场），拉格朗日量被写成

${\displaystyle L={\frac {1}{2}}\partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}}$

这里依照量子场论的习惯选取了自然单位，将光速${\displaystyle c}$和普朗克常数${\displaystyle \hbar }$都取作1。

代入欧拉-拉格朗日方程${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial \phi }}-{\frac {\partial }{\partial x_{\mu }}}{\frac {\partial L}{\partial (\partial ^{\mu }\phi )}}=0,}$可直接得到克莱因-戈尔登方程。

从量子场论的观点来看，以上推导过程都在经典场论的范围之内，因此克莱因-戈尔登方程式只是一个经典场的场方程式。

相对论量子力学中自由粒子只是一个理想化的概念，但形如克莱因-戈尔登方程式这样的波方程仍然具有形式上的平面波解：

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)=e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}}$

其中${\displaystyle -k^{2}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}={\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}.}$

从克莱因-戈尔登方程式得出的能量本征值为

${\displaystyle E=\pm {\sqrt {\mathbf {p} ^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}}$

因而克莱因-戈尔登方程式的解包含了负能量。同时，由这个解导出相应的概率密度也不能保证是正值。这两个问题使得克莱因-戈尔登方程在很长一段时间里被认为是缺乏物理意义的.英国物理学家保罗·狄拉克为了确保概率密度具有物理意义建立了狄拉克方程，但这个方程仍然没有避免出现负能量。从那时起物理学家们逐渐意识到负能量的出现实际上意味着反粒子的存在。

克莱因-戈尔登方程有行波解

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