拉格朗日量

拉格朗日量是动能${\displaystyle T}$与势能${\displaystyle V}$的差值：

${\displaystyle {\mathcal {L}}=T-V}$。

通常，動能的參數為廣義速度${\displaystyle {\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},{\dot {q}}_{3},\dots ,{\dot {q}}_{N}}$（符號上方的點號表示對於時間${\displaystyle t}$的全導數），而勢能的參數為廣義座標${\displaystyle q_{1},q_{2},q_{3},\dots ,q_{N};t}$，所以，拉格朗日量的參數為${\displaystyle q_{1},q_{2},q_{3},\dots ,q_{N};{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},{\dot {q}}_{3},\dots ,{\dot {q}}_{N};t}$。解析一个问题，最先要选择一个合适的广义坐标。然后，计算出其拉格朗日量。假定這些參數（廣義座標、廣義速度）都互相獨立，就可以用拉格朗日方程式来求得系统的运动方程式。

假設一個物理系統的拉格朗日量為${\displaystyle {\mathcal {L}}}$，則此物理系統的運動，以拉格朗日方程式表示為

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{i}}}=0}$；

其中，${\displaystyle t}$是时间，${\displaystyle q_{i}}$是广义坐标，${\displaystyle {\dot {q}}_{i}}$是广义速度。

一個物理系統的作用量${\displaystyle {\mathcal {S}}}$是一種泛函，以數學方程式定義為

${\displaystyle {\mathcal {S}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)\,dt}$；

其中，${\displaystyle L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)}$是系統的拉格朗日量，廣義坐標${\displaystyle \mathbf {q} =\left(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N}\right)}$是時間${\displaystyle t}$的函數，${\displaystyle t_{1}}$和${\displaystyle t_{2}}$分別為初始時間和終結時間。

假若，作用量的一次變分${\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=0}$，作用量${\displaystyle {\mathcal {S}}}$為平穩值，則${\displaystyle \mathbf {q} (t)}$正確地描述這物理系統的真實演化。從這變分運算，可以推導出拉格朗日方程式

詳盡相關導引，請參閱拉格朗日方程式。

思考拉格朗日量對於時間的全導數：

${\displaystyle {\frac {d{\mathcal {L}}}{dt}}=\sum _{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+\sum _{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\ddot {q}}_{i}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}}$。

將拉格朗日方程式代入，可以得到

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d{\mathcal {L}}}{dt}}&=\sum _{i}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right){\dot {q}}_{i}+\sum _{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\ddot {q}}_{i}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\\&=\sum _{i}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\\\end{aligned}}}$。

定義能量函數${\displaystyle {\mathit {h}}(q_{1},q_{2},q_{3},\dots$ ;{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},{\dot {q}}_{3},\dots ;t)} 為

${\displaystyle {\mathit {h}}\ {\stackrel {def}{=}}\ \sum _{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}-{\mathcal {L}}}$，

則能量函數與拉格朗日量有以下含時關係式：

${\displaystyle {\frac {d{\mathit {h}}}{dt}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}}$。

假若拉格朗日量顯性地與時間無關，${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}=0}$，則能量函數是個常數：${\displaystyle {\mathit {h}}=E}$。稱這常數${\displaystyle E}$為這物理系統的能量。因此，這物理系統的能量守恆。

拉格朗日表述是经典力学的一种重新表述。拉格朗日表述的重要性，不只是因为它可以广泛应用在经典力学；而更是因为它能够帮助物理学家更深刻地了解一个物理系统的物理行为。雖然拉格朗日只是在尋找一種表述經典力學的方法，他用來推導拉格朗日方程式的平穩作用量原理，現在已被學術界公認為在量子力學也極具功用。

• 拉格朗日表述不会被任何坐标系统捆绑住。拉格朗日表述使用广义坐标来描述系统的空间参数。它所涉及的物理量是动能与势能，这些物理量的值不会随广义坐标的选择而改变。因此，對於系统的种种約束，可以选择一组最合适的广义坐标，来计算问题的解答。

• 拉格朗日表述能够简易地延伸至其他学术領域。电路学、量子力学、粒子物理学、等等，都可以用拉格朗日表述来分析。

• 如果用同样的表述可以分析不同学术領域的物理系统，这些系统必定有結构上的类推。在一个学术領域的新发现，意味著很可能在另一个学术領域会有类似的现象。

拉格朗日量有一個優良的性質，那就是守恆定律可以很容易地從它的表達式讀出來。例如，假設拉格朗日量${\displaystyle {\mathcal {L}}}$跟某廣義速度${\displaystyle {\dot {q}}_{2}}$有關，而跟廣義坐標${\displaystyle q_{2}}$無關，則對應的廣義動量${\displaystyle p_{2}}$是一個守恆量。這種坐標稱為「可略坐標」，或「循環坐標」。更詳細地說，拉格朗日量的形式為

${\displaystyle {\mathcal {L}}(q_{1},q_{3},q_{4},\dots$ ;{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},{\dot {q}}_{3},{\dot {q}}_{4},\dots ;t)} 。

直接檢視，就可以發覺${\displaystyle {\mathcal {L}}}$跟${\displaystyle q_{2}}$無關，因此可以推斷${\displaystyle p_{2}}$是一個守恆量。

以此類推，假設，時間${\displaystyle t}$不在${\displaystyle {\mathcal {L}}}$的表達式裏面，則哈密頓量守恆，即能量守恆。這種物理行為是諾特定理的一個特別案例。關於能量守恆問題，稍後會有更詳細解說。

假设，在三维空间裏，一個運動中的粒子的動能為${\displaystyle T={\frac {1}{2}}m{\dot {\mathbf {r} }}^{2}={\frac {1}{2}}m({\dot {x_{1}}}^{2}+{\dot {x_{2}}}^{2}+{\dot {x_{3}}}^{2})}$，勢能為${\displaystyle V(r)}$，則拉格朗日量是

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }})={\frac {1}{2}}m{\dot {\mathbf {r} }}^{2}-V(r)}$；

其中，${\displaystyle m}$是粒子質量，${\displaystyle \mathbf {r} }$是位置向量，${\displaystyle v}$是粒子的速度。

採用直角坐标系。那麼，拉格朗日方程式就是

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x_{i}}}=0\ ,\qquad \qquad \qquad \qquad i=1,\ 2,\ 3}$；

其中，${\displaystyle x_{i}}$是位置向量${\displaystyle \mathbf {r} }$的第${\displaystyle i}$個直角坐标分量。

那麼，

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{i}}}\right)=m{\ddot {x}}_{i}}$、

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x_{i}}}=-\ {\frac {\partial V}{\partial x_{i}}}}$。

这物理系统的运动方程式为

${\displaystyle m{\ddot {\mathbf {r} }}+{\boldsymbol {\nabla }}V=0}$。

由於势能對於位置的負梯度是作用力：${\displaystyle \mathbf {F} =-{\boldsymbol {\nabla }}V(r)}$，所以，

${\displaystyle \mathbf {F} =m{\ddot {\mathbf {r} }}}$。

这方程式与牛顿第二定律方程式完全相同。由此可以观察出，拉格朗日表述与牛顿表述的功能相等。

能量函數${\displaystyle {\mathit {h}}}$為

${\displaystyle {\mathit {h}}=\sum _{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}_{i}}}{\dot {x}}_{i}-{\mathcal {L}}=m\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}-{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}m\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}+V(\mathbf {r} )=T+V=E}$，

由於拉格朗日量顯性地與時間無關，能量函數${\displaystyle {\mathit {h}}}$是個常數${\displaystyle E}$。

假設選擇球坐标系，則拉格朗日量是

${\displaystyle {\mathcal {L}}(r,\ \theta ,\ \varphi ,\ {\dot {r}},\ {\dot {\theta }},\ {\dot {\varphi }})={\frac {m}{2}}({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }}^{2})-V(r)}$；

其中，${\displaystyle r}$是径向距离，${\displaystyle \theta }$是天顶角，${\displaystyle \varphi }$是方位角。

稍加运算，得到运动方程式为：

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {r}}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial r}}=m{\ddot {r}}-mr({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }}^{2})+{\frac {dV}{dr}}=0}$、

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\theta }}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \theta }}={\frac {d}{dt}}(mr^{2}{\dot {\theta }})-mr^{2}\sin \theta \cos \theta {\dot {\varphi }}^{2}=0}$、

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\varphi }}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi }}={\frac {d}{dt}}(mr^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }})=0}$。

特別注意，${\displaystyle {\mathcal {L}}}$跟${\displaystyle \varphi }$無關。所以，${\displaystyle \varphi }$是可略坐标，角動量的z-分量${\displaystyle L_{z}=mr^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }}}$是常数。

假定檢驗粒子的質量和電荷超小，其對於外在系統的影響可以忽略。檢驗粒子時常可以想像為簡單的質點粒子，只擁有質量和電荷性質。像電子或上夸克一類的真實粒子具有更複雜的性質，它們的拉格朗日量含有更多項目。

在狹義相對論的四維空間裏，一個移動中的粒子的相對論性拉格朗日量可以寫為

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}-V}$；

其中，${\displaystyle m}$是粒子的靜質量，${\displaystyle c}$是光速，${\displaystyle v}$是粒子的速度。

其拉格朗日方程式為

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x_{i}}}={\frac {d}{dt}}(\gamma m{\dot {x}}_{i})+{\frac {\partial V}{\partial x_{i}}}=0}$；

其中，${\displaystyle \gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$是勞侖茲因子。

注意到動量${\displaystyle p_{i}=\gamma m{\dot {x}}_{i}}$、作用力${\displaystyle F_{i}=-\ {\frac {\partial V}{\partial x_{i}}}}$。將這些公式代入拉格朗日方程式，就可複製牛頓第二定律的方程式：

${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}}$。

因此，這拉格朗日量被認定為正確無誤。

這粒子的廣義動量${\displaystyle p_{i}}$定義為

${\displaystyle p_{i}\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}_{i}}}=\gamma m{\dot {x}}_{i}}$。

• 假設這物理系統的勢能為零，這粒子是自由粒子，則此系統的能量函數${\displaystyle h}$為

${\displaystyle h=\sum _{i=1}^{3}\gamma m{\dot {x}}_{i}^{2}-{\mathcal {L}}=\gamma mv^{2}+mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}=\gamma mc^{2}}$。

這是質能方程式：粒子的總能量等於其質量乘以光速平方！

• 假設粒子速度超小於光速，則拉格朗日量的動能部分可以近似為

${\displaystyle -mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\approx -mc^{2}\left(1-{\frac {v^{2}}{2c^{2}}}\right)=-mc^{2}+{\frac {1}{2}}mv^{2}=-mc^{2}+T}$。

靜質量的能量${\displaystyle mc^{2}}$是個常數，可以忽略（其變分等於零）。相對論性拉格朗日量又變回經典拉格朗日量：

${\displaystyle {\mathcal {L}}=T-V}$。

一個移動於電磁場的帶電粒子的相對論性拉格朗日量可以寫為

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}-q\phi (\mathbf {r} )+q\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)}$；

其中，${\displaystyle q}$是帶電粒子的電荷量，${\displaystyle \phi }$是電勢，${\displaystyle \mathbf {A} }$是磁向量勢。

其拉格朗日方程式為

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x_{i}}}={\frac {d}{dt}}(\gamma m{\dot {x}}_{i})+q{\frac {dA_{i}}{dt}}-q{\frac {\partial \phi }{\partial x_{i}}}-q\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\frac {\partial A_{j}}{\partial x_{i}}}=0}$。

所以，

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\gamma m{\dot {x}}_{i})=-q{\frac {dA_{i}}{dt}}+q{\frac {\partial \phi }{\partial x_{i}}}+q\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\frac {\partial A_{j}}{\partial x_{i}}}}$。

注意到作用力${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d}{dt}}(\gamma m{\dot {x}}_{i})}$，電場${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \phi }$，磁場${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }$。將這些公式代入上述方程式，經過一番運算，就可以得到勞侖茲力方程式：

${\displaystyle \mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )}$。

這拉格朗日量可以複製出勞侖茲力方程式。因此，這拉格朗日量被認定為正確無誤。

前面這些拉格朗日量都不具有協變形式，當變換坐標系時，拉格朗日量的形式可能會有所改變。為了確保這形式不會改變，必須將拉格朗日量寫為協變形式。

對於自由粒子，作用量${\displaystyle {\mathcal {A}}}$為

${\displaystyle {\mathcal {A}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\mathcal {L}}dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\ dt}$；

其中，${\displaystyle t_{1}}$和${\displaystyle t_{2}}$分別是初始時間和終結時間。

為了要使得拉格朗日量具有協變形式，必須引用張量來表達。採用愛因斯坦求和約定，注意到四維速度與自己的內積：

${\displaystyle U^{\alpha }U_{\alpha }=\gamma ^{2}(c^{2}-v^{2})=\gamma ^{2}c^{2}\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)}$；

其中，${\displaystyle U^{\alpha }=X^{\prime \mu }={\frac {dX^{\alpha }}{d\tau }}=\gamma (c,v_{1},v_{2},v_{3})}$是四維速度，是四維坐標${\displaystyle X^{\alpha }=(ct,x_{1},x_{2},x_{3})}$對於固有時${\displaystyle \tau }$的導數（撇號表示對於固有時${\displaystyle \tau }$的導數）。

將積分元素從微小時間元素${\displaystyle dt}$改變為微小固有時元素${\displaystyle d\tau }$，由於${\displaystyle dt=\gamma d\tau }$，協變的作用量可以寫為

${\displaystyle {\mathcal {A}}=\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}-{\frac {mc}{\gamma }}{\sqrt {U^{\alpha }U_{\alpha }}}\ \gamma d\tau =\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}-mc{\sqrt {U^{\alpha }U_{\alpha }}}\ d\tau }$。

協變的拉格朗日量${\displaystyle {\bar {\mathcal {L}}}}$變為

${\displaystyle {\bar {\mathcal {L}}}=\gamma {\mathcal {L}}=-mc{\sqrt {U^{\alpha }U_{\alpha }}}=-mc{\sqrt {g_{\alpha \beta }U^{\alpha }U^{\beta }}}}$；

其中，${\displaystyle g_{\alpha \beta }}$是閔可夫斯基度規。

其拉格朗日方程式為

${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}\left({\frac {\partial {\bar {\mathcal {L}}}}{\partial {X}^{\prime \mu }}}\right)-{\frac {\partial {\bar {\mathcal {L}}}}{\partial X^{\mu }}}=-\ {\frac {d}{d\tau }}\left({\frac {mc{X}_{\mu }^{\prime }}{\sqrt {g_{\alpha \beta }U^{\alpha }U^{\beta }}}}\right)=0}$。

注意到約束${\displaystyle U^{\alpha }U_{\alpha }=\gamma ^{2}(c^{2}-v^{2})=c^{2}}$，這粒子只能運動於四維速度空間內的特定的三維曲面。將這約束代入上述方程式，可以正確地複製自由粒子的運動方程式。

${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}(m{X}_{\mu }^{\prime })=m{X}_{\mu }^{\prime \prime }=0}$。

現在假設這粒子是移動於電磁場的帶電粒子。電磁場的協變位勢可以寫為

${\displaystyle q\phi (\mathbf {r} )-q\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)=qU^{\alpha }\mathbb {A} _{\alpha }(X^{\beta })/\gamma }$；

其中，${\displaystyle \mathbb {A} _{\alpha }=(\phi /c,-A_{1},-A_{2},-A_{3})}$是電磁四維勢。

協變的拉格朗日量${\displaystyle {\bar {\mathcal {L}}}}$是

${\displaystyle {\bar {\mathcal {L}}}=\gamma {\mathcal {L}}=-mc{\sqrt {g_{\alpha \beta }U^{\alpha }U^{\beta }}}-qU^{\alpha }\mathbb {A} _{\alpha }(X^{\beta })}$。

其拉格朗日方程式為

${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}\left({\frac {\partial {\bar {\mathcal {L}}}}{\partial {X}^{\prime \mu }}}\right)-{\frac {\partial {\bar {\mathcal {L}}}}{\partial X^{\mu }}}=-{\frac {d}{d\tau }}(m{X}_{\mu }^{\prime }+q\mathbb {A} _{\mu })+qU^{\alpha }{\frac {\partial \mathbb {A} _{\alpha }}{\partial X^{\mu }}}=0}$。

經過一番運算，可以得到

${\displaystyle {\begin{aligned}m{X}_{\mu }^{\prime \prime }&=-q{\frac {d}{d\tau }}(\mathbb {A} _{\mu })+qU^{\alpha }{\frac {\partial \mathbb {A} _{\alpha }}{\partial X^{\mu }}}\\&=-q{\frac {dX^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {\partial (\mathbb {A} _{\mu })}{\partial X^{\alpha }}}+qU^{\alpha }{\frac {\partial \mathbb {A} _{\alpha }}{\partial X^{\mu }}}\\&=qU^{\alpha }\left({\frac {\partial \mathbb {A} _{\alpha }}{\partial X^{\mu }}}-{\frac {\partial (\mathbb {A} _{\mu })}{\partial X^{\alpha }}}\right)\\&=qU^{\alpha }F_{\mu \alpha }\\\end{aligned}}}$