高斯散度定理

区域V，以带有法线n的面S = ∂V为边界。

散度定理可以用來計算穿過閉曲面的通量，例如，任何左邊的曲面；散度定理不可以用來計算穿過具有邊界的曲面，例如，任何右邊的曲面。在這圖內，曲面以藍色顯示，邊界以紅色顯示。

设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面Σ所围起來的三維區域，函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在Ω上具有一阶连续偏导数，则有

${\displaystyle \iiint _{\Omega }\left({\frac {\partial P}{\partial x}}+{\frac {\partial Q}{\partial y}}+{\frac {\partial R}{\partial z}}\right)dv=}$${\displaystyle \oiint }$${\displaystyle \scriptstyle \Sigma }$${\displaystyle P\,dy\land dz+Q\,dz\land dx+R\,dx\land dy}$

或

${\displaystyle \iiint _{\Omega }\left({\frac {\partial P}{\partial x}}+{\frac {\partial Q}{\partial y}}+{\frac {\partial R}{\partial z}}\right)dv=}$${\displaystyle \oiint }$${\displaystyle \scriptstyle \Sigma }$${\displaystyle (P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )\,dS}$

这里Σ是Ω的边界（boundary），cos α、cos β、cos γ是Σ在点(x,y,z)处的單位法向量的方向余弦。

这两个公式都叫做高斯公式，不過這兩公式僅僅是表達方式不同，其實是相同的定理，這可以用變數變換得到兩公式的右邊都等於 ${\displaystyle \iint _{\Sigma }(P,Q,R)\cdot \mathbf {n} \,dS}$，其中 ${\displaystyle \mathbf {n} }$ 是曲面 ${\displaystyle \Sigma }$ 的向外單位法向量。

这个定理是更一般的斯托克斯公式的特殊情形。

高斯公式用散度表示为：

${\displaystyle \iiint _{\Omega }\mathrm {div} \mathbf {A} \,dv=}$${\displaystyle \oiint }$${\displaystyle \scriptstyle \Sigma }$${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {n} \,dS.}$

其中Σ是空间闭区域Ω的边界曲面，而 ${\displaystyle \mathbf {n} }$ 是曲面Σ上的朝外的單位法向量。

令V代表有一间单闭曲面S为边界的体积，${\displaystyle \mathbf {f} }$是定义在V中和S上连续可微的向量场。如果${\displaystyle d\mathbf {S} }$是外法向向量面元，则

${\displaystyle \int _{S}\mathbf {f} \cdot d\mathbf {S} =\int _{V}\nabla \cdot \mathbf {f} dV}$

• 对于标量函数g和向量场F的积，应用高斯公式可得：

${\displaystyle \iiint _{V}\left(\mathbf {F} \cdot \left(\nabla g\right)+g\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)\right)dV=\iint _{\partial V}g\mathbf {F} \cdot d\mathbf {S} }$

• 对于两个向量场${\displaystyle \mathbf {F} \times \mathbf {G} }$的向量积，应用高斯公式可得：

${\displaystyle \iiint _{V}\left(\mathbf {G} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {F} \right)-\mathbf {F} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {G} \right)\right)\,dV=\iint _{\partial V}\left(\mathbf {F} \times \mathbf {G} \right)\cdot d\mathbf {S} }$

• 对于标量函数f和非零常向量的积，应用高斯公式可得：

${\displaystyle \iiint _{V}\nabla f\,dV=\iint \limits _{\partial V}f\,d\mathbf {S} }$

• 对于向量场F和非零常向量的向量积，应用高斯公式可得：

${\displaystyle \iiint _{V}\nabla \times \mathbf {F} \,dV=\iint _{\partial V}d\mathbf {S} \times \mathbf {F} .}$

例子所对应的向量场。注意，向量可能指向球面的内侧或者外侧。

假设我们想要计算

${\displaystyle \oiint }$${\displaystyle \scriptstyle S}$${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,dS,}$

其中S是一个单位球面，定义为

${\displaystyle S=\left\{x,y,z\in \mathbb {R} ^{3}\$ :\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\}.}

F是向量场

${\displaystyle \mathbf {F} =2x\mathbf {i} +y^{2}\mathbf {j} +z^{2}\mathbf {k} .}$

直接计算这个积分是相当困难的，但我们可以用高斯公式来把它简化：

${\displaystyle \iiint _{W}(\nabla \cdot \mathbf {F} )\,dV=2\iiint _{W}(1+y+z)\,dV=2\iiint _{W}dV+2\iiint _{W}y\,dV+2\iiint _{W}z\,dV.}$

其中W是单位球:

${\displaystyle W=\left\{x,y,z\in \mathbb {R} ^{3}\$ :\ x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 1\right\}.}

由于函数y和z是奇函数，我们有：

${\displaystyle \iiint _{W}y\,dV=\iiint _{W}z\,dV=0.}$

因此：

${\displaystyle \oiint }$${\displaystyle \scriptstyle S}$${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,{d}S=2\iiint _{W}\,dV={\frac {8\pi }{3}},}$

因为单位球W的体积是4π/3.

二阶张量的高斯公式实际上是上面的高斯公式的推论。为了使内容完整，首先简要地介绍三维欧几里得空间上的二阶张量（详见并矢张量或张量积）以及相关的概念和记号。在这里，向量和向量场用黑斜体字母表示，张量用正黑体字母表示。

1. 两个向量${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$和${\displaystyle {\boldsymbol {b}}}$并排放在一起所形成的量${\displaystyle {\boldsymbol {ab}}}$被称为向量${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$和${\displaystyle {\boldsymbol {b}}}$的并矢或并矢张量。要注意，一般来说，${\displaystyle {\boldsymbol {ab}}\neq {\boldsymbol {ba}}}$。
2. ${\displaystyle {\boldsymbol {ab}}=0}$的充分必要条件是${\displaystyle {\boldsymbol {a}}=0}$或${\displaystyle {\boldsymbol {b}}=0}$。
3. 二阶张量就是有限个并矢的线性组合。
4. ${\displaystyle {\boldsymbol {ab}}}$分别线性地依赖于${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$和${\displaystyle {\boldsymbol {b}}}$。
5. 二阶张量${\displaystyle \mathbf {T} }$和向量${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$的缩并${\displaystyle \mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {a}}}$以及${\displaystyle {\boldsymbol {a}}\cdot \mathbf {T} }$对 ${\displaystyle \mathbf {T} }$和${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$都是线性的。
6. 特别是，当${\displaystyle \mathbf {T} ={\boldsymbol {uv}}}$时，

${\displaystyle \mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {a}}=({\boldsymbol {uv}})\cdot {\boldsymbol {a}}={\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {a}})\,,\qquad {\boldsymbol {a}}\cdot \mathbf {T} ={\boldsymbol {a}}\cdot ({\boldsymbol {uv}})=({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {u}})\,{\boldsymbol {v}},}$

所以，一般说来，${\displaystyle \mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {a}}\neq {\boldsymbol {a}}\cdot \mathbf {T} }$。

下面举一个例子：用二阶张量及其与向量的缩并来重新写${\displaystyle ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\times {\boldsymbol {c}}}$和${\displaystyle {\boldsymbol {a}}\times ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})}$。

${\displaystyle ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\times {\boldsymbol {c}}=({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}})\,{\boldsymbol {b}}-({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {c}})\,{\boldsymbol {a}}=-({\boldsymbol {ab}}-{\boldsymbol {ba}})\cdot {\boldsymbol {c}}\,,\qquad {\boldsymbol {a}}\times ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})=({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}})\,{\boldsymbol {b}}-({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {b}})\,{\boldsymbol {c}}=-{\boldsymbol {a}}\cdot ({\boldsymbol {bc}}-{\boldsymbol {cb}})\,.}$

我们还用到二阶张量${\displaystyle \mathbf {T} }$的转置${\displaystyle \mathbf {T} '}$（又可以记为${\displaystyle \mathbf {T} ^{\mathrm {t} }}$），定义如下：

1. ${\displaystyle \mathbf {T} '}$仍然是一个二阶张量，并且线性地依赖于${\displaystyle \mathbf {T} }$。
2. ${\displaystyle ({\boldsymbol {uv}})'={\boldsymbol {vu}}}$。

定理：设 ${\displaystyle V}$是三维欧几里得空间中的一个有限区域，${\displaystyle S}$是它的边界曲面，${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {n}}}}$是${\displaystyle S}$的外法线方向上的单位向量，${\displaystyle \mathbf {T} }$是定义在${\displaystyle V}$的某个开邻域上的${\displaystyle C^{1}}$连续的二阶张量场，${\displaystyle \mathbf {T} '}$是${\displaystyle \mathbf {T} }$的转置，则

${\displaystyle \iint _{S}{\hat {\boldsymbol {n}}}\cdot \mathbf {T} \,dS=\iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {T} \,dV\,,\qquad \iint _{S}\mathbf {T} \cdot {\hat {\boldsymbol {n}}}\,dS=\iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {T} '\,dV\,.}$

证明：下面以第二个式子为例进行证明。令第二个式子的左边为${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$，则

${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{i}\cdot {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {e}}_{i}\cdot \iint _{S}\mathbf {T} \cdot {\hat {\boldsymbol {n}}}\,dS=\iint _{S}{\boldsymbol {e}}_{i}\cdot \mathbf {T} \cdot {\hat {\boldsymbol {n}}}\,dS=\iint _{S}T^{ij}{\boldsymbol {e}}_{j}\cdot {\boldsymbol {n}}\,dS\,.}$

接下来利用向量场的高斯公式，可得

${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{i}\cdot {\boldsymbol {F}}=\iiint _{V}\nabla \cdot (T^{ij}{\boldsymbol {e}}_{j})\,dV=\iiint _{V}{\frac {\partial T^{ij}}{\partial x^{j}}}\,dV\,,}$

于是

${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {e}}_{i}\,({\boldsymbol {e}}_{i}\cdot {\boldsymbol {F}})={\boldsymbol {e}}_{i}\iint _{S}{\frac {\partial T^{ij}}{\partial x^{j}}}\,dV=\iiint _{V}{\boldsymbol {e}}_{i}{\frac {\partial T^{ij}}{\partial x^{j}}}\,dV=\iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {T} '\,dV\,.}$

至此证毕。

• 格林定理
• 斯托克斯定理

1. UPSC Combined Geo-Scientist And Geologist exam 2020: Check application process, exam dates, syllabus, paper pattern, other details.The Indian Express.September 22, 2019.
2. 提要251：第一个重要的矢量定理--散度定理(Divergence Theorem).中华大学.2011-12-22.
3. 同济大学数学系 编. 高等数学(第六版)(下册). 北京: 高等教育出版社, 2007
4. 谢树艺编. 高等学校教材•工程数学:向量分析与场论(第3版). 北京: 高等教育出版社, 2005