动力系统
动力系统（dynamical system）是数学上的一个概念。动力系统是一种固定的规则，它描述一个给定空间（如某个物理系统的状态空间）中所有点随时间的变化情况。例如描述钟摆晃动、管道中水的流动，或者湖中每年春季鱼类的数量，凡此等等的数学模型都是动力系统。
在动力系统中有所谓状态的概念，状态是一组可以被确定下来的实数。状态的微小变动对应这组实数的微小变动。这组实数也是一种流形的几何空间坐标。动力系统的演化规则是一组函数的固定规则，它描述未来状态如何依赖于当前状态的。这种规则是确定性的，即对于给定的时间间隔內，从现在的状态只能演化出一个未来的状态。
若只是在一系列不连续的时间点考察系统的状态，则这个动力系统为离散动力系统；若时间连续，就得到一个连续动力系统。如果系统以一种连续可微的方式依赖于时间，我们就称它为一个光滑动力系统。
歷史
許多人視法國數學家及物理學家龐加萊為動態系統的創始者。他發行了兩份現在被譽為經典的專著：天體力學的新方法《天體力學的新方法》（New Methods of Celestial Mechanics，1892–1899）、《天體力學講義》（Lectures on Celestial Mechanics，1905–1910）。專著中，他成功將研究結果應用在三體問題，並詳細研究其狀態（頻率，穩定性等）。作品中也包含龐加萊復現定理（Poincaré recurrence theorem），該定理指出某些系統在經過足夠長但有限的時間之後，將返回到非常接近初始狀態的狀態。
俄羅斯數學家李亞普諾夫發展許多重要的近似方法。他在1899年發展出的方法，使得定義常微分方程組的穩定性是可行的。 他也創造了動態系統穩定性的現代理論。
美國數學家伯克霍夫在1913年證明了龐加萊的最終幾何定理（Last Geometric Theorem），一個三體問題的特殊形況。在1927年，他則發行了《動態系統》（Dynamical Systems）。在1931年，伯克霍夫發現了最使他名留青史的結果，現在稱作遍歷定理。
美國數學家斯梅爾也對動態系統作出重大貢獻。他的貢獻馬蹄映射推動了動態系統重要研究，此外他還勾劃出研究計劃，讓很多研究者實行。
烏克蘭數學家亚历山大·沙可夫斯基在1964年給出關於離散動力系統的沙可夫斯基定理，此定理的一個含義是，如果實數軸上的離散動態系統具有週期為3的週期點，那麼它必定具有任意週期的週期點。
註釋
- Holmes, Philip. "Poincaré, celestial mechanics, dynamical-systems theory and "chaos"." Physics Reports 193.3 (1990): 137-163.
参考书籍
- Geometrical theory of dynamical systems Nils Berglund's lecture notes for a course at ETH at the advanced undergraduate level.
- Dynamical systems（页面存档备份，存于）. George D. Birkhoff's 1927 book already takes a modern approach to dynamical systems.
- Chaos: classical and quantum. An introduction to dynamical systems from the periodic orbit point of view.
- Introduction to Social Macrodynamics. Mathematical models of the World System development
- Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos 微分方程、动力系统与混沌导论
延伸閱讀
Works providing a broad coverage:
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- Encyclopaedia of Mathematical Sciences (ISSN 0938-0396) has a sub-series on dynamical systems with reviews of current research.
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Introductory texts with a unique perspective:
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Popularizations:
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外部链接
- 動態系統介紹
- Dynamical systems at SUNY：紐約州立大學石溪校區研究小組的網站，有會議、研究者和未解決問題等資料（英）
- Oliver Knill（页面存档备份，存于）：以JavaScript說明一些動態系統的例子（英）
- Arxiv preprint server（页面存档备份，存于）：關於此範疇每日的新論文（英）
- Chaos @ UMD（页面存档备份，存于）：主攻應用層面（英）
- 動態系統的穩定性分析
本文来源：维基百科：动力系统
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