泊松方程

泊松方程式為

${\displaystyle \Delta \varphi =f}$

在這裡${\displaystyle \Delta }$代表的是拉普拉斯算子，而${\displaystyle f}$和${\displaystyle \varphi }$可以是在流形上的實數或複數值的方程式。當流形屬於歐幾里得空間，而拉普拉斯算子通常表示為${\displaystyle {\nabla }^{2}}$，因此泊松方程通常寫成

${\displaystyle {\nabla }^{2}\varphi =f}$

在三維直角坐標系，可以寫成

${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)\varphi (x,y,z)=f(x,y,z).}$

如果有${\displaystyle f(x,y,z)}$恒等于0，這個方程式就會變成一个齐次方程，这个方程称作“拉普拉斯方程”。

${\displaystyle \Delta \varphi =0.\!}$

泊松方程可以用格林函數來求解；如何利用格林函數來解泊松方程可以參考屏蔽泊松方程。現在也发展出很多種數值解，如松弛法（一种迭代法）。

通常泊松方程式表示为

${\displaystyle -\Delta \varphi =f}$

这里${\displaystyle \Delta }$代表拉普拉斯算子，${\displaystyle f}$为已知函数，而${\displaystyle \varphi }$为未知函数。当${\displaystyle f=0}$ 时，这个方程被称为拉普拉斯方程。

为了解泊松方程我们需要更多的信息，比如狄利克雷边界条件:

${\displaystyle {\begin{cases}-\Delta \varphi =f&{\text{in}}\ \Omega \\\varphi =g&{\text{auf}}\ \partial \Omega \end{cases}}}$

其中 ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ 为有界开集。

这种情况下利用基础函数构建泊松方程的解，拉普拉斯方程的基础函数为:

${\displaystyle \Phi (x)={\begin{cases}-{\dfrac {1}{2\pi }}\ln |x|&n=2\\{\dfrac {1}{n(n-2)\omega _{n}}}{\dfrac {1}{|x|^{n-2}}}&n\geq 3\end{cases}}}$

其中${\displaystyle \omega _{n}}$为n维欧几里得空间中单位球面的体积，此时可通过卷积${\displaystyle (\Phi *f)}$得到 ${\displaystyle -\Delta \varphi =f}$的解。

为了使方程满足上述边界条件，我们使用格林函数

${\displaystyle G(x,y)=\Phi (y-x)-\phi ^{x}(y)}$

${\displaystyle \phi ^{x}}$ 为一个校正函数，它满足

${\displaystyle {\begin{cases}\Delta \phi ^{x}=0&{\text{in}}\ \Omega \\\phi ^{x}=\Phi (y-x)&{\text{auf}}\ \partial \Omega \end{cases}}}$

通常情况下${\displaystyle \phi ^{x}}$是依赖于${\displaystyle \Omega }$。

通过 ${\displaystyle G(x,y)}$可以给出上述边界条件的解

${\displaystyle u(x)=-\int _{\partial \Omega }g(y){\frac {\partial G}{\partial \nu }}(x,y)\mathrm {d} \sigma (y)+\int _{\Omega }f(y)G(x,y)\mathrm {d} y}$

其中${\displaystyle \sigma }$ 表示${\displaystyle \partial \Omega }$上的曲面测度。

此方程的解也可通过变分法得到。

在靜電學很容易遇到泊松方程。對於給定的f找出φ是一個很實際的問題，因為我們經常遇到給定電荷密度然後找出電位的問題。在國際單位制（SI）中：

${\displaystyle {\nabla }^{2}\Phi =-{\rho \over \epsilon _{0}}}$

此${\displaystyle \Phi \!}$代表電勢（單位為伏特），${\displaystyle \rho \!}$是體電荷密度（單位為庫侖/立方公尺），而${\displaystyle \epsilon _{0}\!}$是真空電容率（單位為法拉/公尺）。

如果空間中有某區域沒有帶電粒子，則

${\displaystyle \rho =0,\,}$

此方程式就變成拉普拉斯方程：

${\displaystyle {\nabla }^{2}\Phi =0.}$

如果有一個三維球對稱的高斯分佈電荷密度 ${\displaystyle \rho (r)}$：

${\displaystyle \rho (r)={\frac {Q}{\sigma ^{3}{\sqrt {2\pi }}^{3}}}\,e^{-r^{2}/(2\sigma ^{2})},}$

此處，Q代表總電荷

此泊松方程式：${\displaystyle {\nabla }^{2}\Phi =-{\rho \over \epsilon _{0}}}$ 的解Φ(r)則為

${\displaystyle \Phi (r)={1 \over 4\pi \epsilon _{0}}{\frac {Q}{r}}\,{\mbox{erf}}\left({\frac {r}{{\sqrt {2}}\sigma }}\right)}$

erf(x)代表的是误差函数.

注意：如果r遠大於σ，erf(x)趨近於1，而電場Φ(r)趨近點電荷電場 ${\displaystyle {1 \over 4\pi \epsilon _{0}}{Q \over r}}$；正如我們所預期的。

• 离散泊松方程
• 泊松-玻尔兹曼方程
• 泊松方程的唯一性定理

• Hazewinkel, Michiel (编), , , Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
• Poisson's equation （页面存档备份，存于） on PlanetMath.