叉积

在数学和向量代数领域，外積（英語：）又称向量积（英語：），是对三维空间中的两个向量的二元运算，使用符号 $\times$ 。与点积不同，它的运算结果是向量。对于线性无关的两个向量 $\mathbf {a}$ 和 $\mathbf {b}$ ，它们的外积写作 $\mathbf {a} \times \mathbf {b}$ ，是 $\mathbf {a}$ 和 $\mathbf {b}$ 所在平面的法线向量，与 $\mathbf {a}$ 和 $\mathbf {b}$ 都垂直。外积被广泛运用于数学、物理、工程学、计算机科学领域。

如果两个向量方向相同或相反（即它们没有线性无关的分量），亦或任意一个的长度为零，那么它们的外积为零。推广开来，外积的模长和以这两个向量为边的平行四边形的面积相等；如果两个向量成直角，它们外积的模长即为两者长度的乘积。

外积和点积一样依赖于欧几里德空间的度量，但与点积之不同的是，外积还依赖于定向或右手定則。

在右手坐标系中的向量积

定义

使用右手定則确定外积的方向

两个向量 $\mathbf {a}$ 和 $\mathbf {b}$ 的外积仅在三维空间中有定义，写作 $\mathbf {a} \times \mathbf {b}$ 。在物理学中，外积有时也被写成 $\mathbf {a} \wedge \mathbf {b}$ ，但在数学中 $\mathbf {a} \wedge \mathbf {b}$ 是外代数中的外积。

外积 $\mathbf {a} \times \mathbf {b}$ 是与 $\mathbf {a}$ 和 $\mathbf {b}$ 都垂直的向量 $\mathbf {c}$ 。其方向由右手定則决定，模长等于以两个向量为边的平行四边形的面积。

外积可以定义为：

\mathbf {a} \times \mathbf {b} =\|\mathbf {a} \|\|\mathbf {b} \|\sin(\theta )\ \mathbf {n}

其中 $\theta$ 表示 $\mathbf {a}$ 和 $\mathbf {b}$ 在它们所定义的平面上的夹角（ $0^{\circ }\leq \theta \leq 180^{\circ }$ ）。 $\|\mathbf {a} \|$ 和 $\|\mathbf {b} \|$ 是向量 $\mathbf {a}$ 和 $\mathbf {b}$ 的模长，而 $\mathbf {n}$ 则是一个与 $\mathbf {a}$ 、 $\mathbf {b}$ 所构成的平面垂直的单位向量，方向由右手定則决定。根据上述公式，当 $\mathbf {a}$ 与 $\mathbf {b}$ 平行（即 $\theta$ 为 0° 或 180°）时，它们的外积为零向量 $\mathbf {0}$ 。

外积a × b（垂直方向、紫色）随着向量 a（蓝色）和 b（红色）的夹角变化。外积垂直于两个向量，模长在两者平行时为零、在两者垂直时达到最大值‖a‖‖b‖。

按照惯例，向量 $\mathbf {n}$ 的方向由右手定則决定：将右手食指指向 $\mathbf {a}$ 的方向、中指指向 $\mathbf {b}$ 的方向，则此时拇指的方向即为 $\mathbf {n}$ 的方向。使用这一定则意味着外积满足反交换律， $\mathbf {a} \times \mathbf {b} =-(\mathbf {b} \times \mathbf {a} )$ ：将右手食指指向 $\mathbf {b}$ 、中指指向 $\mathbf {a}$ ，那么拇指就必定指向相反方向，即翻转了外积的符号。

由此可以看出，使用外积需要考虑坐标系的利手性（英語：），如果使用的是左手坐标系，向量 $\mathbf {n}$ 的方向需要使用左手定则决定，与右手坐标系中的方向相反。

这样就会带来一个问题：参照系的变换不应该影响 $\mathbf {n}$ 的方向（例如从右手坐标系到左手坐标系的镜像变换）。因此，两个向量的外积并不是（真）向量，而是伪向量。

计算

坐标表示

基向量（i、j、k，也记作 e₁、e₂、e₃）和向量 a 的分解（a_x、a_y、a_z，也记作 a₁、a₂、a₃)

右手坐标系中，基向量 $\mathbf {i}$ 、 $\mathbf {j}$ 、 $\mathbf {k}$ 满足以下等式：

{\begin{aligned}\mathbf {i} \times \mathbf {j} &=\mathbf {k} \\\mathbf {j} \times \mathbf {k} &=\mathbf {i} \\\mathbf {k} \times \mathbf {i} &=\mathbf {j} \end{aligned}}

根据反交换律可以得出：

{\begin{aligned}\mathbf {j\times i} &=-\mathbf {k} \\\mathbf {k\times j} &=-\mathbf {i} \\\mathbf {i\times k} &=-\mathbf {j} \end{aligned}}

根据外积的定义可以得出：

\mathbf {i} \times \mathbf {i} =\mathbf {j} \times \mathbf {j} =\mathbf {k} \times \mathbf {k} =\mathbf {0}

（零向量）。

根据以上等式，结合外积的分配律和线性关系，就可以确定任意向量的外积。

向量 $\mathbf {u}$ 和 $\mathbf {v}$ 可以定义为平行于基向量的三个正交元素之和：

{\begin{aligned}\mathbf {u} &=u_{1}\mathbf {i} +u_{2}\mathbf {j} +u_{3}\mathbf {k} \\\mathbf {v} &=v_{1}\mathbf {i} +v_{2}\mathbf {j} +v_{3}\mathbf {k} \end{aligned}}

两者的外积 $\mathbf {u} \times \mathbf {v}$ 可以根据分配律展开：

{\begin{aligned}\mathbf {u} \times \mathbf {v} ={}&(u_{1}\mathbf {i} +u_{2}\mathbf {j} +u_{3}\mathbf {k} )\times (v_{1}\mathbf {i} +v_{2}\mathbf {j} +v_{3}\mathbf {k} )\\={}&u_{1}v_{1}(\mathbf {i} \times \mathbf {i} )+u_{1}v_{2}(\mathbf {i} \times \mathbf {j} )+u_{1}v_{3}(\mathbf {i} \times \mathbf {k} )+{}\\&u_{2}v_{1}(\mathbf {j} \times \mathbf {i} )+u_{2}v_{2}(\mathbf {j} \times \mathbf {j} )+u_{2}v_{3}(\mathbf {j} \times \mathbf {k} )+{}\\&u_{3}v_{1}(\mathbf {k} \times \mathbf {i} )+u_{3}v_{2}(\mathbf {k} \times \mathbf {j} )+u_{3}v_{3}(\mathbf {k} \times \mathbf {k} )\\\end{aligned}}

即把 $\mathbf {u} \times \mathbf {v}$ 分解为九个仅涉及 $\mathbf {i}$ 、 $\mathbf {j}$ 、 $\mathbf {k}$ 的简单外积之和。九个外积各自所涉及的向量，要么相互平行、要么相互正交。将最前面所述的几个等式带入其中，然后合并同类项，可以得到：

{\begin{aligned}\mathbf {u} \times \mathbf {v} ={}&-u_{1}v_{1}\mathbf {0} +u_{1}v_{2}\mathbf {k} -u_{1}v_{3}\mathbf {j} \\&-u_{2}v_{1}\mathbf {k} -u_{2}v_{2}\mathbf {0} +u_{2}v_{3}\mathbf {i} \\&+u_{3}v_{1}\mathbf {j} -u_{3}v_{2}\mathbf {i} -u_{3}v_{3}\mathbf {0} \\={}&(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2})\mathbf {i} +(u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3})\mathbf {j} +(u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1})\mathbf {k} \\\end{aligned}}

即结果向量 $\mathbf {s} =s_{1}\mathbf {i} +s_{2}\mathbf {j} +s_{3}\mathbf {k} =\mathbf {u} \times \mathbf {v}$ 的三个标量元素为：

{\begin{aligned}s_{1}&=u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2}\\s_{2}&=u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3}\\s_{3}&=u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}\end{aligned}}