叉积

使用右手定則确定外积的方向

两个向量 ${\displaystyle \mathbf {a} }$ 和 ${\displaystyle \mathbf {b} }$ 的外积仅在三维空间中有定义，写作 ${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} }$。在物理学中，外积有时也被写成${\displaystyle \mathbf {a} \wedge \mathbf {b} }$，但在数学中 ${\displaystyle \mathbf {a} \wedge \mathbf {b} }$ 是外代数中的外积。

外积 ${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} }$ 是与 ${\displaystyle \mathbf {a} }$ 和 ${\displaystyle \mathbf {b} }$ 都垂直的向量 ${\displaystyle \mathbf {c} }$。其方向由右手定則决定，模长等于以两个向量为边的平行四边形的面积。

外积可以定义为：

${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\|\mathbf {a} \|\|\mathbf {b} \|\sin(\theta )\ \mathbf {n} }$

其中 ${\displaystyle \theta }$ 表示 ${\displaystyle \mathbf {a} }$ 和 ${\displaystyle \mathbf {b} }$ 在它们所定义的平面上的夹角（${\displaystyle 0^{\circ }\leq \theta \leq 180^{\circ }}$）。${\displaystyle \|\mathbf {a} \|}$ 和 ${\displaystyle \|\mathbf {b} \|}$ 是向量 ${\displaystyle \mathbf {a} }$ 和 ${\displaystyle \mathbf {b} }$ 的模长，而 ${\displaystyle \mathbf {n} }$ 则是一个与 ${\displaystyle \mathbf {a} }$、${\displaystyle \mathbf {b} }$ 所构成的平面垂直的单位向量，方向由右手定則决定。根据上述公式，当 ${\displaystyle \mathbf {a} }$ 与 ${\displaystyle \mathbf {b} }$ 平行（即 ${\displaystyle \theta }$ 为 0° 或 180°）时，它们的外积为零向量 ${\displaystyle \mathbf {0} }$。

外积a × b（垂直方向、紫色）随着向量 a（蓝色）和 b（红色）的夹角变化。 外积垂直于两个向量，模长在两者平行时为零、在两者垂直时达到最大值‖a‖‖b‖。

按照惯例，向量 ${\displaystyle \mathbf {n} }$ 的方向由右手定則决定：将右手食指指向 ${\displaystyle \mathbf {a} }$ 的方向、中指指向 ${\displaystyle \mathbf {b} }$ 的方向，则此时拇指的方向即为 ${\displaystyle \mathbf {n} }$ 的方向。使用这一定则意味着外积满足反交换律，${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =-(\mathbf {b} \times \mathbf {a} )}$：将右手食指指向 ${\displaystyle \mathbf {b} }$、中指指向 ${\displaystyle \mathbf {a} }$，那么拇指就必定指向相反方向，即翻转了外积的符号。

由此可以看出，使用外积需要考虑坐标系的利手性（英語：），如果使用的是左手坐标系，向量 ${\displaystyle \mathbf {n} }$ 的方向需要使用左手定则决定，与右手坐标系中的方向相反。

这样就会带来一个问题：参照系的变换不应该影响 ${\displaystyle \mathbf {n} }$ 的方向（例如从右手坐标系到左手坐标系的镜像变换）。因此，两个向量的外积并不是（真）向量，而是伪向量。

基向量（i、j、k，也记作 e₁、e₂、e₃）和向量 a 的分解（a_x、a_y、a_z，也记作 a₁、a₂、a₃)

右手坐标系中，基向量 ${\displaystyle \mathbf {i} }$、${\displaystyle \mathbf {j} }$、${\displaystyle \mathbf {k} }$ 满足以下等式：

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {i} \times \mathbf {j} &=\mathbf {k} \\\mathbf {j} \times \mathbf {k} &=\mathbf {i} \\\mathbf {k} \times \mathbf {i} &=\mathbf {j} \end{aligned}}}$

根据反交换律可以得出：

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {j\times i} &=-\mathbf {k} \\\mathbf {k\times j} &=-\mathbf {i} \\\mathbf {i\times k} &=-\mathbf {j} \end{aligned}}}$

根据外积的定义可以得出：

${\displaystyle \mathbf {i} \times \mathbf {i} =\mathbf {j} \times \mathbf {j} =\mathbf {k} \times \mathbf {k} =\mathbf {0} }$（零向量）。

根据以上等式，结合外积的分配律和线性关系，就可以确定任意向量的外积。

向量 ${\displaystyle \mathbf {u} }$ 和 ${\displaystyle \mathbf {v} }$ 可以定义为平行于基向量的三个正交元素之和：

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} &=u_{1}\mathbf {i} +u_{2}\mathbf {j} +u_{3}\mathbf {k} \\\mathbf {v} &=v_{1}\mathbf {i} +v_{2}\mathbf {j} +v_{3}\mathbf {k} \end{aligned}}}$

两者的外积 ${\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} }$ 可以根据分配律展开：

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} \times \mathbf {v} ={}&(u_{1}\mathbf {i} +u_{2}\mathbf {j} +u_{3}\mathbf {k} )\times (v_{1}\mathbf {i} +v_{2}\mathbf {j} +v_{3}\mathbf {k} )\\={}&u_{1}v_{1}(\mathbf {i} \times \mathbf {i} )+u_{1}v_{2}(\mathbf {i} \times \mathbf {j} )+u_{1}v_{3}(\mathbf {i} \times \mathbf {k} )+{}\\&u_{2}v_{1}(\mathbf {j} \times \mathbf {i} )+u_{2}v_{2}(\mathbf {j} \times \mathbf {j} )+u_{2}v_{3}(\mathbf {j} \times \mathbf {k} )+{}\\&u_{3}v_{1}(\mathbf {k} \times \mathbf {i} )+u_{3}v_{2}(\mathbf {k} \times \mathbf {j} )+u_{3}v_{3}(\mathbf {k} \times \mathbf {k} )\\\end{aligned}}}$

即把 ${\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} }$ 分解为九个仅涉及 ${\displaystyle \mathbf {i} }$、${\displaystyle \mathbf {j} }$、${\displaystyle \mathbf {k} }$ 的简单外积之和。九个外积各自所涉及的向量，要么相互平行、要么相互正交。将最前面所述的几个等式带入其中，然后合并同类项，可以得到：

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} \times \mathbf {v} ={}&-u_{1}v_{1}\mathbf {0} +u_{1}v_{2}\mathbf {k} -u_{1}v_{3}\mathbf {j} \\&-u_{2}v_{1}\mathbf {k} -u_{2}v_{2}\mathbf {0} +u_{2}v_{3}\mathbf {i} \\&+u_{3}v_{1}\mathbf {j} -u_{3}v_{2}\mathbf {i} -u_{3}v_{3}\mathbf {0} \\={}&(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2})\mathbf {i} +(u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3})\mathbf {j} +(u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1})\mathbf {k} \\\end{aligned}}}$

即结果向量 ${\displaystyle \mathbf {s} =s_{1}\mathbf {i} +s_{2}\mathbf {j} +s_{3}\mathbf {k} =\mathbf {u} \times \mathbf {v} }$ 的三个标量元素为：

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{1}&=u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2}\\s_{2}&=u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3}\\s_{3}&=u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}\end{aligned}}}$

也可以记作列向量的形式：

${\displaystyle {\begin{pmatrix}s_{1}\\s_{2}\\s_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2}\\u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3}\\u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}\end{pmatrix}}}$

根据萨吕法则确定 u 和 v 的外积

外积可以表达为这样的行列式：

${\displaystyle \mathbf {u\times v} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\u_{1}&u_{2}&u_{3}\\v_{1}&v_{2}&v_{3}\\\end{vmatrix}}}$

这个行列式可以使用萨吕法则或拉普拉斯展开计算。使用萨吕法则可以展开为：

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u\times v} &=(u_{2}v_{3}\mathbf {i} +u_{3}v_{1}\mathbf {j} +u_{1}v_{2}\mathbf {k} )-(u_{3}v_{2}\mathbf {i} +u_{1}v_{3}\mathbf {j} +u_{2}v_{1}\mathbf {k} )\\&=(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2})\mathbf {i} +(u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3})\mathbf {j} +(u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1})\mathbf {k} \end{aligned}}}$

使用拉普拉斯展开可以沿第一行展开为：

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u\times v} &={\begin{vmatrix}u_{2}&u_{3}\\v_{2}&v_{3}\end{vmatrix}}\mathbf {i} -{\begin{vmatrix}u_{1}&u_{3}\\v_{1}&v_{3}\end{vmatrix}}\mathbf {j} +{\begin{vmatrix}u_{1}&u_{2}\\v_{1}&v_{2}\end{vmatrix}}\mathbf {k} \\&=(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2})\mathbf {i} -(u_{1}v_{3}-u_{3}v_{1})\mathbf {j} +(u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1})\mathbf {k} \end{aligned}}}$

都可以直接得到结果向量。

對於任意三個向量 ${\displaystyle \mathbf {a} }$、${\displaystyle \mathbf {b} }$、${\displaystyle \mathbf {c} }$，

• ${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {a} =\mathbf {0} }$
• ${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {0} =\mathbf {0} }$
• ${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =-\mathbf {b} \times \mathbf {a} }$（反交换律）
• ${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=\mathbf {a} \times \mathbf {b} +\mathbf {a} \times \mathbf {c} }$（加法的左分配律）
• ${\displaystyle (\mathbf {a} +\mathbf {b} )\times \mathbf {c} =\mathbf {a} \times \mathbf {c} +\mathbf {b} \times \mathbf {c} }$（加法的右分配律）
• ${\displaystyle (\lambda \mathbf {a} )\times \mathbf {b} =\lambda (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf {a} \times (\lambda \mathbf {b} )}$
• ${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} +\mathbf {c} \times \mathbf {d} =(\mathbf {a} -\mathbf {c} )\times (\mathbf {b} -\mathbf {d} )+\mathbf {a} \times \mathbf {d} +\mathbf {c} \times \mathbf {b} }$
• ${\displaystyle |\mathbf {a} \times \mathbf {b} |=|\mathbf {b} \times \mathbf {a} |}$
• ${\displaystyle |\mathbf {a} \times \mathbf {b} |^{2}=|\mathbf {a} |^{2}|\mathbf {b} |^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}={\begin{vmatrix}\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \\\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} \\\end{vmatrix}}}$（拉格朗日恆等式）

一般來說，向量外積不遵守約簡律，即 ${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {a} \times \mathbf {c} }$ 不表示 ${\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {c} }$。此外，${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {0} }$ 不表示 ${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {0} }$ 或 ${\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {0} }$。

但對於两个非零向量 ${\displaystyle \mathbf {a} }$ 和 ${\displaystyle \mathbf {b} }$，

• ${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {0} }$ 當且僅當 ${\displaystyle \mathbf {a} }$ 平行於 ${\displaystyle \mathbf {b} }$

图1：平行四边形面积即外积的模长

图2：三个向量定义平行六面体

如果以向量 ${\displaystyle \mathbf {a} }$ 和 ${\displaystyle \mathbf {b} }$ 为边构成一个平行四边形，那么这两个向量外积的模长与这个平行四边形的正面积相等（如图1）：

${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|=\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\sin \theta .}$

同时，如果以向量 ${\displaystyle \mathbf {a} }$、${\displaystyle \mathbf {b} }$、${\displaystyle \mathbf {c} }$ 为棱构成一个平行六面体，那么这个平行六面体的体积 ${\displaystyle \mathbf {V} }$ 也可以通过外积和点积的组合得到，这种积称作标量三重积（如图2）：

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} ).}$

因为标量三重积可能为负，平行六面体的体积需要取其绝对值：

${\displaystyle V=|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|}$

因为外积的模长与其参数夹角的正弦有关，可以认为外积是「垂直度」的度量，正如点积是「平行度」的度量一样。对于任意两个单位向量，外积为1意味着它们互相垂直，外积为0意味着它们互相平行。点积则相反：点积为0意味着它们互相垂直。

单位向量还能带来两个特性：两个单位向量的点积是它们夹角的余弦（可正可负）；它们外积的模长则为夹角的正弦（始终为正）。

對於實數 ${\displaystyle t}$ 和兩個向量值函數 ${\displaystyle \mathbf {a} (t)}$、${\displaystyle \mathbf {b} (t)}$，乘積法則成立：

• ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )={\frac {d\mathbf {a} }{dt}}\times \mathbf {b} +\mathbf {a} \times {\frac {d\mathbf {b} }{dt}}}$

给定直角坐标系的单位向量${\displaystyle \mathbf {i} }$，${\displaystyle \mathbf {j} }$，${\displaystyle \mathbf {k} }$满足下列等式：

${\displaystyle \mathbf {i} \times \mathbf {j} =\mathbf {k} }$、${\displaystyle \mathbf {j} \times \mathbf {k} =\mathbf {i} }$、${\displaystyle \mathbf {k} \times \mathbf {i} =\mathbf {j} }$

通过这些规则，两个向量的外积的坐标可以方便地计算出来，不需要考虑任何角度：设

${\displaystyle \mathbf {a} =a_{1}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j} +a_{3}\mathbf {k} }$

${\displaystyle \mathbf {b} =b_{1}\mathbf {i} +b_{2}\mathbf {j} +b_{3}\mathbf {k} }$

则

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b} &=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\mathbf {i} +(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})\mathbf {j} +(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {k} \\&={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{vmatrix}}\end{aligned}}}$

外积也可以用四元数来表示。注意到上述 ${\displaystyle \mathbf {i} }$、${\displaystyle \mathbf {j} }$、${\displaystyle \mathbf {k} }$ 之间的外积满足四元数的乘法。一般而言，若将向量表示成四元数a₁i + a₂j + a₃k，两个向量的外积可以这样计算：计算两个四元数的乘积得到一个四元数，并将这个四元数的实部去掉，即为结果。更多关于四元数乘法，向量运算及其几何意义请参见四元数与空间旋转。

七维向量的外积可以通过八元数得到，与上述的四元数方法相同。

七维外积具有与三维外积相似的性质：

• 双线性性：

${\displaystyle \mathbf {x} \times (a\mathbf {y} +b\mathbf {z} )=a\mathbf {x} \times \mathbf {y} +b\mathbf {x} \times \mathbf {z} }$

${\displaystyle (a\mathbf {y} +b\mathbf {z} )\times \mathbf {x} =a\mathbf {y} \times \mathbf {x} +b\mathbf {z} \times \mathbf {x} }$

• 反交换律：

${\displaystyle \mathbf {x} \times \mathbf {y} +\mathbf {y} \times \mathbf {x} =\mathbf {0} }$

• ${\displaystyle \mathbf {x} \times \mathbf {y} }$ 同时与 ${\displaystyle \mathbf {x} }$ 和 ${\displaystyle \mathbf {y} }$ 垂直：

${\displaystyle \mathbf {x} \cdot (\mathbf {x} \times \mathbf {y} )=\mathbf {y} \cdot (\mathbf {x} \times \mathbf {y} )=\mathbf {0} }$

• 拉格朗日恒等式：

${\displaystyle |\mathbf {x} \times \mathbf {y} |^{2}=|\mathbf {x} |^{2}|\mathbf {y} |^{2}-(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )^{2}}$

• 不同于三维情形，它并不满足雅可比恒等式：

${\displaystyle \mathbf {x} \times (\mathbf {y} \times \mathbf {z} )\;+\mathbf {y} \times (\mathbf {z} \times \mathbf {x} )\;+\mathbf {z} \times (\mathbf {x} \times \mathbf {y} )\neq \mathbf {0} }$

另外，在物理学力学、电磁学、光学和计算机图形学等理工学科中，外积应用十分广泛。例如力矩、角动量、洛伦兹力等矢量都可以由向量的外积求解。在进行这些物理量的计算时，往往可以借助右手定则辅助判断方向。

• 純量积
• 三重積
• 右手定则
• 外代数：外乘的实质，赝矢量与赝标量

1. Dennis G. Zill; Michael R. Cullen. . . Jones & Bartlett Learning. 2006: 321. ISBN 0-7637-4591-X.