面积

這個長方形的面積是 lw.

最基本的面積公式是長方形的公式。當l是長，w是寬時，其公式為：

${\displaystyle A=lw}$

當其圖形是一個正方形時，${\displaystyle l=w}$，因此正方形的公式為：

${\displaystyle A=s^{2}}$

長方形的面積計算方法需要證明。

證明

證明

引理：兩個長方形面積之比等於其長寬之積之比

如圖，根據《幾何原本》第六卷命題一 ——等高之平行四邊形的面積比與其底之比等同，我們得到

B:Y=a:c

  =ad:cd （第五卷命題十五）

Y:G=b:d

  =ab:ad （第五卷命題十五）

B:G=ab:cd （第五卷命題二十三）

（引理證畢）

定理：長方形的面積等於其長寬之積

根據引理， A:R=lw:(1x1)

定義單位正方形的面積為一平方單位。由於R是單位正方形，因此面積是一平方單位。將一平方單位代入R，得到：A:1=lw:1

${\displaystyle A=lw}$ （第五卷命題九）

（定理證畢）

面積相同

切割圖形

有些簡單的公式可以切割的方式得出。

例如平行四邊形，可以切割成一個梯形和一個直角三角形，如同右圖。如果三角形移到平行四邊形的另一邊，就可以變成一個長方形。因此，平行四邊形的面積公式有點像長方形的：

${\displaystyle A=bh}$

兩個全等三角形

至於同樣的平行四邊形可以分割為兩個全等三角形。因此三角形的公式為：

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}bh}$

圓形面積

圓形可以分割為很多扇形

圓形面積公式是基於基本的面積公式，假設有一個半徑為r的圓形，分成很多扇形，那一個扇形的面積就會很接近三角形，就像上圖一樣。如果分得夠細小，就可以看到半徑為r的圓形面積相等於一個高為r，底為πr的平行四邊形。

我們也可以用積分得到更肯定的答案。

${\displaystyle A=2\int _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,dx=\pi r^{2}.}$

計算不規則之圖形面積，可用填補法或切割法來計算之。

表面積

主条目：表面積

一些基本的立體表面積公式：

• 立方體：${\displaystyle 6x^{2}}$（x是立方體的邊長）
• 長方體：${\displaystyle 2(lw+wh+hl)}$（l、w、h分別是長方體的長、寬和高）
• 球體：${\displaystyle 4\pi r^{2}}$（r是球體的半徑）
• 球冠：${\displaystyle 2\pi rh}$（球冠是指被平面截下的部分球面；r是球體的半徑；h是球冠高）
• 直立圓錐體：${\displaystyle \pi r(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}})}$（r是圓錐體底部的半徑，h是它的高）
• 直立圓柱體：${\displaystyle 2\pi r(h+r)}$（r是圓柱體圓形底部的半徑，h是它的高）

其他面積公式

形狀	面積	變數
三角形	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}bh\,\!}$	${\displaystyle b}$是底，${\displaystyle h}$是高。
三角形	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ab\sin {\theta }\,\!}$	${\displaystyle a}$和${\displaystyle b}$是任意兩條邊，而${\displaystyle \theta }$是兩條邊的夾角。
三角形	${\displaystyle {\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}\,\!}$	${\displaystyle s}$是周長的一半，${\displaystyle a}$﹑${\displaystyle b}$和${\displaystyle c}$是三條邊的長度。
等邊三角形	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{4}}s^{2}\,\!}$	${\displaystyle s}$是等邊三角形的邊長。
等腰三角形	${\displaystyle {\frac {b}{4}}{\sqrt {(2a+b)(2a-b)}}}$	${\displaystyle a}$是腰邊，${\displaystyle b}$是底邊。
正方形	${\displaystyle s^{2}\,\!}$	${\displaystyle s}$是正方形的邊長。
長方形	${\displaystyle lw\,\!}$	${\displaystyle l}$和${\displaystyle w}$分別是長方形的長和寬。
菱形、鷂形	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ab}$	${\displaystyle a}$和${\displaystyle b}$分別是 菱形/鷂形 的兩條對角線。
菱形	${\displaystyle a^{2}\sin {\theta }\,\!}$	${\displaystyle a}$是邊長，${\displaystyle \theta }$是鄰邊的夾角。
平行四邊形	${\displaystyle bh\,\!}$	${\displaystyle b}$是底，${\displaystyle h}$是高。
平行四邊形	${\displaystyle ab\sin {\theta }\,\!}$	${\displaystyle a}$和${\displaystyle b}$是一對鄰邊，而${\displaystyle \theta }$是這對鄰邊的夾角。
梯形	${\displaystyle {\frac {(a+b)h}{2}}\,\!}$	${\displaystyle a}$和${\displaystyle b}$是平行的邊，${\displaystyle h}$是平行的邊之間的高。
凸四邊形	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}xy\sin {\theta }\,\!}$	${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$是凸四邊形兩條對角線的長度，${\displaystyle \theta }$是對角線的夾角。
正五邊形	${\displaystyle {\frac {5}{4}}s^{2}\tan 54^{\circ }\,\!}$	${\displaystyle s}$是正五邊形的邊長。
正六邊形	${\displaystyle {\frac {3}{2}}s^{2}\tan 60^{\circ }\,\!}$	${\displaystyle s}$是正六邊形的邊長。
正七邊形	${\displaystyle {\frac {7}{4}}s^{2}\tan(64{\tfrac {2}{7}}^{\circ })\,\!}$	${\displaystyle s}$是正七邊形的邊長。
正八邊形	${\displaystyle 2(1+{\sqrt {2}})s^{2}\,\!}$	${\displaystyle s}$是正八邊形的邊長。
正八邊形	${\displaystyle 2s^{2}\tan(67{\tfrac {1}{2}}^{\circ })\,\!}$	${\displaystyle s}$是正八邊形的邊長。
正九邊形	${\displaystyle {\frac {9}{4}}s^{2}\tan 70^{\circ }\,\!}$	${\displaystyle s}$是正九邊形的邊長。
正十邊形	${\displaystyle {\frac {5}{2}}s^{2}\tan 72^{\circ }\,\!}$	${\displaystyle s}$是正十邊形的邊長。
正多邊形	${\displaystyle {\frac {1}{4}}nl^{2}\cdot \cot {\frac {\pi }{n}}\,\!}$	${\displaystyle l}$是邊長而${\displaystyle n}$是邊數量。
正多邊形	${\displaystyle {\frac {1}{4n}}p^{2}\cdot \cot {\frac {\pi }{n}}\,\!}$	${\displaystyle p}$是周長${\displaystyle n}$是邊數量。
正多邊形	${\displaystyle {\frac {1}{2}}nR^{2}\cdot \sin {\frac {2\pi }{n}}=nr^{2}\tan {\frac {\pi }{n}}\,\!}$	${\displaystyle R}$是外切圓的半徑，${\displaystyle r}$內切圓的半徑，而${\displaystyle n}$是邊數量。
正多邊形	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ap\,\!}$	${\displaystyle a}$是邊心距，或稱作內切圓的半徑，而${\displaystyle p}$是多邊形的周長。
圓形	${\displaystyle \pi r^{2}\ {\text{or}}\ {\frac {\pi d^{2}}{4}}\,\!}$	${\displaystyle r}$是半徑，${\displaystyle d}$是直徑。
扇形	${\displaystyle \pi r^{2}\cdot {\frac {\theta }{360^{\circ }}}\,\!}$	${\displaystyle r}$和${\displaystyle \theta }$分別是半徑和角度。
橢圓形	${\displaystyle \pi ab\,\!}$	${\displaystyle a}$和${\displaystyle b}$分別是半長軸和半短軸。
圓柱體表面面積	${\displaystyle 2\pi r(r+h)\,\!}$	${\displaystyle r}$和${\displaystyle h}$分別是半徑和高。
圓柱體側表面面積	${\displaystyle 2\pi rh\,\!}$	${\displaystyle r}$和${\displaystyle h}$分別是半徑和直徑。
球體表面面積	${\displaystyle 4\pi r^{2}\ {\text{or}}\ \pi d^{2}\,\!}$	${\displaystyle r}$和${\displaystyle d}$分別是半徑和直徑。
錐體表面面積	${\displaystyle B+{\frac {PL}{2}}\,\!}$	${\displaystyle B}$是底面積，${\displaystyle P}$是底周長而，${\displaystyle L}$是斜高。
錐體平截頭體的表面面積	${\displaystyle B+{\frac {PL}{2}}\,\!}$	${\displaystyle B}$是底面積，${\displaystyle P}$是底周長，${\displaystyle L}$是斜高。
正方形轉換成圓形段面積	${\displaystyle {\frac {4}{\pi }}A\,\!}$	${\displaystyle A}$是正方形面積。
圓形轉換成正方形後面積	${\displaystyle {\frac {1}{4}}C\pi \,\!}$	${\displaystyle C}$是圓形面積。
勒洛三角形	${\displaystyle {1 \over 2}(\pi -{\sqrt {3}})x^{2}}$	${\displaystyle x}$是勒洛三角形內三角形的邊。

證明

引理：兩個長方形面積之比等於其長寬之積之比

如圖，根據《幾何原本》第六卷命題一 ——等高之平行四邊形的面積比與其底之比等同，我們得到

B:Y=a:c

  =ad:cd （第五卷命題十五）

Y:G=b:d

  =ab:ad （第五卷命題十五）

B:G=ab:cd （第五卷命題二十三）

（引理證畢）

定理：長方形的面積等於其長寬之積

根據引理， A:R=lw:(1x1)

定義單位正方形的面積為一平方單位。由於R是單位正方形，因此面積是一平方單位。將一平方單位代入R，得到：A:1=lw:1

${\displaystyle A=lw}$ （第五卷命題九）

（定理證畢）

面積相同

有些簡單的公式可以切割的方式得出。

例如平行四邊形，可以切割成一個梯形和一個直角三角形，如同右圖。如果三角形移到平行四邊形的另一邊，就可以變成一個長方形。因此，平行四邊形的面積公式有點像長方形的：

${\displaystyle A=bh}$

兩個全等三角形

至於同樣的平行四邊形可以分割為兩個全等三角形。因此三角形的公式為：

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}bh}$

圓形可以分割為很多扇形

圓形面積公式是基於基本的面積公式，假設有一個半徑為r的圓形，分成很多扇形，那一個扇形的面積就會很接近三角形，就像上圖一樣。如果分得夠細小，就可以看到半徑為r的圓形面積相等於一個高為r，底為πr的平行四邊形。

我們也可以用積分得到更肯定的答案。

${\displaystyle A=2\int _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,dx=\pi r^{2}.}$

計算不規則之圖形面積，可用填補法或切割法來計算之。

一些基本的立體表面積公式：

• 立方體：${\displaystyle 6x^{2}}$（x是立方體的邊長）
• 長方體：${\displaystyle 2(lw+wh+hl)}$（l、w、h分別是長方體的長、寬和高）
• 球體：${\displaystyle 4\pi r^{2}}$（r是球體的半徑）
• 球冠：${\displaystyle 2\pi rh}$（球冠是指被平面截下的部分球面；r是球體的半徑；h是球冠高）
• 直立圓錐體：${\displaystyle \pi r(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}})}$（r是圓錐體底部的半徑，h是它的高）
• 直立圓柱體：${\displaystyle 2\pi r(h+r)}$（r是圓柱體圓形底部的半徑，h是它的高）

其他面積公式

形狀	面積	變數
三角形	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}bh\,\!}$	${\displaystyle b}$是底，${\displaystyle h}$是高。
三角形	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ab\sin {\theta }\,\!}$	${\displaystyle a}$和${\displaystyle b}$是任意兩條邊，而${\displaystyle \theta }$是兩條邊的夾角。
三角形	${\displaystyle {\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}\,\!}$	${\displaystyle s}$是周長的一半，${\displaystyle a}$﹑${\displaystyle b}$和${\displaystyle c}$是三條邊的長度。
等邊三角形	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{4}}s^{2}\,\!}$	${\displaystyle s}$是等邊三角形的邊長。
等腰三角形	${\displaystyle {\frac {b}{4}}{\sqrt {(2a+b)(2a-b)}}}$	${\displaystyle a}$是腰邊，${\displaystyle b}$是底邊。
正方形	${\displaystyle s^{2}\,\!}$	${\displaystyle s}$是正方形的邊長。
長方形	${\displaystyle lw\,\!}$	${\displaystyle l}$和${\displaystyle w}$分別是長方形的長和寬。
菱形、鷂形	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ab}$	${\displaystyle a}$和${\displaystyle b}$分別是 菱形/鷂形 的兩條對角線。
菱形	${\displaystyle a^{2}\sin {\theta }\,\!}$	${\displaystyle a}$是邊長，${\displaystyle \theta }$是鄰邊的夾角。
平行四邊形	${\displaystyle bh\,\!}$	${\displaystyle b}$是底，${\displaystyle h}$是高。
平行四邊形	${\displaystyle ab\sin {\theta }\,\!}$	${\displaystyle a}$和${\displaystyle b}$是一對鄰邊，而${\displaystyle \theta }$是這對鄰邊的夾角。
梯形	${\displaystyle {\frac {(a+b)h}{2}}\,\!}$	${\displaystyle a}$和${\displaystyle b}$是平行的邊，${\displaystyle h}$是平行的邊之間的高。
凸四邊形	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}xy\sin {\theta }\,\!}$	${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$是凸四邊形兩條對角線的長度，${\displaystyle \theta }$是對角線的夾角。
正五邊形	${\displaystyle {\frac {5}{4}}s^{2}\tan 54^{\circ }\,\!}$	${\displaystyle s}$是正五邊形的邊長。
正六邊形	${\displaystyle {\frac {3}{2}}s^{2}\tan 60^{\circ }\,\!}$	${\displaystyle s}$是正六邊形的邊長。
正七邊形	${\displaystyle {\frac {7}{4}}s^{2}\tan(64{\tfrac {2}{7}}^{\circ })\,\!}$	${\displaystyle s}$是正七邊形的邊長。
正八邊形	${\displaystyle 2(1+{\sqrt {2}})s^{2}\,\!}$	${\displaystyle s}$是正八邊形的邊長。
正八邊形	${\displaystyle 2s^{2}\tan(67{\tfrac {1}{2}}^{\circ })\,\!}$	${\displaystyle s}$是正八邊形的邊長。
正九邊形	${\displaystyle {\frac {9}{4}}s^{2}\tan 70^{\circ }\,\!}$	${\displaystyle s}$是正九邊形的邊長。
正十邊形	${\displaystyle {\frac {5}{2}}s^{2}\tan 72^{\circ }\,\!}$	${\displaystyle s}$是正十邊形的邊長。
正多邊形	${\displaystyle {\frac {1}{4}}nl^{2}\cdot \cot {\frac {\pi }{n}}\,\!}$	${\displaystyle l}$是邊長而${\displaystyle n}$是邊數量。
正多邊形	${\displaystyle {\frac {1}{4n}}p^{2}\cdot \cot {\frac {\pi }{n}}\,\!}$	${\displaystyle p}$是周長${\displaystyle n}$是邊數量。
正多邊形	${\displaystyle {\frac {1}{2}}nR^{2}\cdot \sin {\frac {2\pi }{n}}=nr^{2}\tan {\frac {\pi }{n}}\,\!}$	${\displaystyle R}$是外切圓的半徑，${\displaystyle r}$內切圓的半徑，而${\displaystyle n}$是邊數量。
正多邊形	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ap\,\!}$	${\displaystyle a}$是邊心距，或稱作內切圓的半徑，而${\displaystyle p}$是多邊形的周長。
圓形	${\displaystyle \pi r^{2}\ {\text{or}}\ {\frac {\pi d^{2}}{4}}\,\!}$	${\displaystyle r}$是半徑，${\displaystyle d}$是直徑。
扇形	${\displaystyle \pi r^{2}\cdot {\frac {\theta }{360^{\circ }}}\,\!}$	${\displaystyle r}$和${\displaystyle \theta }$分別是半徑和角度。
橢圓形	${\displaystyle \pi ab\,\!}$	${\displaystyle a}$和${\displaystyle b}$分別是半長軸和半短軸。
圓柱體表面面積	${\displaystyle 2\pi r(r+h)\,\!}$	${\displaystyle r}$和${\displaystyle h}$分別是半徑和高。
圓柱體側表面面積	${\displaystyle 2\pi rh\,\!}$	${\displaystyle r}$和${\displaystyle h}$分別是半徑和直徑。
球體表面面積	${\displaystyle 4\pi r^{2}\ {\text{or}}\ \pi d^{2}\,\!}$	${\displaystyle r}$和${\displaystyle d}$分別是半徑和直徑。
錐體表面面積	${\displaystyle B+{\frac {PL}{2}}\,\!}$	${\displaystyle B}$是底面積，${\displaystyle P}$是底周長而，${\displaystyle L}$是斜高。
錐體平截頭體的表面面積	${\displaystyle B+{\frac {PL}{2}}\,\!}$	${\displaystyle B}$是底面積，${\displaystyle P}$是底周長，${\displaystyle L}$是斜高。
正方形轉換成圓形段面積	${\displaystyle {\frac {4}{\pi }}A\,\!}$	${\displaystyle A}$是正方形面積。
圓形轉換成正方形後面積	${\displaystyle {\frac {1}{4}}C\pi \,\!}$	${\displaystyle C}$是圓形面積。
勒洛三角形	${\displaystyle {1 \over 2}(\pi -{\sqrt {3}})x^{2}}$	${\displaystyle x}$是勒洛三角形內三角形的邊。

面積的測量單位主要包括：

• 平方公里——1,000,000平方米
• 平方公引（ha）——10,000平方米
• 平方公丈（a）——100平方米
• 平方公尺——1平方米，國際標準單位
• 平方公寸——0.01平方米
• 平方公分——0.0001平方分米
• 平方公釐——0.000001平方厘米

市制：

• 畝——10丈 × 6丈 ——33.33米 × 20米 ——666.67平方米
• 平方市里——0.25平方公里
• 平方市尺——1/9平方米

臺制：

• 甲——9,699.173平方公尺（平方米）
• 坪——3.3058平方公尺（平方米）

香港：

• 平方呎（平方英尺）——929平方厘米

其中一個定義面積的方法是利用公理定義。面積可以定義為一個由所有（可測）平面圖形組成的集合M映射至實數的函數a，並滿足以下條件：

• 對於所有${\displaystyle S\in M}$，有${\displaystyle a(S)\geq 0}$。
• 若${\displaystyle S,T\in M}$，則${\displaystyle S\cup T\in M}$及${\displaystyle S\cap T\in M}$，且${\displaystyle a(S\cup T)=a(S)+a(T)-a(S\cap T)}$。
• 若${\displaystyle S,T\in M}$且${\displaystyle S\subseteq T}$，則${\displaystyle T-S\in M}$，且${\displaystyle a(T-S)=a(T)-a(S)}$。
• 若${\displaystyle S\in M}$且${\displaystyle S}$全等於${\displaystyle T}$，則${\displaystyle T\in M}$，且${\displaystyle a(S)=a(T)}$。
• 任一矩形${\displaystyle R}$均屬於${\displaystyle M}$。若矩形的長為${\displaystyle \ell }$而寬為${\displaystyle w}$，則${\displaystyle a(R)=\ell w}$。
• 設${\displaystyle Q}$為一平面圖形。若存在唯一的實數${\displaystyle c}$，使得所有滿足${\displaystyle S\subseteq Q\subseteq T}$的有限個矩形的聯集（finite union of rectangles）${\displaystyle S}$及${\displaystyle T}$均有${\displaystyle a(S)\leq c\leq a(T)}$，則${\displaystyle Q\in M}$，且${\displaystyle a(Q)=c}$。

可以證明，滿足上述條件的函數存在。

1. . Math.com. . （原始内容存档于2012-07-02）.
2. mathdb.org - (PDF). . （原始内容 (PDF)存档于2014-07-25）.
3. . .
4. Braden, Bart. (PDF). The College Mathematics Journal. September 1986, 17 (4): 326–337 . doi:10.2307/2686282. （原始内容存档 (PDF)于2012-06-27）.
5. Eric W. Weisstein. . Wolfram MathWorld. . （原始内容存档于2012-05-05）.
6. Eric W. Weisstein. . Wolfram MathWorld. . （原始内容存档于2012-06-23）.
7. Moise, Edwin. . Addison-Wesley Pub. Co. 1963 .

• 面積單位換算