伯特兰定理

所有吸引性連心力都可以產生圓形的公轉軌道；這圓形軌道當然是閉合軌道；其形成的唯一條件是連心力恰巧地與離心力等值；後者決定了維持某圓形半徑所需的角速度。本篇文章不研究非連心力。一般而言，非連心力不會產生圓形的公轉軌道。

採用極坐標${\displaystyle (r,\theta )}$，一個移動於連心勢${\displaystyle V(r)}$的粒子，其拉格朗日量${\displaystyle {\mathcal {L}}}$是

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}+{\frac {1}{2}}mr^{2}{\dot {\theta }}^{2}-V(r)}$。

其中，${\displaystyle m}$是粒子質量，${\displaystyle {\dot {r}}}$、${\displaystyle {\dot {\theta }}}$分別表示${\displaystyle r}$、${\displaystyle \theta }$對於時間${\displaystyle t}$的導數。

這粒子的拉格朗日方程式為

${\displaystyle m{\ddot {r}}-mr{\dot {\theta }}^{2}+{\frac {dV}{dr}}=0}$、

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(mr^{2}{\dot {\theta }})=0}$。

由於角坐標${\displaystyle \theta }$顯性地跟拉格朗日量無關，${\displaystyle \theta }$是個可略坐標，其共軛動量（角動量）${\displaystyle \ell }$守恆，${\displaystyle \ell }$是個常數：

${\displaystyle \ell ={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\theta }}}}=mr^{2}{\dot {\theta }}}$。

將角動量的方程式代入徑向拉格朗日方程式，可以得到一個${\displaystyle r}$的二次微分方程式，

${\displaystyle m{\ddot {r}}-{\frac {\ell ^{2}}{mr^{3}}}+{\frac {dV}{dr}}=0}$。

假設軌道是圓形軌道，方程式左手邊第一個項目是零，則如同期待的，連心力${\displaystyle -{\frac {dV}{dr}}}$等值於離心力${\displaystyle -{\frac {\ell ^{2}}{mr^{3}}}}$。

對於時間的導數與對於角變數的導數之間關係為

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}={\frac {\ell }{mr^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}}$。

將這公式代入，可推導出一個跟角度有關，跟時間無關的軌道方程式：

${\displaystyle {\frac {\ell }{r^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}\left({\frac {\ell }{mr^{2}}}{\frac {dr}{d\theta }}\right)-{\frac {\ell ^{2}}{mr^{3}}}=-{\frac {dV}{dr}}}$。

設定變數${\displaystyle u={\frac {1}{r}}}$，改換方程式的變數為${\displaystyle u}$，同時將方程式兩邊乘以${\displaystyle {\frac {m}{\ell ^{2}u^{2}}}}$，可以得到一個常係數非齊次線性全微分方程式：

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-{\frac {m}{\ell ^{2}}}{\frac {d}{du}}V(1/u)}$。

如同前面所說，給予粒子適當的初始速度，任何連心力都能產生標準圓形軌道。可是，假設給予粒子某徑向速度，則這些軌道可能不穩定（穩定在這裏定義為長久地公轉於同一條軌道），也可能不閉合。本段落會證明，穩定的閉合軌道只發生於平方反比連心勢或徑向諧振子勢（一個必要條件）。下一個段落會證明，這些位勢的確會產生穩定的閉合軌道（一個充分條件）。

為了簡化標記，設定

${\displaystyle J(u)=-{\frac {m}{\ell ^{2}}}{\frac {d}{du}}V(1/u)=-{\frac {m}{\ell ^{2}u^{2}}}f(1/u)}$；(1)

其中，${\displaystyle f(1/u)}$是連心力函數。

則軌道方程式為

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=J(u)}$。

如果要得到半徑為${\displaystyle r_{0}\equiv {\frac {1}{u_{0}}}}$的圓形運動軌道，必要條件是軌道方程式左邊第一項等於零，方程式變為

${\displaystyle u_{0}=J(u_{0})}$。

思考對於標準圓形運動軌道的變數${\displaystyle u}$的微擾${\displaystyle \eta \equiv u-u_{0}}$，函數${\displaystyle J(u)}$在${\displaystyle u_{0}}$的泰勒級數為

${\displaystyle J(u)\approx u_{0}+\eta J^{\prime }(u_{0})+{\frac {1}{2}}\eta ^{2}J^{\prime \prime }(u_{0})+{\frac {1}{6}}\eta ^{3}J^{\prime \prime \prime }(u_{0})+\ldots }$。

將此展開示代入軌道方程式：

${\displaystyle {\frac {d^{2}\eta }{d\theta ^{2}}}+\eta =\eta J^{\prime }(u_{0})+{\frac {1}{2}}\eta ^{2}J^{\prime \prime }(u_{0})+{\frac {1}{6}}\eta ^{3}J^{\prime \prime \prime }(u_{0})\ldots }$。

設定常數${\displaystyle \beta ^{2}\equiv 1-J^{\prime }(u_{0})}$（${\displaystyle \beta =0}$的解答為標準圓形運動軌道）：

${\displaystyle {\frac {d^{2}\eta }{d\theta ^{2}}}+\beta ^{2}\eta ={\frac {1}{2}}\eta ^{2}J^{\prime \prime }(u_{0})+{\frac {1}{6}}\eta ^{3}J^{\prime \prime \prime }(u_{0})\ldots }$。(2)

取至${\displaystyle \eta }$的1次方：

${\displaystyle {\frac {d^{2}\eta }{d\theta ^{2}}}+\beta ^{2}\eta =0}$。

${\displaystyle \beta ^{2}}$必須是個非負數；否則，軌道的半徑會呈指數方式遞增。一階微擾解答為

${\displaystyle \eta (\theta )=h_{1}\cos(\beta \theta )}$；

其中，振幅${\displaystyle h_{1}}$是個積分常數。

假若這軌道是閉合軌道，則${\displaystyle \beta }$必須是有理數。繼續運算，從方程式(1)，取對於${\displaystyle u}$的導數：

${\displaystyle {\begin{aligned}J^{\prime }(u_{0})&=-{\frac {m}{\ell ^{2}}}\left(-\left.{\frac {2f(1/u)}{u^{3}}}\right|_{u_{0}}+\left.{\frac {1}{u^{2}}}{\frac {df(1/u)}{du}}\right|_{u_{0}}\right)\\&=-\left.{\frac {2J(u)}{u}}\right|_{u_{o}}+{\frac {J(u)}{f(1/u)}}\left.{\frac {df}{du}}\right|_{u_{0}}=-2+{\frac {u_{0}}{f(1/u_{0})}}\left.{\frac {df}{du}}\right|_{u_{0}}=1-\beta ^{2}\\\end{aligned}}}$ 。

這方程式對於任意${\displaystyle u_{0}}$值都必須成立，因此可以將${\displaystyle u_{0}}$認定為函數${\displaystyle \left.{\frac {df}{du}}\right|_{u_{0}}}$的參數。用符號${\displaystyle u}$來代替${\displaystyle u_{0}}$，

${\displaystyle {\frac {df}{du}}=-(\beta ^{2}-3){\frac {f(1/u)}{u}}}$。

將方程式的變數換回為${\displaystyle r}$，

${\displaystyle {\frac {df}{dr}}=\left(\beta ^{2}-3\right){\frac {f}{r}}}$。

這意味著作用力必須遵守冪定律：

${\displaystyle f(r)=-{\frac {k}{r^{3-\beta ^{2}}}}}$。

代入方程式 (1) , ${\displaystyle J}$的一般形式為

${\displaystyle J(u)={\frac {mk}{\ell ^{2}}}u^{1-\beta ^{2}}}$。(3)

假設實際軌道與圓形有更大的差別（也就是說，不能忽略${\displaystyle J}$函數的泰勒級數的更高次方項目），則可以用傅立葉級數來展開${\displaystyle \eta }$：

${\displaystyle \eta (\theta )=h_{0}+h_{1}\cos(\beta \theta )+h_{2}\cos(2\beta \theta )+h_{3}\cos(3\beta \theta )+\ldots }$。

因為高頻率項目的係數太小，傅立葉級數只取至${\displaystyle 3\beta }$項目。方程式 (2)也只取至${\displaystyle \eta }$的三次方。注意到${\displaystyle h_{0}}$與${\displaystyle h_{2}}$的數量級為${\displaystyle h_{1}^{2}\!}$，超小於${\displaystyle h_{1}}$；${\displaystyle h_{3},\!}$的數量級為${\displaystyle h_{1}^{3}}$，超小於${\displaystyle h_{0}}$與${\displaystyle h_{2}}$。將上述傅立葉級數代入方程式 (2)，匹配方程式兩邊同頻率項目的係數。這樣，可以得到一系列方程式：

${\displaystyle h_{0}=h_{1}^{2}{\frac {J^{\prime \prime }(u_{0})}{4\beta ^{2}}}}$，(4)

${\displaystyle 0=(2h_{1}h_{0}+h_{1}h_{2}){\frac {J^{\prime \prime }(u_{0})}{2}}+h_{1}^{3}{\frac {J^{\prime \prime \prime }(u_{0})}{8}}}$，(5)

${\displaystyle h_{2}=-h_{1}^{2}{\frac {J^{\prime \prime }(u_{0})}{12\beta ^{2}}}}$。(6)

求${\displaystyle J(u)}$在${\displaystyle u_{0}}$對於${\displaystyle u}$的微分：

${\displaystyle J^{\prime }(u_{0})=(1-\beta ^{2}){\frac {mk}{\ell ^{2}}}u_{0}^{-\beta ^{2}}=1-\beta ^{2}}$

${\displaystyle J^{\prime \prime }(u_{0})=(1-\beta ^{2})(-\beta ^{2}){\frac {mk}{\ell ^{2}}}u_{0}^{-\beta ^{2}-1}=-{\frac {\beta ^{2}(1-\beta ^{2})}{u_{0}}}}$。(7)

${\displaystyle J^{\prime \prime \prime }(u_{0})=(1-\beta ^{2})(-\beta ^{2})(-\beta ^{2}-1){\frac {mk}{\ell ^{2}}}u_{0}^{-\beta ^{2}-2}={\frac {\beta ^{2}(1-\beta ^{2})(1+\beta ^{2})}{u_{0}^{2}}}}$。(8)

將方程式(7)、(8)代入方程式(4)、(6)：

${\displaystyle h_{0}=-{\frac {(1-\beta ^{2})h_{1}^{2}}{4u_{0}}}}$，(9)

${\displaystyle h_{2}={\frac {(1-\beta ^{2})h_{1}^{2}}{12u_{0}}}}$。(10)

再將方程式 (7)、(8)、(9)、(10)代入方程式 (5)，經過一番運算，可以得到伯特蘭定理的重要結果：

${\displaystyle \beta ^{2}(1-\beta ^{2})(4-\beta ^{2})=0}$。

解答${\displaystyle \beta =0}$是標準圓形軌道。只有平方反比連心勢 (${\displaystyle \beta =1}$)與徑向諧振子勢 (${\displaystyle \beta =2}$)能夠造成穩定的，閉合的，非圓形的公轉軌道。

平方反比連心力給出的連心勢，像重力勢或靜電勢，以方程式表示為

${\displaystyle V(\mathbf {r} )={\frac {-k}{r}}=-ku}$。

處於這種連心勢的粒子，其一般軌道方程式寫為

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-{\frac {m}{\ell ^{2}}}{\frac {d}{du}}V(1/u)={\frac {km}{\ell ^{2}}}}$。

其解答為軌道函數${\displaystyle u(\theta )}$：

${\displaystyle u={\frac {km}{\ell ^{2}}}\left}$；

其中，${\displaystyle e}$是橢圓軌道的離心率，${\displaystyle \theta _{0}}$是相位差，是一個積分常數。

這是焦點位於原點的圓錐曲線的一般方程式。當${\displaystyle e=0}$時，這軌道對應於圓形軌道； 當${\displaystyle e<1}$時，這軌道是橢圓形軌道；當${\displaystyle e=1}$時，這軌道是拋物線軌道；當${\displaystyle e>1}$時，這軌道是雙曲線軌道。

離心率與粒子能量${\displaystyle E}$的關係為

${\displaystyle e={\sqrt {1+{\frac {2E\ell ^{2}}{k^{2}m}}}}}$。

所以，當${\displaystyle E=-{\frac {k^{2}m}{2\ell ^{2}}}}$時，這軌道是圓形軌道； 當${\displaystyle E<0}$時，這軌道是橢圓形軌道；當${\displaystyle E=0}$時，這軌道是拋物線軌道；當${\displaystyle E>0}$時，這軌道是雙曲線軌道。

為了方便解析這問題，採用直角坐標${\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)}$。勢能可以寫為

${\displaystyle V(\mathbf {r} )={\frac {1}{2}}kr^{2}={\frac {1}{2}}k(x^{2}+y^{2}+z^{2})}$。

處於徑向諧振子位勢的粒子，其拉格朗日量${\displaystyle {\mathcal {L}}}$是

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}m({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2})+{\frac {1}{2}}k(x^{2}+y^{2}+z^{2})}$。

這粒子的拉格朗日方程式為

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}x=0}$、

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}y=0}$、

${\displaystyle {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}z=0}$；

其中，${\displaystyle \omega _{0}=k/m}$是振動頻率。

常數${\displaystyle k}$必須為正值；否則，粒子會朝著無窮遠飛離。這些微分方程式的解答為

${\displaystyle x=A_{x}\cos \left(\omega _{0}t+\phi _{x}\right)}$、

${\displaystyle y=A_{y}\cos \left(\omega _{0}t+\phi _{y}\right)}$、

${\displaystyle z=A_{z}\cos \left(\omega _{0}t+\phi _{z}\right)}$；

其中，${\displaystyle A_{x}}$、${\displaystyle A_{y}}$、${\displaystyle A_{z}}$分別為x、y、z方向的振幅，${\displaystyle \phi _{x}}$、${\displaystyle \phi _{y}}$、${\displaystyle \phi _{z}}$分別為其相位

由於上述方程式經過整整一周期${\displaystyle T\equiv {2\pi }/{\omega _{0}}}$後，會重複自己，軌道解答${\displaystyle \mathbf {r} (t)=\left}$是閉合軌道。

牛頓旋轉軌道定理表明，對於一個感受到線性作用力或平方反比作用力的移動中的粒子，假設再增添立方反比力於此粒子，只要因子${\displaystyle \alpha }$是有理數，則粒子的軌道仍舊是閉合軌道。根據牛頓旋轉軌道定理的方程式，增添的立方反比力${\displaystyle \Delta F(r)={\frac {k}{r^{3}}}}$為

${\displaystyle \Delta F(r)={\frac {L_{1}^{2}}{mr^{3}}}\left(1-\alpha ^{2}\right)}$；

其中，${\displaystyle \ell _{1}}$是粒子原本的角動量，${\displaystyle m}$是粒子的質量。

所以，${\displaystyle \alpha ^{2}=1-{\frac {mk}{\ell _{1}^{2}}}}$。

由於${\displaystyle \alpha }$是有理數，${\displaystyle \alpha }$可以寫為分數${\displaystyle m/n}$；其中，${\displaystyle m}$和${\displaystyle n}$都是整數。對於這案例，增添立方反比力使得粒子完成${\displaystyle m}$圈公轉的時間等於原本完成${\displaystyle n}$圈公轉的時間。這種產生閉合軌道的方法不違背伯特蘭定理，因為，增添的立方反比力與粒子的原本角動量有關。

• 二體問題
• 三體問題
• 克卜勒定律
• 牛頓旋轉軌道定理

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