双态系统

設定量子系統的不含時間哈密頓算符${\displaystyle H\,\!}$，其兩個互相獨立的本徵態是${\displaystyle |a\rangle \,\!}$與${\displaystyle |b\rangle \,\!}$，滿足

${\displaystyle H|a\rangle =E_{a}|a\rangle \,\!}$，

${\displaystyle H|b\rangle =E_{b}|b\rangle \,\!}$；

其中，${\displaystyle E_{a}\,\!}$與${\displaystyle E_{b}\,\!}$分別為${\displaystyle |a\rangle \,\!}$與${\displaystyle |b\rangle \,\!}$的能量本徵值。

設定在某時間${\displaystyle t_{0}\,\!}$，量子系統的量子態為

${\displaystyle |\psi (t_{0})\rangle =c_{a}|a\rangle +c_{b}|b\rangle \,\!}$；

其中，${\displaystyle c_{a}\,\!}$與${\displaystyle c_{b}\,\!}$是複值常數，分別是${\displaystyle |\psi (t_{0})\rangle \,\!}$處於${\displaystyle |a\rangle \,\!}$與${\displaystyle |b\rangle \,\!}$的機率幅。

那麼，隨著時間的演化，在時間${\displaystyle t\,\!}$，量子系統的量子態為

${\displaystyle |\psi (t)\rangle =c_{a}e^{-iE_{a}(t-t_{0})/\hbar }|a\rangle +c_{b}e^{-iE_{b}(t-t_{0})/\hbar }|b\rangle \,\!}$。

假設，一個多態系統只能夠處於最低能量的兩個量子態。那麼，這多態系統有效地變成了一個雙態系統，可以應用雙態系統模型來解析這多態系統。

自旋1/2粒子是一個標準的雙態系統。自旋投影於z-軸的分量${\displaystyle S_{Z}\,\!}$，其${\displaystyle S_{Z}\,\!}$算符的兩個本徵態是「自旋向上」態與「自旋向下」態。電子是一種自旋1/2粒子。設定一個朝著z-軸方向的均勻磁場${\displaystyle \mathbf {B} =B_{0}{\hat {\mathbf {z} }}\,\!}$作用於電子。這作用會造成電子能級的分裂。因為這作用，必須添加${\displaystyle eB_{0}S_{Z}/m\,\!}$這項目在哈密頓算符${\displaystyle H\,\!}$裏。假若原本的能級為${\displaystyle E_{0}\,\!}$，自旋向上態的能級會增加為${\displaystyle E_{0}+eB_{0}/2m\,\!}$；而自旋向下態的能級會降低為${\displaystyle E_{0}-eB_{0}/2m\,\!}$；其中，${\displaystyle e\,\!}$是單位電荷量，${\displaystyle m\,\!}$是電子質量。

氨分子的位於頂點的氮原子可以處於兩種量子態，在由三個氫原子設定的平面的上面，稱為「上」量子態，或是這平面的下面，稱為「下」量子態。所以，氨分子是一個雙態系統。由於上量子態與下量子態的能級相等，這雙態系統簡併。在一個垂直於氫原子平面的電場${\displaystyle \mathbf {E} ={\mathcal {E}}{\hat {\mathbf {z} }}\,\!}$裏，由於氨分子具有從氮原子指向氫原子的電偶極矩${\displaystyle \mathbf {p} =p{\hat {\mathbf {z} }}\,\!}$，造成了上量子態與下量子態的能級分裂。因為這作用，必須添加${\displaystyle -\mathbf {p} \mathbf {E} \,\!}$這項目在哈密頓算符${\displaystyle H\,\!}$裏。假若原本的能級為${\displaystyle E_{0}\,\!}$，上量子態的能級會增加為${\displaystyle E_{0}+|p|{\mathcal {E}}\,\!}$；而下量子態的能級會降低為${\displaystyle E_{0}-|p|{\mathcal {E}}\,\!}$。所以，雙態系統變成不簡併系統。

在量子資訊科學裡，量子位元概念的基礎是雙態系統模型。任何量子計算操作是一個統一的操作在布洛赫球面旋轉狀態向量。

• 拉比周期
• 自旋-軌道作用
• 核磁共振
• 量子光学

費曼, 理查; 雷頓, 羅伯; 山德士, 馬修. . 台灣: 天下文化書. 2006: pp. 39–156. ISBN 986-417-672-2. 引文格式1维护：冗余文本 (link)