布洛赫球面

對量子位元這樣的双态量子系統而言，其存在的可能狀態${\displaystyle |\psi \rangle }$（採用狄拉克標記的右矢表示）可以由兩個互相正交的基底以複數線性疊加所構成，這兩個基底可以選用${\displaystyle |0\rangle }$和${\displaystyle |1\rangle }$為代表。在物理實作上，${\displaystyle |0\rangle }$和${\displaystyle |1\rangle }$代表了做投影式量子測量所會得到的唯二結果。

從任意純態出發：${\displaystyle |\psi \rangle =\alpha \,|0\rangle +\beta \,|1\rangle }$，其中${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {C} ,\quad |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1\,}$。

故可設：

${\displaystyle \alpha =\cos \theta \,e^{i\delta },\quad \beta =\sin \theta \,e^{i(\delta +\phi )}\,}$

${\displaystyle \Rightarrow |\psi \rangle =\cos \theta \,e^{i\delta }\,|0\rangle +\sin \theta \,e^{i(\delta +\phi )}\,|1\rangle =e^{i\delta }(\cos \theta \,|0\rangle +\sin \theta \,e^{i\phi }\,|1\rangle )}$

其中${\displaystyle e^{i\delta }\,}$稱作共同相位（），因為對${\displaystyle |0\rangle }$、對${\displaystyle |1\rangle }$都一樣影響，而在實驗上測量不出來，故可以將之捨棄不看。

至於相對相位（）${\displaystyle e^{i\phi }\,}$就不同了，它的影響可以在球面上表現出來。故得：

${\displaystyle |\psi \rangle =\cos \theta \,|0\rangle +\sin \theta \,e^{i\phi }\,|1\rangle }$

可以看到${\displaystyle |0\rangle }$的係數${\displaystyle \cos \theta \,}$是實數，並且${\displaystyle \cos \theta \,}$在原先${\displaystyle \alpha =\cos \theta \,e^{i\delta }\,}$所代表的是複數${\displaystyle \alpha \,}$的長度（模、幅值，），故${\displaystyle \cos \theta \,}$結果要是非負實數；${\displaystyle \sin \theta \,}$亦是如此道理。故可定出${\displaystyle \theta \,}$與${\displaystyle \phi \,}$的範圍如下：

${\displaystyle 0\leq \theta \leq {\frac {\pi }{2}}\Rightarrow 0\leq 2\theta \leq \pi ,\quad }$

${\displaystyle 0\leq \phi <2\pi }$

將${\displaystyle 2\theta \,}$和${\displaystyle \phi \,}$的所有分佈在三維空間${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$中畫出來，就可以得到一個球面，此即布洛赫球面，如同圖1。

${\displaystyle {\begin{matrix}x&=&\sin 2\theta \times \cos \phi \\y&=&\sin 2\theta \times \sin \phi \\z&=&\cos 2\theta \end{matrix}}}$

可以注意到正交（有「垂直，呈90度關係」的意思）的兩個基底${\displaystyle |0\rangle }$和${\displaystyle |1\rangle }$在此幾何表示法下成為一軸的兩端，變成180度關係（${\displaystyle 2\theta \,}$的緣故）。通常設定它們處在${\displaystyle z\,}$軸，即：

• ${\displaystyle |0\rangle }$是${\displaystyle z_{+}:\,(0,0,1)}$、
• ${\displaystyle |1\rangle }$是${\displaystyle z_{-}:\,(0,0,-1)}$，

離球心距離皆是1。

有些學者及書刊對於球面所採用的表示為：

${\displaystyle {\begin{matrix}x&=&\sin \theta \times \cos \phi \\y&=&\sin \theta \times \sin \phi \\z&=&\cos \theta \end{matrix}}}$

角度範圍：

${\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi ,\quad 0\leq \phi <2\pi }$

是故，其狀態${\displaystyle |\psi \rangle }$的定義為：

${\displaystyle |\psi \rangle =\cos {\frac {\theta }{2}}\,|0\rangle +\sin {\frac {\theta }{2}}\,e^{i\phi }\,|1\rangle }$

此種表示法的用意在使布洛赫球面上${\displaystyle (\theta ,\phi )\,}$表示方式和一般 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$中的球面以球坐標 ${\displaystyle (r_{0},\theta ,\phi )\,}$表示方式一致。

布洛赫球（Bloch ball）是布洛赫球面的擴充，混合態會出現在球內（離球心距離${\displaystyle <1}$的點）而不是球面上。並可從此推論出球心該點所代表的量子狀態是最大混合態（maximally mixed state），用密度矩陣形式及狄拉克標記表示即（另見「量子位元」）：

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\mathbf {1} ={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}+{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}}$${\displaystyle ={\frac {1}{2}}|0\rangle \langle 0|+{\frac {1}{2}}|1\rangle \langle 1|={\frac {1}{2}}z_{+}+{\frac {1}{2}}z_{-}}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}+{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}={\frac {1}{2}}x_{+}+{\frac {1}{2}}x_{-}}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {i}{2}}\\{\frac {i}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}+{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {i}{2}}\\-{\frac {i}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}={\frac {1}{2}}y_{+}+{\frac {1}{2}}y_{-}}$。

可以看到这是兩個彼此正交的純態以恰好一半一半的比例構成混合態。

• 居量反轉
• 量子計算機

• Density Operator of a Single Qubit: The Bloch Sphere