重力位

一個位置的重力位（${\displaystyle V}$）等於每單位質量在該點擁有的位能（${\displaystyle U}$）：

${\displaystyle V={\frac {U}{m}},}$

式中${\displaystyle m}$表示物體的質量。一個位置的重力位能等於在將物體從無限遠處移動到該點的路徑上，重力場所做的負功。若物體的質量等於1公斤，那麼該物體的位能的大小便會與重力位相等。

在某些情況下，可以假設重力場的强度與所在位置無關。此时上式可以被進一步化簡。比方說，在接近地表附近的重力加速度${\displaystyle g}$可以視為定值，因此不同位置間的位能差${\displaystyle \Delta U}$能夠與高度差${\displaystyle \Delta h}$近似為簡單的線性關係：

${\displaystyle \Delta U\approx mg\Delta h.}$

若令一質點的質量為${\displaystyle M}$，則在與質點距離${\displaystyle \mathbf {r} }$處的重力位${\displaystyle V}$可被定義為：

${\displaystyle V(\mathbf {r} )=-{\frac {GM}{r}}}$

牛頓萬有引力定律指出：

${\displaystyle \mathbf {F} =-{\frac {GMm}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} }$

其中

• ${\displaystyle \mathbf {F} }$：質量${\displaystyle m}$的質點受到的萬有引力
• ${\displaystyle G}$：萬有引力常數
• ${\displaystyle m}$：質點1的質量
• ${\displaystyle M}$：質點2的質量
• ${\displaystyle r}$：兩個物體之間的距離
• ${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$：由${\displaystyle M}$指向${\displaystyle m}$的單位向量

式中的負號使得${\displaystyle m}$往${\displaystyle M}$方向吸引，因此萬有引力是吸引力。

而重力場${\displaystyle g}$則描述了空間中任意位置上，每單位質量的質點所受到的萬有引力：

${\displaystyle \mathbf {g} ={\frac {\mathbf {F} }{m}}=-G{\frac {M}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} }$

當我們去考慮在重力場中每單位質量的物體由外力移動一段距離${\displaystyle \mathbf {dl} }$所需做的功${\displaystyle \mathbf {d} W}$，由於功等於力與位移的內積，所以${\displaystyle d\mathbf {d} W=-\mathbf {g} \cdot \mathbf {dl} }$，式中的負號表示外力所做的功與重力場所做的功相反。如果將物體從點${\displaystyle \mathbf {a} }$移動到點${\displaystyle \mathbf {b} }$，則${\displaystyle W}$等於沿著該路徑的線積分

${\displaystyle W=\int _{\mathbf {a} }^{\mathbf {b} }-\mathbf {g} \cdot \mathbf {dl} }$

在球座標系中${\displaystyle \mathbf {dl} =\mathbf {d} r\mathbf {\hat {r}} +r\mathbf {d} \theta {\boldsymbol {\hat {\theta }}}+r\sin {\theta }\mathbf {d} \phi {\boldsymbol {\hat {\phi }}}}$，所以

${\displaystyle \mathbf {g} \cdot \mathbf {dl} =-{\frac {GM}{r^{2}}}\mathbf {d} r}$

因此

${\displaystyle {\begin{aligned}W&=\int _{\mathbf {a} }^{\mathbf {b} }-\mathbf {g} \cdot \mathbf {dl} \\&=\int _{\mathbf {a} }^{\mathbf {b} }{\frac {GM}{r^{2}}}\mathbf {d} r\\&=GM({\frac {1}{r_{a}}}-{\frac {1}{r_{b}}})\end{aligned}}}$

其中，${\displaystyle r_{a}}$是從原點到點${\displaystyle \mathbf {a} }$的距離，${\displaystyle r_{b}}$是從原點到點${\displaystyle \mathbf {b} }$的距離。對於任何兩條具有相同起點和終點的路徑，上式的積分一定具有相同的值。既然線積分與路徑無關，我們可以就定義一個函數${\displaystyle V(\mathbf {r} )}$：

${\displaystyle V(\mathbf {r} )=-\int _{\mathcal {O}}^{\mathbf {r} }\mathbf {g} \cdot \mathbf {dl} }$

${\displaystyle V(\mathbf {r} )}$就稱為重力位。只要預先設定一個標準參考點${\displaystyle {\mathcal {O}}}$，${\displaystyle V}$的值就可以由${\displaystyle \mathbf {r} }$來決定。

習慣上，我們將無限遠處的重力位設為零。因此，在點${\displaystyle \mathbf {r} }$的重力位${\displaystyle V}$等於

${\displaystyle V(\mathbf {r} )=GM({\frac {1}{\infty }}-{\frac {1}{r}})=-{\frac {GM}{r}}}$

此外，${\displaystyle W}$可以用${\displaystyle V}$重新寫成：

${\displaystyle {\begin{aligned}W&=\int _{\mathbf {a} }^{\mathbf {b} }-\mathbf {g} \cdot \mathbf {dl} \\&=-\int _{\mathbf {\mathcal {O}} }^{\mathbf {b} }\mathbf {g} \cdot \mathbf {dl} -\int _{\mathbf {a} }^{\mathbf {\mathcal {O}} }\mathbf {g} \cdot \mathbf {dl} \\&=-\int _{\mathbf {\mathcal {O}} }^{\mathbf {b} }\mathbf {g} \cdot \mathbf {dl} +\int _{\mathbf {\mathcal {O}} }^{\mathbf {a} }\mathbf {g} \cdot \mathbf {dl} \\&=V(\mathbf {b} )-V(\mathbf {a} )\end{aligned}}}$

因此，在重力場中移動每單位質量的物體所需的功，等於兩點之間重力位的差。如果想將物體移動到了離質點${\displaystyle M}$更遠的地方，則一定要做正功。上式也可以看做是將單位質量的物體從無限遠處移到該點所需的功。

由上述的計算得知，${\displaystyle \mathbf {a} }$、${\displaystyle \mathbf {b} }$兩點之間重力位的差等於

${\displaystyle V(\mathbf {b} )-V(\mathbf {a} )=-\int _{\mathbf {a} }^{\mathbf {b} }\mathbf {g} \cdot \mathbf {dl} }$

然而根據梯度定理（線積分基本定理），重力位的梯度${\displaystyle \mathbf {\nabla } V}$沿曲線的積分，可用重力位在該曲線兩端的值之差來計算：

${\displaystyle V(\mathbf {b} )-V(\mathbf {a} )=\int _{\mathbf {a} }^{\mathbf {b} }(\mathbf {\nabla } V)\cdot \mathbf {dl} }$

所以

${\displaystyle \int _{\mathbf {a} }^{\mathbf {b} }(\mathbf {\nabla } V)\cdot \mathbf {dl} =-\int _{\mathbf {a} }^{\mathbf {b} }\mathbf {g} \cdot \mathbf {dl} }$

由於對於任何點${\displaystyle \mathbf {a} }$、${\displaystyle \mathbf {b} }$都是如此，因此被積數必須相等：

${\displaystyle \mathbf {g} =-\mathbf {\nabla } V}$

這是重力位的一個重要性質。

在公制單位中，力的單位是牛頓，質量的單位是公斤，所以重力場的單位是牛頓/公斤而重力位的單位是牛頓公尺/公斤，或焦耳/公斤。

经典力学中，一個質量分布產生的重力位，等於各個點質量的重力位的疊加。如果一個質量分布由有限個點質量組成，點質量的位置為${\displaystyle \mathbf {r} _{1},...,\mathbf {r} _{n}}$，質量為${\displaystyle m_{1},...,m_{n}}$，那麼其在點${\displaystyle \mathbf {r} }$產生的重力位${\displaystyle V(\mathbf {r} )}$等於

${\displaystyle V(\mathbf {r} )=\sum _{i=1}^{n}-{\frac {Gm_{i}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r_{i}} |}}.}$

如果在三維歐氏空間${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$上將質量分佈以測度${\displaystyle \mathbf {d} m}$給出，則重力位等於${\displaystyle -G/r}$對${\displaystyle \mathbf {d} m}$的卷積。 在理想的情況下，這等價於積分

${\displaystyle V(\mathbf {r} )=-\int _{\mathbf {R} ^{3}}{\frac {G}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} \prime |}}\,\mathbf {d} m(\mathbf {r} \prime ),}$

式中${\displaystyle |\mathbf {r} -\mathbf {r} \prime |}$代表點${\displaystyle \mathbf {r} }$與點${\displaystyle \mathbf {r} \prime }$的距離。如果該質量分布在點${\displaystyle \mathbf {r} }$的密度為${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )}$，那麼${\displaystyle \mathbf {d} m}$便等於密度${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )}$與單位體積 ${\displaystyle \mathbf {d} \tau }$的乘積：${\displaystyle \mathbf {d} m=\rho (\mathbf {r} )\mathbf {d} \tau }$，而重力位就等於體積分

${\displaystyle V(\mathbf {r} )=-\int _{\mathbf {R} ^{3}}{\frac {G}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} \prime |}}\,\rho (\mathbf {r} \prime )\mathbf {d} \tau (\mathbf {r} \prime ).}$

如果有一個重力場${\displaystyle \mathbf {g} }$由質量分布${\displaystyle \rho }$產生，使用高斯定律（英語：）的微分形式可以獲得

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {g} =-4\pi G\rho .}$

由於${\displaystyle \mathbf {g} =-\mathbf {\nabla } V.}$，帶入高斯定律後可得到重力的泊松方程式

${\displaystyle {\nabla }^{2}V=4\pi G\rho .}$

若密度處處為零，則上式便退化為拉普拉斯方程。泊松方程可以使用格林函數求解。

根據殼層定理，若存在一個球形對稱的質量分佈，對對於處在分佈外面的觀察者而言，其行為就好像所有質量都集中在球心的個點質量，因此可以等效地作為點質量來處理。在地球表面，重力加速度g大約為9.8 m/s²，儘管該值隨緯度和海拔高度略有變化（因為地球是扁球形，極點處的加速度大小略大於赤道處的加速度大小。）

在一個密度均勻的球體內，可以求出其重力位${\displaystyle V(r)}$等於

${\displaystyle V(r)={\frac {2}{3}}\pi G\rho (r^{2}-3R^{2}),\qquad r\leq R.}$

在廣義相對論中，重力位被度量張量取代。當重力場的來源較弱並且移動速度比光速慢很多時，廣義相對論就會簡化為牛頓萬有引力理论，且在一阶度規張量可表示为重力位的函数。

在計算空間中的重力位

${\displaystyle V(\mathbf {r} )=-\int _{\mathbf {R} ^{3}}{\frac {G}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} \prime |}}\,\rho (\mathbf {r} \prime )\mathbf {d} \tau (\mathbf {r} \prime )}$

時，牽涉到計算${\displaystyle |\mathbf {r} -\mathbf {r} \prime |}$的倒數的積分，這個積分的難易度雖著質量分布${\displaystyle \rho }$而異。為了將計算化簡，這時候可以使用多極展開，將式子化為${\displaystyle 1/r}$的冪級數，讓積分變得容易得多。做理論運算時，在允許誤差範圍內，時常可以只取多極展開幾個最低階的非零項，忽略其它剩下的、數值超小的項。

下表給出了關於來自地球，太陽和銀河系的引力在不同位置上的重力位大小；換句話說，位於地球表面的物體需要60 MJ/kg的动能才能“脫離”地球的重力場，另外要有900 MJ/kg才能脫離太陽的重力場，而超過130 GJ/kg才能脫離銀河系的重力場。重力位是逃離速度的平方的一半。

• 牛頓萬有引力定律
• 高斯重力定律
• 地球引力
• 標準重力參數 (GM)
• 位势论
• 牛頓位
• 地球重力位模型
• 物理大地測量
• 勒让德多项式
• 三個變量的拉普拉斯方程的格林函數