多极展开

給予在源位置 ${\displaystyle \mathbf {r} '}$ 的電荷分佈或電流分佈，計算在場位置 ${\displaystyle \mathbf {r} }$ 產生的電勢或磁向量勢。

在靜電學裏，設定電荷密度分佈 ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ')}$ ，則其產生的電勢 ${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )}$ 為

${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V'} }{\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}$ ；

其中，${\displaystyle \mathbf {r} }$ 是場位置，${\displaystyle \mathbf {r} '}$ 是源位置，${\displaystyle \mathbb {V'} }$ 是積分的體積區域。

假設體積區域 ${\displaystyle \mathbb {V'} }$ 是在以原點為圓心、半徑為 ${\displaystyle R}$ 的圓球內部，則在圓球以外，電勢 ${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )}$ 可以多極展開。文獻裏常見到兩種電勢的多極展開方法。一種展開為直角坐標 ${\displaystyle (x,y,z)}$ 的泰勒級數，稱為「笛卡兒多極展開」（）；另一種是用距離倒數的冪和球諧函數展開，是以球坐標表示，稱為「球多極展開」（）。

任意函數 ${\displaystyle f(\mathbf {r} ')}$ 在原點 ${\displaystyle \mathbf {r} '=\mathbf {O} }$ 的泰勒級數為

${\displaystyle f(\mathbf {r} ')=f(\mathbf {O} )+\mathbf {r} '\cdot \nabla 'f(\mathbf {O} )+{\frac {1}{2}}\sum _{\alpha =1}^{3}\sum _{\beta =1}^{3}r'_{\alpha }r'_{\beta }{\frac {\partial ^{2}f(\mathbf {O} )}{\partial r'_{\alpha }\partial r'_{\beta }}}+\dots }$ ；

其中，${\displaystyle \nabla '}$ 是對於 ${\displaystyle \mathbf {r} '}$ 的偏微分。

設定 ${\displaystyle f(\mathbf {r} ')={\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}}$ ，則 ${\displaystyle f(\mathbf {r} ')}$ 對於 ${\displaystyle \mathbf {r} '}$ 的偏微分為

${\displaystyle {\frac {\partial f(\mathbf {r} ')}{\partial r'_{\alpha }}}={\frac {(r_{\alpha }-r'_{\alpha })}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}}$ 、

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f(\mathbf {r} ')}{\partial r'_{\alpha }\partial r'_{\beta }}}={\frac {3(r_{\alpha }-r'_{\alpha })(r_{\beta }-r'_{\beta })}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{5}}}-{\frac {\delta _{\alpha \beta }}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}}$ ；

其中，${\displaystyle \delta _{\alpha \beta }}$ 是克罗内克记号。

所以 ${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}}$ 在原點 ${\displaystyle \mathbf {r} '=\mathbf {O} }$ 的泰勒級數為

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}&={\frac {1}{r}}+{\frac {\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} '}{r^{3}}}+{\frac {1}{2}}\sum _{\alpha =1}^{3}\sum _{\beta =1}^{3}\left({\frac {3r_{\alpha }r_{\beta }}{r^{5}}}-{\frac {\delta _{\alpha \beta }}{r^{3}}}\right)r'_{\alpha }r'_{\beta }+\dots \\&={\frac {1}{r}}+{\frac {\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} '}{r^{3}}}+{\frac {1}{2}}\sum _{\alpha =1}^{3}\sum _{\beta =1}^{3}\left({\frac {3r_{\alpha }r_{\beta }r'_{\alpha }r'_{\beta }-r^{2}r'_{\alpha }r'_{\beta }\delta _{\alpha \beta }}{r^{5}}}\right)+\dots \\&={\frac {1}{r}}+{\frac {\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} '}{r^{3}}}+{\frac {1}{2}}\sum _{\alpha =1}^{3}\sum _{\beta =1}^{3}\left({\frac {3r_{\alpha }r_{\beta }r'_{\alpha }r'_{\beta }-r_{\alpha }r_{\beta }r^{\prime 2}\delta _{\alpha \beta }}{r^{5}}}\right)+\dots \\\end{aligned}}}$ 。

將這展開式代入電勢的方程式，則可得到

${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V'} }\left\rho (\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}$ 。

總電荷（電單極矩） ${\displaystyle q}$ 、電偶極矩 ${\displaystyle \mathbf {p} }$ 、電四極矩（-{ electric quadrupole moment}-） ${\displaystyle Q_{\alpha \beta }}$ 分別以方程式定義為

${\displaystyle q{\stackrel {def}{=}}\ \int _{\mathbb {V'} }\rho (\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}$ 、

${\displaystyle \mathbf {p} {\stackrel {def}{=}}\ \int _{\mathbb {V'} }\mathbf {r} '\rho (\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}$ 、

${\displaystyle Q_{\alpha \beta }{\stackrel {def}{=}}\ \int _{\mathbb {V'} }(3r'_{\alpha }r'_{\beta }-r^{\prime 2}\delta _{\alpha \beta })\rho (\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}$ 。

則電勢的電單極矩、電偶極矩、電四極矩等等「笛卡兒多極矩」項目的總貢獻為

${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left({\frac {q}{r}}+{\frac {\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} }{r^{3}}}+{\frac {1}{2r^{5}}}\sum _{\alpha =1}^{3}\sum _{\beta =1}^{3}Q_{\alpha \beta }r_{\alpha }r_{\beta }+\dots \right)}$ 。

場位置與源位置之間距離的倒數，${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}}$ ，可以用球諧函數 ${\displaystyle Y_{\ell m}}$ 展開為

${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }{\frac {4\pi }{2\ell +1}}\ {\frac {r^{\prime \ell }}{r^{\ell +1}}}Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')Y_{\ell m}(\theta ,\phi ),\qquad r'<r}$ ；

其中，${\displaystyle \mathbf {r} }$ 與 ${\displaystyle \mathbf {r} '}$ 的球坐標分別為${\displaystyle (r,\theta ,\phi )}$ 與 ${\displaystyle (r',\theta ',\phi ')}$ 。

將這展開式代入電勢的方程式，則可得到

${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{\epsilon _{0}}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }{\frac {Y_{\ell m}(\theta ,\phi )}{((2\ell +1)r^{\ell +1}}}\int _{\mathbb {V'} }Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')r^{\prime \ell }\rho (\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}$ 。

電荷分佈的球多極矩 ${\displaystyle q_{\ell m}}$ 以方程式定義為

${\displaystyle q_{\ell m}{\stackrel {def}{=}}\ \int _{\mathbb {V'} }Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')r^{\prime \ell }\rho (\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}$ 。

則電勢可以以球多極矩表示為

${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{\epsilon _{0}}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }{\frac {q_{\ell m}Y_{\ell m}(\theta ,\phi )}{(2\ell +1)r^{\ell +1}}}}$ 。

注意到 ${\displaystyle q_{\ell (-m)}=(-1)^{m}q_{\ell m}^{*}}$ 。以下列出幾個最低階的球多極矩的表達式，以及與笛卡兒多極矩之間的關係：

${\displaystyle {\begin{aligned}q_{00}&={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{\mathbb {V'} }\rho (\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '&&={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\ q\\q_{11}&=-{\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}\int _{\mathbb {V'} }r'\sin {\theta '}\ e^{-i\phi '}\rho (\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '&&=-{\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}\ (p_{x}-ip_{y})\\q_{10}&={\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\int _{\mathbb {V'} }r'\cos {\theta }\ \rho (\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '&&=-{\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\ p_{z}\\q_{22}&={\sqrt {\frac {15}{32\pi }}}\int _{\mathbb {V'} }r^{\prime 2}\sin ^{2}{\theta '}\ e^{-2i\phi '}\rho (\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '&&={\sqrt {\frac {15}{288\pi }}}\ (Q_{11}-2iQ_{12}-Q_{22})\\q_{21}&=-{\sqrt {\frac {15}{8\pi }}}\int _{\mathbb {V'} }r^{\prime 2}\sin {\theta '}\cos {\theta '}\ e^{-i\phi '}\rho (\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '&&=-{\sqrt {\frac {15}{72\pi }}}\ (Q_{13}-iQ_{33})\\q_{20}&={\sqrt {\frac {5}{16\pi }}}\int _{\mathbb {V'} }r^{\prime 2}(3\cos ^{2}{\theta '}-1)\rho (\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '&&={\sqrt {\frac {5}{16\pi }}}\ Q_{33}\end{aligned}}}$ 。

對於多極展開式的每一階 ${\displaystyle \ell }$ ，笛卡兒多極展開會得到 ${\displaystyle (\ell +1)(\ell +2)/2}$ 個笛卡兒多極矩，而球多極展開會得到 ${\displaystyle 2\ell +1}$ 個球多極矩。這是因為兩種展開各自具有不同的旋轉變換屬性。笛卡兒多極矩是可約的（）；而球多極矩則是不可約的，這種分解能夠得到旋轉群的不可約表示。

在多極展開式裏，不等於零的最低階多極矩，其數值與原點的選擇無關。例如，對於在 ${\displaystyle \mathbb {V'} }$ 內部、位置為 ${\displaystyle \mathbf {r} '_{0}}$ 的單獨點電荷，電荷密度可以寫為 ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ')=q\delta (\mathbf {r} '-\mathbf {r} '_{0})}$ 。這單獨點電荷的電單極矩為 ${\displaystyle \int _{\mathbb {V'} }q\delta (\mathbf {r} '-\mathbf {r} '_{0})\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '=q}$ ，與原點位置無關。

對於在 ${\displaystyle \mathbb {V'} }$ 內部、位置分別為 ${\displaystyle \mathbf {r} '_{1}}$ 、${\displaystyle \mathbf {r} '_{2}}$ 的兩個異電性、同電量的點電荷，電荷密度可以寫為 ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ')=q}$ 。這單獨點電荷的電單極矩為 ${\displaystyle \int _{\mathbb {V'} }q\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '=0}$ 。最低階多極矩為電偶極矩 ${\displaystyle \int _{\mathbb {V'} }\mathbf {r} 'q\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '=q(\mathbf {r} '_{1}-\mathbf {r} '_{2})}$ 。這電偶極矩與原點位置無關，與兩個點電荷之間的相對位置有關。

假設處於外電勢 ${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )}$ 的電荷密度分佈 ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )}$ ，則其電能 ${\displaystyle U}$ 為

${\displaystyle U=\int _{\mathbb {V} }\rho (\mathbf {r} )\Phi (\mathbf {r} )\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} }$ 。

注意到外電場 ${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \Phi }$ ，外電勢 ${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )}$ 在原點 ${\displaystyle \mathbf {O} }$ 的泰勒級數為

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (\mathbf {r} )&=\Phi (\mathbf {O} )+\mathbf {r} \cdot \nabla \Phi (\mathbf {O} )+{\frac {1}{2}}\sum _{\alpha =1}^{3}\sum _{\beta =1}^{3}r_{\alpha }r_{\beta }{\frac {\partial ^{2}\Phi (\mathbf {O} )}{\partial r_{\alpha }\partial r_{\beta }}}+\dots \\&=\Phi (\mathbf {O} )-\mathbf {r} \cdot \mathbf {E} (\mathbf {O} )-{\frac {1}{2}}\sum _{\alpha =1}^{3}\sum _{\beta =1}^{3}r_{\alpha }r_{\beta }{\frac {\partial E_{\beta }(\mathbf {O} )}{\partial r_{\alpha }}}+\dots \\\end{aligned}}}$ 。

由於外電場的散度為零 ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =0}$ ，電勢可以寫為

${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )=\Phi (\mathbf {O} )-\mathbf {r} \cdot \mathbf {E} (\mathbf {O} )-{\frac {1}{6}}\sum _{\alpha =1}^{3}\sum _{\beta =1}^{3}(3r_{\alpha }r_{\beta }-r^{2}\delta _{\alpha \beta }){\frac {\partial E_{\beta }(\mathbf {O} )}{\partial r_{\alpha }}}+\dots }$ 。

將這方程式代入電能的積分式，可以得到

${\displaystyle U=q\Phi (\mathbf {O} )-\mathbf {p} \cdot \mathbf {E} (\mathbf {O} )-{\frac {1}{6}}\sum _{\alpha =1}^{3}\sum _{\beta =1}^{3}Q_{\alpha \beta }{\frac {\partial E_{\beta }(\mathbf {O} )}{\partial r_{\alpha }}}+\dots }$ 。

從這裏可以看到電能的成分：第一個項目是點電荷處於外電勢的電能、第二個項目是電偶極子處於外電場的電能、第三個項目是電四極子處於具有梯度的外電場所涉及的電能。

在靜磁學裏，設定電流密度分佈 ${\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {r} ')}$ ，則其產生的磁向量勢 ${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )}$ 為

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '}$ ；

其中，${\displaystyle \mathbf {r} }$ 是場位置，${\displaystyle \mathbf {r} '}$ 是源位置。

將前面推導出的 ${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}}$ 在原點 ${\displaystyle \mathbf {r} '=\mathbf {O} }$ 的泰勒級數帶入磁向量勢方程式，則可得到

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V'} }\left\mathbf {J} (\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}$ 。

由於在靜磁學裏 ${\displaystyle \nabla '\cdot \mathbf {J} (\mathbf {r} ')=0}$，

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\mathbb {V} '}J_{\alpha }(\mathbf {r} ')\,d^{3}\mathbf {r} '&=\int _{\mathbb {V} '}r'_{\alpha }\,d^{3}\mathbf {r} '=\int _{\mathbb {V} '}\nabla '\cdot -r'_{\alpha }\nabla '\cdot \mathbf {J} (\mathbf {r} ')\,d^{3}\mathbf {r} '\\&=\int _{\mathbb {V} '}\nabla '\cdot \,d^{3}\mathbf {r} '\\\end{aligned}}}$ ；

應用高斯散度定理，由於電流密度分佈 ${\displaystyle \mathbf {J} }$ 是局部的，假若積分體積 ${\displaystyle \mathbb {V} '}$ 足夠大，則位於包含積分體積的曲面 ${\displaystyle \mathbb {S} '}$ 的電流密度分佈為零：

${\displaystyle \int _{\mathbb {V} '}J_{\alpha }(\mathbf {r} ')\,d^{3}\mathbf {r} '=\int _{\mathbb {S} '}r'_{\alpha }\mathbf {J} (\mathbf {r} ')\cdot \,d\mathbf {S} '=0}$ 。

所以，磁單極子項目 ${\displaystyle \int _{\mathbb {V} '}J_{\alpha }(\mathbf {r} ')\,d^{3}\mathbf {r} '}$ 等於零。

磁偶極子項目不等於零。首先，應用高斯散度定理和電流密度分佈的局部性這事實，可以得到

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\mathbb {V} '}\nabla '\cdot \,d^{3}\mathbf {r} '&=\int _{\mathbb {V} '}r'_{\beta }r'_{\alpha }+r'_{\alpha }r'_{\beta }+r'_{\alpha }r'_{\beta }\nabla '\cdot J(\mathbf {r} ')\,d^{3}\mathbf {r} '\\&=\int _{\mathbb {V} '}r'_{\beta }J_{\alpha }(\mathbf {r} ')+r'_{\alpha }J_{\beta }(\mathbf {r} ')\,d^{3}\mathbf {r} '\\&=0\\\end{aligned}}}$ 。

注意到以下關係式：

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} \cdot \int _{\mathbb {V'} }\mathbf {r} 'J_{\alpha }(\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '&={\frac {1}{2}}\sum _{\beta =1}^{3}r_{\beta }\int _{\mathbb {V'} }r'_{\beta }J_{\alpha }(\mathbf {r} ')-r'_{\alpha }J_{\beta }(\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '\\&=-\ {\frac {1}{2}}\left_{\alpha }\\\end{aligned}}}$ 。

定義磁偶極矩 ${\displaystyle \mathbf {m} }$ 為

${\displaystyle \mathbf {m} {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {V} '}\mathbf {r} '\times \mathbf {J} (\mathbf {r} ')\,d^{3}\mathbf {r} '}$ 。

只取至最低階項目，即磁偶極矩項目，則磁向量勢 ${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )}$ 為

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {\mathbf {m} \times \mathbf {r} }{r^{3}}}}$ 。

多極展開在數值模擬領域用途很多。對於相互作用的粒子組成的物理系統，快速多極法（）是高效率運算這系統的能量與作用力常使用的一種方法。快速多極法就是建構於格林函數的多極展開。這方法的基本點子是分解所有粒子為幾個小群，每一個小群內的粒子正常地互相作用（即通過全部勢能），而小群與小群之間的互相作用則是由其多極矩計算求得。快速多極矩法的效率通常與伊沃德求和法（）等同，但是假若系統的粒子具有高度群聚性，即高密度漲落，則快速多極矩法比較優等。

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