运动常数
應用
運動常數的辨認對於研究物理問題是非常重要的。通過解析運動常數,可以明瞭許多物體運動的性質,而不需將運動方程式的解答完全計算出來。假若一個物體的角動量向量是恆定的,則此物體的軌跡()必包含於一個平面。在有些幸運的狀況下,甚至連運動軌跡都可以簡單地導引出來;因為它們是運動常數的等值曲面之相交線。舉例而言,從潘索橢圓球()可以觀察出,一個淨力矩等於零的剛體的旋轉,其角速度軌跡是一個圓球(角動量守恆)與一個橢圓球(能量守恆)的相交。用別種方法,這答案或許很不容易導引出。因此,運動常數的辨認是很重要的研究目標。
辨認運動常數的方法
辨認運動常數的方法有好幾種:
- 最簡單,但最無系統的方法是靠直覺。假設一個物理量是運動常數(或許是從分析實驗數據而得到的結論)。經過數學證明,可以論定,在物體的運動過程中,此量的值是保守的。
- 假若一個物理量,既不是顯性地含時間,又與哈密頓量的帕松括號等於零,則此物理量是保守的:
- 。
另外一個很有用的理論,帕松定理闡明:假若與都是運動常數,則它們的帕松括號也是運動常數。
一個物理系統,假若擁有個自由度,個運動常數,其任何一對運動常數的帕松括號等於零,則稱此系統為完全可積分系統()。稱這一集合的運動常數互相對合。
量子力學
假若,一個可觀測量與哈密頓量是可交換的,而且不顯性地含時間,則此可觀測量是個運動常數。
導引
假設,一個可觀測量跟位置、動量、時間有關。再假設一個波函數遵守薛丁格方程式。求期望值對於時間的導數,
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其中,是交換子。
假若,與哈密頓量是可交換的,而且不顯性地含時間,則
- 。
所以,是運動常數。
導引
假設,一個可觀測量跟位置、動量、時間有關。再假設一個波函數遵守薛丁格方程式。求期望值對於時間的導數,
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其中,是交換子。
假若,與哈密頓量是可交換的,而且不顯性地含時間,則
- 。
所以,是運動常數。
參閱
參考文獻
- Morin, David. . Cambridge University Press. 2008: 138. ISBN 9780521876223.
- Griffiths, David J. . Prentice Hall. 2004. ISBN 0-13-805326-X.