交换子

群G中两个元素g和h的交换子为元素

= g⁻¹h⁻¹gh

它等于群的幺元当且仅当g和h可交换（即gh = hg）。

环或结合代数上两个元素a和b的交换子定义为：

${\displaystyle =ab-ba.}$

量子力学中，经常用到对易关系（commutation relation），即

${\displaystyle ={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}}$；

其中；${\displaystyle {\hat {A}}}$、${\displaystyle {\hat {B}}}$均为量子力学的算符，${\displaystyle }$是其对易算符，也称交换子。

如果上式等于零，则称${\displaystyle {\hat {A}}}$、${\displaystyle {\hat {B}}}$是对易的，即意味着${\displaystyle {\hat {A}}}$和${\displaystyle {\hat {B}}}$两个算符的运算顺序可以调换。反之则称非对易的，运算顺序不可以调换。

量子力學中，交換子有以下特性:

${\displaystyle =-}$

${\displaystyle =+,\quad =+}$

${\displaystyle ={\hat {C}}+{\hat {B}},\quad ={\hat {B}}+{\hat {A}}}$

${\displaystyle =0,\quad n=1,2,3...}$

${\displaystyle ==k}$

${\displaystyle ]+]+]=0}$

量子力学中的各个力学量之间，常用的对易关系有：

以下，${\displaystyle {\hat {x}}}$是坐标算符、${\displaystyle {\hat {p}}}$是动量算符、${\displaystyle {\hat {L}}}$是角动量算符（包括轨道角动量、自旋角动量等），而${\displaystyle \delta _{ij}}$是克罗内克δ、${\displaystyle \epsilon _{ijk}}$是列維-奇維塔符號。其中i、j、k均可以指代x、y、z三个方向中的任意一个。

对易关系	更具体的形式
${\displaystyle =0}$	${\displaystyle =0}$、${\displaystyle =0}$
${\displaystyle =0}$	${\displaystyle =0}$、${\displaystyle =0}$
${\displaystyle =i\hbar \delta _{ij}}$	${\displaystyle =i\hbar }$、${\displaystyle =0}$、${\displaystyle =0}$、${\displaystyle =i\hbar }$
${\displaystyle =i\hbar \epsilon _{ijk}{\hat {L}}_{k}}$	${\displaystyle =i\hbar {\hat {L}}_{z}}$、${\displaystyle =i\hbar {\hat {L}}_{x}}$、${\displaystyle =i\hbar {\hat {L}}_{y}}$

物理學中，正則對易關係是正則共軛的量之間的關係，這樣的量從定義可以發現：一個量是其共軛量的傅立葉變換的結果。舉例來說：

${\displaystyle =i\hbar }$

上面的x與p分別為一維空間中的一點粒子的位置與動量，而${\displaystyle =xp-px}$為所謂${\displaystyle x}$與${\displaystyle p}$的交換算符，${\displaystyle i}$是虛數單位，${\displaystyle \hbar }$為約化普朗克常數，等於${\displaystyle h/2\pi }$。此一關係常歸功於馬克斯·玻恩，並且此式子暗示了以海森堡為名的不確定性原理。

相對於量子力學，古典物理中所有可觀測量都可對易（交換），而交換算符會是零；然而仍然有類似的關係存在：需將交換子換成泊松括號，且常數${\displaystyle i\hbar }$換成${\displaystyle 1}$：

${\displaystyle \{x,p\}=1\,\!}$

這樣的觀察導致了保羅·狄拉克提出假設：一般來說，古典的觀測量${\displaystyle f,g}$其量子對應項${\displaystyle {\hat {f}},{\hat {g}}}$應滿足

${\displaystyle =i\hbar {\widehat {\{f,g\}}}\,}$。

於1927年，赫尔曼·外尔（Hermann Weyl）指出了量子算符與相空間中古典分布之間的對應關係並不成立。不過他倒是提出了一個機制，稱作魏爾量子化（Weyl quantization），為了一種稱作形變量子化（deformation quantization）的量子化方法提供了數學途徑。

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• Griffiths, David J., 2nd, Prentice Hall, 2004, ISBN 0-13-805326-X 已忽略未知参数|url-access= (帮助)
• Herstein, I. N., 2nd, John Wiley & Sons, 1975
• Liboff, Richard L., 4th, Addison-Wesley, 2003, ISBN 0-8053-8714-5
• McKay, Susan, , Queen Mary Maths Notes 18, University of London, 2000, ISBN 978-0-902480-17-9, MR 1802994
• McMahon, D., , USA: McGraw Hill, 2008, ISBN 978-0-07-154382-8

• 正則量子化
• 正則變換
• 李導數
• 群
• 李代數
• 泊松括號
• 雅可比恆等式