路径积分表述

哈密頓算符${\displaystyle H}$是量子力學中的時間演化算符${\displaystyle U(t_{b},t_{a})}$的生成算符：

${\displaystyle U(t_{b},t_{a})=e^{-{\frac {i}{\hbar }}(t_{b}-t_{a})H}}$

一個量子粒子在時刻${\displaystyle t_{a}}$到${\displaystyle t_{b}}$間從位置${\displaystyle x_{a}}$運動到${\displaystyle x_{b}}$的量子概率幅是：

${\displaystyle iG(x_{b},t_{b};x_{a},t_{a})\equiv \left\langle x_{b}\right|U(t_{b},t_{a})\left|x_{a}\right\rangle }$

因爲${\displaystyle U(t_{b},t_{a})}$是很複雜的算符函數，直接用以上定義計算${\displaystyle iG(x_{b},t_{b};x_{a},t_{a})}$非常困難。 時間演化算符符合

${\displaystyle U(t_{b},t_{a})=U(t_{b},t)U(t,t_{a})}$

因此量子幅符合

${\displaystyle iG(x_{b},t_{b};x_{a},t_{a})=\int dxiG(x_{b},t_{b};x,t)iG(x,t;x_{a},t_{a})}$。

此公式的物理理解為：從${\displaystyle (t_{a},x_{a})}$出發，在時刻${\displaystyle t_{b}>t>t_{a}}$先穿過位置${\displaystyle x}$再到達${\displaystyle (t_{b},x_{b})}$路徑的總量子幅是两段路徑量子幅的積；而從${\displaystyle (t_{a},x_{a})}$到${\displaystyle (t_{b},x_{b})}$的量子幅是所有這種路徑的和。

假設粒子在時刻${\displaystyle t_{a}}$到${\displaystyle t_{b}}$間從位置${\displaystyle x_{a}}$運動到${\displaystyle x_{b}}$。那可以把之間的時間平均分割成個別的時間區間：${\displaystyle t_{a}=t_{0}<t_{1}<t_{2}<\cdots <t_{n-1}<t_{n}=t_{b}}$。每一段的時間是${\displaystyle \Delta ={\frac {t_{b}-t_{a}}{n}}}$。 在時刻${\displaystyle t_{j-1}}$和${\displaystyle t_{j}}$間粒子的量子幅是：

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle x_{j}\left|e^{-i{\frac {\Delta }{\hbar }}H({\hat {p}},{\hat {x}})}\right|x_{j-1}\right\rangle &=\int dp_{j}\langle x_{j}|p_{j}\rangle \left\langle p_{j}\left|e^{-i{\frac {\Delta }{\hbar }}H({\hat {p}},{\hat {x}})}\right|x_{j-1}\right\rangle \end{aligned}}}$

因為${\displaystyle {\hat {p}}}$和${\displaystyle {\hat {x}}}$是互不交换的算符，所以必須運用它們的交换子關係：${\displaystyle =i\hbar }$把${\displaystyle H({\hat {p}},{\hat {x}})}$修成所有的${\displaystyle {\hat {p}}}$在${\displaystyle {\hat {x}}}$左方的正常順序：

${\displaystyle e^{-i{\frac {\Delta }{\hbar }}H({\hat {p}},{\hat {x}})}=:e^{-i{\frac {\Delta }{\hbar }}H({\hat {p}},{\hat {x}})}:+O(\Delta ^{2})}$

做時間切片的作用是：當取切片數趨向無限大的极限時（${\displaystyle \Delta \rightarrow 0}$），原本非正常順序的哈密頓算符可以以正常順序版代替。在正常順序算符下，${\displaystyle {\hat {p}}}$和${\displaystyle {\hat {x}}}$從算符簡化成普通複數。 因此

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle x_{j}\left|e^{-i{\frac {\Delta }{\hbar }}H({\hat {p}},{\hat {x}})}\right|x_{j-1}\right\rangle &=\int {\frac {dp_{j}}{2\pi \hbar }}e^{i{\frac {p_{j}}{\hbar }}(x_{j}-x_{j-1})}\,e^{-i{\frac {\Delta }{\hbar }}H(p_{j},x_{j-1})}\\&=\int {\frac {dp_{j}}{2\pi \hbar }}e^{i{\frac {\Delta }{\hbar }}\left(p_{j}{\frac {x_{j}-x_{j-1}}{\Delta }}-H(p_{j},x_{j-1})\right)}\\\end{aligned}}}$

把所有連接${\displaystyle (t_{a},x_{a})}$和${\displaystyle (t_{b},x_{b})}$的路徑相加得到的總量子幅是：

${\displaystyle {\begin{aligned}iG(x_{b},t_{b};x_{a},t_{a})&=\int dx_{1}\cdots dx_{n-1}\prod _{i=1}^{n-1}dp_{i}\exp \left\\&=\int {\mathcal {D}}\lefte^{{\frac {i}{\hbar }}S}\end{aligned}}}$

${\displaystyle S}$是路徑${\displaystyle x(t)}$的作用量，拉格朗日量${\displaystyle L(t,x,{\dot {x}})}$的時間積分：

${\displaystyle S=\int L(t,x,{\dot {x}})dt}$

自由粒子的作用量（${\displaystyle m=1}$，${\displaystyle \hbar =1}$）：

${\displaystyle S=\int {\frac {{\dot {x}}^{2}}{2}}dt}$

可以插入路徑積分裡做直接計算。 暫時把指數函數内i去掉可容許比較簡易的理解計算。以後可以用威克轉動回到原式：

${\displaystyle G(x-y;T)=\int _{x(0)=x}^{x(T)=y}e^{-\int _{0}^{T}{\frac {{\dot {x}}^{2}}{2}}dt}{\mathcal {D}}x=\int _{x(0)=x}^{x(T)=y}\prod _{t}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {(x(t+\epsilon )-x(t)}{\epsilon }}\right)^{2}\epsilon }{\mathcal {D}}x}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}x}$是以上時間切成有限片的積分。連乘裡每一項都是平均值為${\displaystyle x(t)}$方差為c的高斯函數。多重積分是相鄰時間高斯函數${\displaystyle G_{\epsilon }}$的卷積：

${\displaystyle G(x-y;T)=G_{\epsilon }*G_{\epsilon }*G_{\epsilon }\cdots G_{\epsilon }}$

這裡面共包含${\displaystyle T/\epsilon }$個卷積。傅里葉變換下卷積變成普通乘積：

${\displaystyle {\tilde {G}}(p;T)={\tilde {G}}_{\epsilon }(p)^{T/\epsilon }}$

高斯函數的傅里葉變換也是一個高斯函數：

${\displaystyle {\tilde {G}}_{\epsilon }(p)=e^{-\epsilon {\frac {p^{2}}{2}}}}$

因此

${\displaystyle {\tilde {G}}(p;T)=e^{-T{\frac {p^{2}}{2}}}}$

反傅里葉變換可以得到實空間量子幅：

${\displaystyle G(x-y;T)\propto e^{-{\frac {(x-y)^{2}}{2T}}}}$

時間切片方法原則上不能决定以上比例系數。以随機運動概率來理解可得到以下正規条件：

${\displaystyle \int G(x-y;T)dy=1}$

從這條件可得到擴散方程：

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}G(x;t)={\frac {\nabla ^{2}}{2}}G}$

回到振盪軌道，即恢複分子裡的原本的${\displaystyle i}$。這可同樣得到一系列高斯函數的卷積。但這些高斯積分是嚴重振盪積分而要小心計算。一個普遍方法是讓時間片${\displaystyle \epsilon }$帶一個小虚部。這等同於以威克轉動在實時間和虚時間間轉换。在這些處理下可得到傳播核：

${\displaystyle G(x-y;T)\propto e^{\frac {i(x-y)^{2}}{2T}}}$

運用和之前一樣的正規條件，重新得到自由粒子的薛定諤方程式：

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}G(x;t)={\frac {i\nabla ^{2}}{2}}G}$

這意味著任何${\displaystyle G}$的綫性組合也符合薛定諤方程式，包括以下定義的波函數：

${\displaystyle \varphi _{t}(x)=\int \varphi _{0}(y)G(x-y;t)dy}$

和${\displaystyle G}$一樣服從薛定諤方程式：

${\displaystyle i{\frac {d}{dt}}\varphi _{t}=-{\frac {\nabla ^{2}}{2}}\varphi _{t}(x)}$

配分函数成为泛函积分：

${\displaystyle Z=\int D\phi \ \exp(iS(\phi ))}$

费米积分、格拉斯曼數

• 费曼－卡茨公式
• 配分函数
• 泛函
• 高斯积分