作用量

皮埃爾·德·費馬於1662年發表了費馬原理。這原理闡明：光傳播的正確路徑，所需的時間必定是極值。這原理在物理學界造成了很大的震撼。不同於牛頓運動定律的機械性，現今，一個物理系統的運動擁有了展望與目標。

戈特弗里德·萊布尼茨不同意費馬的理論。他認為光應該選擇最容易傳播的路徑。他於1682年發表了他的理論：光傳播的正確路徑應該是阻礙最小的路徑；更精確地說，阻礙與徑長的乘積是最小值的路徑。這理論有一個難題，如果要符合實驗的結果，玻璃的阻礙必須小於空氣的阻礙；但是，玻璃的密度大於空氣，應該玻璃的阻礙會大於空氣的阻礙。萊布尼茨為此提供了一個令人百思的辯解。較大的阻礙使得光較不容易擴散；因此，光被約束在一個很窄的路徑內。假若，河道變窄，水的流速會增加；同樣地，光的路徑變窄，所以光的速度變快了。

1744年，皮埃爾·莫佩爾蒂在一篇論文《The agreement between the different laws of Nature that had, until now,seemed incompatiable》中，發表了最小作用量原理：光選擇的傳播路徑，作用量最小。他定義作用量為移動速度與移動距離的乘積。用這原理，他證明了費馬原理：光傳播的正確路徑，所需的時間是極值；他也計算出光在反射與同介質傳播時的正確路徑。1747年，莫佩爾蒂在另一篇論文《On the laws of motion and of rest》中，應用這原理於碰撞，正確地分析了彈性碰撞與非弹性碰撞；這兩種碰撞不再需要用不同的理論來解釋。

萊昂哈德·歐拉在同年發表了一篇論文《Method for finding curves having a minimal or maximal property or solutions to isoperimetric problems in the broadest accepted sense》 ；其中，他表明物體的運動遵守某種物理量極值定律，而這物理量是${\displaystyle \int _{path}\ v^{2}\ dt\,\!}$。應用這理論，歐拉成功的計算出，當粒子受到連心力作用時，正確的拋射體運動。

在此以後，許多物理學家，包括約瑟夫·拉格朗日、威廉·哈密頓、理查德·費曼等等，對於作用量都有很不同的見解。這些見解對於物理學的發展貢獻甚多。

微分方程式時常被用來表述物理定律。微分方程式指定出，隨著極小的時間、位置、或其他變數的變化，一個物理變數如何改變。總合這些極小的改變，再加上這物理變數在某些點的已知數值或已知導數值，就能求得物理變數在任何點的數值。

作用量方法是一種全然不同的方法，它能夠描述物理系統的運動，而且只需要設定物理變數在兩點的數值，稱為初始值與最終值。經過作用量平穩的演算，可以得到，此變數在這兩點之間任何點的數值。而且，作用量方法與微分方程式方法所得到的答案完全相同。

哈密頓原理闡明了這兩種方法在物理學價位的等價：描述物理系統運動的微分方程式，也可以用一個等價的積分方程式來描述。無論是關於經典力學中的一個單獨粒子、關於經典場像電磁場或重力場，這描述都是正確的。更加地，哈密頓原理已經延伸至量子力學與量子場論了。

用變分法數學語言來描述，求解一個物理系統作用量的平穩值（通常是最小值），可以得到這系統隨時間的演化（就是說，系統怎樣從一個狀態演化到另外一個狀態）。更廣義地，系統的正確演化對於任何微擾必須是平穩的。這要求導致出描述正確演化的微分方程式。

在經典物理裏，作用量這術語至少有七種不同的意義。每一種不同的意義有它不同的表達形式。

最常見的作用量是一個泛函${\displaystyle {\mathcal {S}}\,\!}$，輸入是參數為時間與空間的函數，輸出是一個純量。在經典力學裏，輸入函數是物理系統在兩個時間點${\displaystyle t_{1}\,\!}$，${\displaystyle t_{2}\,\!}$之間廣義座標${\displaystyle \mathbf {q} (t)\,\!}$的演變。

作用量${\displaystyle {\mathcal {S}}\,\!}$定義為，在兩個時間點之間，系統的拉格朗日量${\displaystyle L\,\!}$對於時間的積分：

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L\,\mathrm {d} t\,\!}$。

根據哈密頓原理，正確的演化${\displaystyle \mathbf {q} _{\mathrm {true} }(t)\,\!}$要求平穩的作用量${\displaystyle {\mathcal {S}}\,\!}$（最小值、最大值、鞍值）。經過運算，結果就是拉格朗日方程式。

簡略作用量也是一個泛函，通常標記為${\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}\,\!}$。這裏，輸入函數是物理系統移動的一條路徑，完全不考慮時間參數。舉例而言，一個行星軌道的路徑是個橢圓，一個粒子在均勻重力場的路徑是拋物線；在這兩種狀況，路徑都跟粒子的移動速度無關。簡略作用量${\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}\,\!}$定義為廣義動量${\displaystyle \mathbf {p} \,\!}$延著路徑的積分：

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}=\int \mathbf {p} \,\mathrm {d} \mathbf {q} \,\!}$；

其中，${\displaystyle \mathbf {q} \,\!}$是廣義座標．根據莫佩爾蒂原理，正確路徑的簡略作用量${\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}\,\!}$是平穩的。

主條目：哈密頓主函數。

哈密頓主函數是由哈密頓-雅可比方程式定義的。哈密頓-雅可比方程式是經典力學的另一種表述。哈密頓主函數${\displaystyle S\,\!}$與泛涵${\displaystyle {\mathcal {S}}\,\!}$有密切的關係。固定住初始時間${\displaystyle t_{1}\,\!}$和其對應的座標點${\displaystyle \mathbf {q} _{1}\,\!}$；而准許時間上限${\displaystyle t_{2}\,\!}$和其對應的座標點${\displaystyle \mathbf {q} _{2}\,\!}$的改變。取${\displaystyle t_{2}\,\!}$和${\displaystyle \mathbf {q} _{2}\,\!}$為函數${\displaystyle S\,\!}$的參數。換句話說，作用量函數${\displaystyle S\,\!}$是拉格朗日量對於時間的不定積分：

${\displaystyle S(\mathbf {q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)=\int L\,\mathrm {d} t\,\!}$。

更加地，可以證明${\displaystyle \mathbf {P} \,\!}$是某常數向量${\displaystyle \mathbf {a} \,\!}$。所以，

${\displaystyle S(\mathbf {q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)=S(\mathbf {q} ,\ \mathbf {a} ,\ t)\,\!}$。

主條目：哈密頓特徵函數。

假若，哈密頓量${\displaystyle H\,\!}$是守恆的；

${\displaystyle H=\alpha \,\!}$；

其中，${\displaystyle \alpha \,\!}$是常數。

設定哈密頓特徵函數${\displaystyle W\,\!}$為

${\displaystyle W(\mathbf {q} ,\ \mathbf {a} )=S(\mathbf {q} ,\ \mathbf {a} ,\ t)-\alpha t\,\!}$。

則哈密頓特徵函數${\displaystyle W\,\!}$是一個作用量。

更加地，

${\displaystyle {\frac {dW}{dt}}={\frac {\partial W}{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}=\mathbf {p} {\dot {\mathbf {q} }}\,\!}$。

對於時間積分：

${\displaystyle W(\mathbf {q} ,\ \mathbf {a} )=\int \mathbf {p} {\dot {\mathbf {q} }}dt=\int \mathbf {p} \,d\mathbf {q} \,\!}$。

這正是簡略作用量的方程式。

主條目：哈密頓-雅可比方程式。

哈密頓-雅可比方程式是經典力學的一種表述。假若，哈密頓-雅可比方程式是完全可分的；則哈密頓主函數${\displaystyle S(\mathbf {q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)\,\!}$分出的每一個項目${\displaystyle S_{k}(q_{k},\ \mathbf {P} ,\ t)\,\!}$也稱為"作用量"。

主條目：作用量-角度座標。思考一個作用量-角度座標的廣義動量變數${\displaystyle J_{k}\,\!}$，定義為在相空間內，關於轉動運動或振蕩運動，廣義動量的閉路徑積分：

${\displaystyle J_{k}=\oint p_{k}\mathrm {d} q_{k}\,\!}$。

這變數${\displaystyle J_{k}\,\!}$稱為廣義座標${\displaystyle q_{k}\,\!}$的作用量；相應的正則座標是角度${\displaystyle w_{k}\,\!}$。不同於前面簡略作用量泛函地用點積來積分向量；這裏，只有一個純量變數${\displaystyle q_{k}\,\!}$被用來積分。作用量${\displaystyle J_{k}\,\!}$等於，隨著${\displaystyle q_{k}\,\!}$沿著閉路徑，${\displaystyle S_{k}(q_{k})\,\!}$的改變。應用於幾個有趣的物理系統，${\displaystyle J_{k}\,\!}$或者是常數，或者改變非常地慢。因此，${\displaystyle J_{k}\,\!}$時常應用於微擾理論與緩漸不變量的研究。

參閱重言1形式。

哈密頓原理闡明，如果一個物理系統在兩個時間點${\displaystyle t_{1}\,\!}$、${\displaystyle t_{2}\,\!}$的運動是正確運動，則作用量泛函${\displaystyle {\mathcal {S}}\,\!}$的一次變分${\displaystyle \delta {\mathcal {S}}\,\!}$為零。用數學方程式表示，定義作用量為

${\displaystyle {\mathcal {S}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }},\ t)\,dt\,\!}$。

其中，${\displaystyle L(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }},\ t)\,\!}$是系統的拉格朗日函數，廣義座標${\displaystyle \mathbf {q} =\left(q_{1},\ q_{2},\ \ldots ,\ q_{N}\right)\,\!}$是時間的函數。

假若，${\displaystyle \mathbf {q} (t)\,\!}$是系統的正確運動，則${\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=0\,\!}$。

從哈密頓原理可以導引出拉格朗日方程式．假設${\displaystyle \mathbf {q} (t)\,\!}$是系統的正確運動，讓${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t)\,\!}$成為一個微擾${\displaystyle \delta \mathbf {q} \,\!}$；微擾在軌道兩個端點的值是零：

${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{1})={\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{2})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ 0\,\!}$。

取至${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t)\,\!}$的一階微擾，作用量泛函的一次變分為

${\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;\leftdt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;\left({\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}+{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}\cdot {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt\,\!}$。

這裏，將拉格朗日量${\displaystyle L\,\!}$展開至${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t)\,\!}$的一階微擾。

應用分部積分法於最右邊項目，

${\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\left_{t_{1}}^{t_{2}}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;\left({\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}-{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt\,\!}$。

邊界條件${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{1})={\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{2})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ 0\,\!}$使第一個項目歸零。所以，

${\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt\,\!}$。

要求作用量泛函${\displaystyle {\mathcal {S}}\,\!}$平穩。這意味著，對於正確運動的任意微擾${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t)\,\!}$，一次變分${\displaystyle \delta {\mathcal {S}}\,\!}$必須等於零：

${\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt=0\,\!}$。

請注意，還沒有對廣義座標${\displaystyle \mathbf {q} (t)\,\!}$做任何要求。現在，要求所有的廣義座標都互相無關（完整限制）。這樣，根據變分法基本引理，可以得到拉格朗日方程式：

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}=\mathbf {0} \,\!}$。

在各個物理學領域，拉格朗日方程式都被認為是非常重要的方程式，能夠用來精確地理論分析許多物理系統。

對應於廣義座標${\displaystyle q_{k}\,\!}$的廣義動量${\displaystyle p_{k}\,\!}$，又稱為共軛動量，定義為

${\displaystyle p_{k}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}\,\!}$。

假設${\displaystyle L\,\!}$不顯性地跟廣義座標${\displaystyle q_{k}\,\!}$有關，

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}=0\,\!}$，

則廣義動量${\displaystyle p_{k}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}\,\!}$是常數。在此種狀況，座標${\displaystyle q_{k}\,\!}$稱為循環座標。舉例而言，如果用極座標系${\displaystyle (r,\ \theta ,\ h)\,\!}$來描述一個粒子的平面運動，而${\displaystyle L\,\!}$與${\displaystyle \theta \,\!}$無關，則廣義動量是守恆的角動量。

• 拉格朗日力學
• 哈密頓力學
• 諾特定理
• 愛因斯坦-希爾伯特作用量
• 最小作用量原理

• （页面存档备份，存于），Edwin F. Taylor加了註釋的參考書目。
• 最小作用量原理 （页面存档备份，存于）非常好地互動解釋。

• Cornelius Lanczos, "The Variational Principles of Mechanics",（Dover Publications, New York, 1986）, ISBN 0-486-65067-7.這領域最常引用的參考書。
• 列夫·朗道and E. M. Lifshitz, "Mechanics, Course of Theoretical Physics", 3rd ed., Vol. 1,（Butterworth-Heinenann, 1976）, ISBN 0-7506-2896-0.這本書一開始就講解最小作用量原理。
• Herbert Goldstein "Classical Mechanics", 2nd ed.,（Addison Wesley, 1980）, pp. 35-69。
• Thomas A. Moore "Least-Action Principle" in Macmillan Encyclopedia of Physics, Volume 2,（Simon & Schuster Macmillan, 1996）, ISBN 0-02-897359-3, OCLC 35269891, pages 840–842。
• Robert Weinstock, "Calculus of Variations, with Applications to Physics and Engineering",（Dover Publications, 1974）, ISBN 0-486-63069-2。非常好的古早書。
• Dugas, René, "A History of Mechanics",（Dover, 1988）, ISBN 0-486-65632-2, pp. 254-275。