贝特公式

速度为${\displaystyle v}$，电荷数为${\displaystyle z}$(整数，单位为基本电荷)，能量为${\displaystyle E}$的带电粒子，在电子数密度为${\displaystyle n}$，平均激发能为${\displaystyle I}$的材料中穿越距离${\displaystyle x}$时，在国际单位制中，相对论版的贝特公式为：

${\displaystyle -\left\langle {\frac {dE}{dx}}\right\rangle ={\frac {4\pi }{m_{e}c^{2}}}\cdot {\frac {nz^{2}}{\beta ^{2}}}\cdot \left({\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}\right)^{2}\cdot \left}$

(1)

其中c 是光速，${\displaystyle \varepsilon _{0}}$为真空介电常数， ${\displaystyle \beta ={\frac {v}{c}}}$， ${\displaystyle e}$ 和 ${\displaystyle m_{e}}$为基本电荷和电子的静质量。

停电的铝用于质子和质子能，以及贝特的公式，而(红色)和更正(蓝色)

材料的电子数密度${\displaystyle n}$可以通过下面公式来计算：

${\displaystyle n={\frac {N_{A}\cdot Z\cdot \rho }{A\cdot M_{u}}}\,,}$

其中 ${\displaystyle \rho }$ 是材料的密度， ${\displaystyle Z}$ 是材料的原子序数，${\displaystyle A}$ 是相对原子质量，${\displaystyle N_{A}}$ 是阿伏伽德罗常数，${\displaystyle M_{u}}$ 为摩尔质量常数。

在右图中，黑色圆圈是不同作者给出的实验测量结果，红色曲线是未修正的贝特公式。 显然，贝特公式在高能区很好地符合了实验结果。 当添加了一些修正项后，贝特公式符合得更好(图中的蓝色曲线，见下文)。

对于低能带电粒子，即相对速度 ${\displaystyle \beta \ll 1}$，贝特公式简化为

${\displaystyle -\left\langle {\frac {dE}{dx}}\right\rangle ={\frac {4\pi nz^{2}}{m_{e}v^{2}}}\cdot \left({\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}\right)^{2}\cdot \left.}$

(2)

这可以从 (1)式中将 ${\displaystyle \beta c}$ 由 ${\displaystyle v}$ 替代，并忽略其余 ${\displaystyle \beta ^{2}}$ 项得到。

在低能区，根据贝特公式，粒子的能损随 ${\displaystyle v^{2}}$ 的增加而降低，并在 ${\displaystyle E=3Mc^{2}}$ 达到最小值，其中 ${\displaystyle M}$ 是粒子的质量(对于质子来说，该极值点约为3000 MeV)。 在极端相对论的情况下，${\displaystyle \beta \approx 1}$，粒子的能损对数增加，这主要是由于电场的横向分量造成的。

1. H. Bethe und J. Ashkin in "Experimental Nuclear Physics, ed.
2. Sigmund, Peter Particle Penetration and Radiation Effects.
3. H. Bichsel, Rev.
4. . 2015-04-15 . （原始内容存档于2012-02-06）.