表面张力波

色散关系說明在波當中波长和頻率之間的關係。色散关系會出現在只受表面張力影響的純表面張力波中，也會出現在由重力和表面張力影響的重力-表面張力波中。

重力-表面張力波

在深水表面的重力-表面張力波（上方的密度為0，ρ′ = 0）。相速度及群速度除以${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt{g\sigma /\rho }}}$後，會是相對波長倒數的函數
 · 藍線(A)：相速度，紅線(B)：群速度
 · 實線：重力-表面張力波色散关系。
 · 點線：深水重力波的色散關係
 · 虛點線：實際深水重力波的色散關係

一般而言，水也會受到重力的影響，因此稱為重力-表面張力波。若是無限深度的流體，其色散關係如下：

${\displaystyle \omega ^{2}=|k|\left({\frac {\rho -\rho '}{\rho +\rho '}}g+{\frac {\sigma }{\rho +\rho '}}k^{2}\right),}$

其中g為標準重力，ρ和ρ'分別是二種流體的密度（ρ > ρ‘）。第一項的${\displaystyle (\rho -\rho ')/(\rho +\rho ')}$因子是阿特伍德数。

在表面張力波中的色散关系是

${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {\sigma }{\rho +\rho '}}\,|k|^{3},}$

其中ω是角频率，σ是表面张力，ρ是較重流體的密度，ρ'是較輕流體的密度，k是波數。其波长為 ${\displaystyle \lambda ={\frac {2\pi }{k}}.}$ 若在流體和真空中的邊界，其色散关系簡化為是

${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {\sigma }{\rho }}\,|k|^{3}.}$

在深水表面的重力-表面張力波（上方的密度為0，ρ′ = 0）。相速度及群速度除以${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt{g\sigma /\rho }}}$後，會是相對波長倒數的函數
 · 藍線(A)：相速度，紅線(B)：群速度
 · 實線：重力-表面張力波色散关系。
 · 點線：深水重力波的色散關係
 · 虛點線：實際深水重力波的色散關係

一般而言，水也會受到重力的影響，因此稱為重力-表面張力波。若是無限深度的流體，其色散關係如下：

${\displaystyle \omega ^{2}=|k|\left({\frac {\rho -\rho '}{\rho +\rho '}}g+{\frac {\sigma }{\rho +\rho '}}k^{2}\right),}$

其中g為標準重力，ρ和ρ'分別是二種流體的密度（ρ > ρ‘）。第一項的${\displaystyle (\rho -\rho ')/(\rho +\rho ')}$因子是阿特伍德数。

若波長較大（波數k = 2π/λ較小），主要會受第一項，重力波的影響。

若到極限時，波的群速度會是相速度的一半。若跟隨著某一個波群中的某一個波峰前進，會看到波在後面出現，成長，最後會在波群的前面消失。

若波長較小（波數較大，例如在水-空氣介面中，波數到達2 mm)，是表面張力波，情形恰好相反。跟隨著某一個波群中的某一個波峰前進，會看到波在前面出現，成長，最後會在波群的後面消失。在極限時，群速度會是相速度的1.5倍。

在上述兩種極端條件之間，存在一個點，表面張力波產生的色散會和重力產生的色散相抵消。在該波長下，群速會等於相速，沒有色散。在該波長下，重力-表面張力波的相速有極小值。若波長遠大於臨界波長λ_m的波主要會受到表面張力影響，波長遠大於該值的波主要會受到重力影響。波長和最小相速度c_m的關係如下：

${\displaystyle \lambda _{m}=2\pi {\sqrt {\frac {\sigma }{(\rho -\rho ')g}}}\quad {\text{and}}\quad c_{m}={\sqrt {\frac {2{\sqrt {(\rho -\rho ')g\sigma }}}{\rho +\rho '}}}.}$

針對空氣–水的界面，λ_m約為1.7 cm（0.67英寸），c_m為0.23 m/s（0.75 ft/s）.。

若小石頭或是水滴落入液面，漣漪會以同心圓往外擴散，最後水面會靜止。漣漪的同心圓會出現焦散，對應最小相速

理查德·費曼曾提過：「是每一個人都可以看到的現象，也在基礎教育中用來做為波的例子，但也是最壞的例子，波可能會出現的複雜問題，在水波中都可可能出現。」。在重力-表面張力波的色散關係中，也會有類似的情形。

一般會假設重力-表面張力波的能量來源有三個：重力、表面张力及流體動力學。前兩個是勢能。在有關重力的部份，一般分析會假設流體的密度是定值（不可壓縮性），也會假設重力是定值（水波的高低還不足以造成重力顯著變化的程度）。有關表面張力，會假設表面的高度變化很小，針對一般水波，上述二個假設都可以成立。

能量來源的第三個是流體的动能，這部份最複雜，需要用流體動力學的技巧。此處會再假設不可壓縮性（若波的速度遠小於介質中聲速時成立），流場本身是保守向量场，因此流位流。

• 毛细现象
• 水波色散
• 流體管
• 波濤
• 兩相流
• Airy波理論

• Longuet-Higgins,M. S. . Journal of Fluid Mechanics. 1963, 16 (1): 138–159. Bibcode:1963JFM....16..138L. ISSN 1469-7645. doi:10.1017/S0022112063000641.
• Lamb, H. 6th. Cambridge University Press. 1994. ISBN 978-0-521-45868-9.
• Phillips, O. M. 2nd. Cambridge University Press. 1977. ISBN 0-521-29801-6.
• Dingemans, M. W. . Advanced Series on Ocean Engineering 13. World Scientific, Singapore. 1997: 2 Parts, 967 pages. ISBN 981-02-0427-2.
• Safran, Samuel. . Addison-Wesley. 1994.
• Tufillaro, N. B.; Ramshankar, R.; Gollub, J. P. . Physical Review Letters. 1989, 62 (4): 422–425. Bibcode:1989PhRvL..62..422T. PMID 10040229. doi:10.1103/PhysRevLett.62.422.

维基共享资源中相关的多媒体资源：表面張力波

• Capillary waves entry at sklogwiki