磁单极子

采用CGS单位制，延伸后的麦克斯韦方程组为^:18

方程名称	不考虑磁单极的存在性	考虑到磁单极的存在性（假设）
高斯定律:	${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} =4\pi \rho _{e}}$
高斯磁定律:	${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {B} =0}$	${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {B} =4\pi \rho _{m}}$
法拉第电磁感应定律:	${\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$	${\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}-{\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j} _{m}}$
安培定律（带入麦克斯韦方程组）：	${\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} ={\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+{\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j} _{e}}$
洛仑兹力定律：	${\displaystyle \mathbf {F} =q_{\mathrm {e} }\left(\mathbf {E} +{\frac {\mathbf {v} }{c}}\times \mathbf {B} \right)}$	${\displaystyle \mathbf {F} =q_{\mathrm {e} }\left(\mathbf {E} +{\frac {\mathbf {v} }{c}}\times \mathbf {B} \right)+q_{\mathrm {m} }\left(\mathbf {B} -{\frac {\mathbf {v} }{c}}\times \mathbf {E} \right)}$

在这些方程中，ρ_m是磁荷密度，j_m是磁流密度，q_m是测试粒子的磁荷，这些物理量的定义都与相应的与电荷与电流有关的物理量相似，v是粒子运动的速度，而c是真空光速。对于其它的细节和定义，见麦克斯韦方程组。对于在去量纲化的普朗克单位制下的这些方程，去掉系数c。

馬克士威方程組明白顯示出，在宇宙裏，磁荷不存在，只有電荷存在。至今為止，確實從未有任何實驗發現磁荷存在。假若磁荷存在，則高斯磁定律與法拉第感應定律都需要修改，馬克士威方程組內會增添兩個新的變量，磁荷${\displaystyle \rho _{m}}$和磁流${\displaystyle \mathbf {J} _{m}}$。經過修正後的方程組，會對於以下對調運作，具有不變性性：^:273-275

${\displaystyle {\begin{matrix}\rho _{e}\to \rho _{m}\quad &\mathbf {E} \to \mathbf {B} \quad &j_{e}\to j_{m}\\\rho _{m}\to -\rho _{e}\quad &\mathbf {B} \to -\mathbf {E} \quad &j_{m}\to -j_{e}\end{matrix}}}$。

在国际单位制中，磁荷q_m有两个互相冲突的单位：韦伯（Wb）和安培米（A·m）这两种单位之间的换算为：q_m(Wb) = μ₀q_m(A·m)，这可由量纲分析1 Wb = 1 H·A = (1 H·m⁻¹)·(1 A·m)得出。（H是亨利）麦克斯韦方程组有如下形式：

方程名称	不考虑磁单极的存在	韦伯形式	安培米形式
高斯定律	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho _{\mathrm {e} }}{\epsilon _{0}}}}$
高斯磁定律	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =\rho _{\mathrm {m} }}$	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =\mu _{0}\rho _{\mathrm {m} }}$
法拉第电磁感应定律	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}-\mathbf {j} _{\mathrm {m} }}$	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}-\mu _{0}\mathbf {j} _{\mathrm {m} }}$
安培定律（带入麦克斯韦方程组）	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+\mu _{0}\mathbf {j} _{\mathrm {e} }}$
洛仑兹力定律	${\displaystyle \mathbf {F} =q_{\mathrm {e} }\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} &=q_{\mathrm {e} }\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\\&+{\frac {q_{\mathrm {m} }}{\mu _{0}}}\left(\mathbf {B} -\mathbf {v} \times {\frac {\mathbf {E} }{c^{2}}}\right)\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} &=q_{\mathrm {e} }\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\\&+q_{\mathrm {m} }\left(\mathbf {B} -\mathbf {v} \times {\frac {\mathbf {E} }{c^{2}}}\right)\end{aligned}}}$

如果我们以张量的形式写下麦克斯韦方程组，那么其洛仑兹协变性就会很明显。这些推广了的公式包括：

麦克斯韦方程	高斯单位制	国际单位制(Wb)	国际单位制(A⋅m)
法拉第-高斯定律	${\displaystyle \partial _{\alpha }F^{\alpha \beta }={\frac {4\pi }{c}}J_{\mathrm {e} }^{\beta }}$	${\displaystyle \partial _{\alpha }F^{\alpha \beta }=\mu _{0}J_{\mathrm {e} }^{\beta }}$	${\displaystyle \partial _{\alpha }F^{\alpha \beta }=\mu _{0}J_{\mathrm {e} }^{\beta }}$
安培-高斯定律	${\displaystyle \partial _{\alpha }{\star F^{\alpha \beta }}={\frac {4\pi }{c}}J_{\mathrm {m} }^{\beta }}$	${\displaystyle \partial _{\alpha }{\star F^{\alpha \beta }}={\frac {\mu _{0}}{c}}J_{\mathrm {m} }^{\beta }}$	${\displaystyle \partial _{\alpha }{\star F^{\alpha \beta }}={\frac {1}{c}}J_{\mathrm {m} }^{\beta }}$
洛仑兹力定律	${\displaystyle {\frac {dp_{\alpha }}{d\tau }}={\frac {1}{c}}\left}$	${\displaystyle {\frac {dp_{\alpha }}{d\tau }}=q_{\mathrm {e} }F_{\alpha \beta }v^{\beta }+q_{\mathrm {m} }{\star F_{\alpha \beta }}v^{\beta }}$	${\displaystyle {\frac {dp_{\alpha }}{d\tau }}=q_{\mathrm {e} }F_{\alpha \beta }v^{\beta }+{\frac {q_{\mathrm {m} }}{\mu _{0}}}{\star F_{\alpha \beta }v^{\beta }}}$

这里：

• F是电磁张量，${\displaystyle \star }$代表着霍奇对偶（应此${\displaystyle \star }$F代表着F的对偶张量）；
• 对于带有电荷q_e和磁荷q_m的运动粒子，v是粒子的四维速度，p是粒子的四维动量；
• 对于电荷和磁荷分布，J_e = (ρ_e, j_e)是四维电流密度，而J_m = (ρ_m, j_m)是四维磁流密度。

推广后的麦克斯韦方程组具有一种特定的对称性，叫做对偶变换。我们可以选择任意实角度ξ，对宇宙中所有的荷和场同时作如下变换：

荷和流	场
${\displaystyle {\begin{pmatrix}\rho _{\mathrm {e} }\\\rho _{\mathrm {m} }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \xi &-\sin \xi \\\sin \xi &\cos \xi \\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\rho _{\mathrm {e} }'\\\rho _{\mathrm {m} }'\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathbf {E} \\\mathbf {H} \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \xi &-\sin \xi \\\sin \xi &\cos \xi \\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathbf {E'} \\\mathbf {H'} \end{pmatrix}}}$
${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathbf {J} _{\mathrm {e} }\\\mathbf {J} _{\mathrm {m} }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \xi &-\sin \xi \\\sin \xi &\cos \xi \\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathbf {J} _{\mathrm {e} }'\\\mathbf {J} _{\mathrm {m} }'\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathbf {D} \\\mathbf {B} \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \xi &-\sin \xi \\\sin \xi &\cos \xi \\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathbf {D'} \\\mathbf {B'} \end{pmatrix}}}$

这里带撇的量是变换前的荷、流、场，而不带撇的是变换后的荷、流、场。这些荷、流、场在变换后仍遵守同样的麦克斯韦方程组。这个矩阵是一个二维旋转矩阵。

对偶变换的存在使得观测者无法仅凭观测一个粒子的行为并将其与麦克斯韦方程对照就能判断这个粒子到底是具有电荷、磁荷还是两者皆有。例如事实上，电子具有1个单位电荷而不是磁荷仅仅是人们使用麦克斯韦方程的一个习惯，而不是其所要求的；如果我们对其进行ξ = ^π/₂对偶变换，事情就会颠倒过来。我们唯一的实验事实是，我们所观测到的所有粒子都具有相同比例的电荷和磁荷。对偶变换可以改变这个比例的数值，但它无法改变所有物质的电磁荷比是相同的这一事实。应此在这种情况下，我们可以将这个比例定为1:0，即任何粒子都不具有磁荷。这一选择就引出了我们“习惯的”关于电和磁的定义。