四维速度

在经典力学中一个物体在三维空间中的运动路径由其在三维空间中的坐标函数${\displaystyle x^{i}(t),\;i\in \{1,2,3\}}$决定，这些坐标函数都是绝对时间${\displaystyle t\,}$的函数：

${\displaystyle \mathbf {x} =x^{i}(t)={\begin{bmatrix}x^{1}(t)\\x^{2}(t)\\x^{3}(t)\\\end{bmatrix}}}$

其中${\displaystyle x^{i}(t)}$表示的是在${\displaystyle t\,}$时刻的三个空间位置。

在任意一点${\displaystyle p\,}$，经典速度${\displaystyle {\mathbf {u} }}$（沿此点的切线方向）的定義为

${\displaystyle {\mathbf {u} }\equiv {\mathrm {d} \mathbf {x} \over \mathrm {d} t}}$

因此其分量為

${\displaystyle {\mathbf {u} }=(u^{1},u^{2},u^{3})={\mathrm {d} x^{i} \over \mathrm {d} t}=\left({\frac {\mathrm {d} x^{1}}{\mathrm {d} t}}\;,{\frac {\mathrm {d} x^{2}}{\mathrm {d} t}}\;,{\frac {\mathrm {d} x^{3}}{\mathrm {d} t}}\right)}$

这里的导数都是在${\displaystyle p\,}$点处定义的，因而它们实际是两个毗邻位置间的距离${\displaystyle \mathrm {d} x^{a}}$对对应时间间隔${\displaystyle \mathrm {d} t}$的比值。

在爱因斯坦的相对论中，一个物体对某个特定参考系的运动轨迹是由四维坐标函数${\displaystyle x^{\mu }(\tau ),\;\mu \in \{0,1,2,3\}}$（其中${\displaystyle x^{0}}$表示时间坐标乘以光速c）决定的，每个函数都依赖于固有时${\displaystyle \tau }$。

${\displaystyle \mathbf {X} =x^{\mu }(\tau )={\begin{bmatrix}x^{0}(\tau )\\x^{1}(\tau )\\x^{2}(\tau )\\x^{3}(\tau )\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}ct\\x^{1}(t)\\x^{2}(t)\\x^{3}(t)\\\end{bmatrix}}}$

从时间膨胀中我们得知

${\displaystyle t=\gamma \tau \,}$

其中${\displaystyle \gamma }$是洛伦兹因子，定义为

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}}$

而${\displaystyle u\,}$是经典速度矢量的欧几里德模：

${\displaystyle u=||\mathbf {u} ||={\sqrt {(u^{1})^{2}+(u^{2})^{2}+(u^{3})^{2}}}}$.

一个四维速度是对应世界线的四维切向矢量，四维速度的世界线${\displaystyle \mathbf {X} (\tau )}$定义为

${\displaystyle \mathbf {U} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {X} }{\mathrm {d} \tau }}}$

其中${\displaystyle \tau \,}$是原時。

由於光速在任意慣性系下保持不變，無法找到光子靜止的慣性系，因此，對於光子而言，${\displaystyle \mathrm {d} \tau =0}$，四維速度不具良好定義。^:49

时间${\displaystyle t\,}$和坐标${\displaystyle x^{0}}$间的关系为

${\displaystyle x^{0}=ct=c\gamma \tau \,}$

${\displaystyle x^{0}}$对固有时${\displaystyle \tau \,}$求导数，可得四维速度${\displaystyle U^{\mu }\,}$在${\displaystyle \mu =0\,}$的分量：

${\displaystyle U^{0}={\frac {\mathrm {d} x^{0}}{\mathrm {d} \tau \;}}=c\gamma }$

至於空間分量方面，即${\displaystyle \mu =i=}$1, 2, 3，根据链式法则求導數，可得固有速度w = Uⁱ：

${\displaystyle U^{i}={\frac {\mathrm {d} x^{i}}{\mathrm {d} \tau }}={\frac {\mathrm {d} x^{i}}{\mathrm {d} x^{0}}}{\frac {\mathrm {d} x^{0}}{\mathrm {d} \tau }}={\frac {\mathrm {d} x^{i}}{\mathrm {d} x^{0}}}c\gamma ={\frac {\mathrm {d} x^{i}}{\mathrm {d} (ct)}}c\gamma ={1 \over c}{\frac {\mathrm {d} x^{i}}{\mathrm {d} t}}c\gamma =\gamma {\frac {\mathrm {d} x^{i}}{\mathrm {d} t}}=\gamma u^{i}}$

這裡我們使用到古典力學中的速度定義：

${\displaystyle \mathbf {u} =u^{i}={dx^{i} \over dt}}$

因此四维速度${\displaystyle U}$與光速c及古典速度u的關係為

${\displaystyle U=\gamma \left(c,\mathbf {u} \right)}$

四维加速度定义为四维速度對原時的微分：

${\displaystyle A^{\mu }={\frac {dU^{\mu }}{d\tau }}}$

因为${\displaystyle U^{\mu }U_{\mu }=-c^{2}\,}$为常數，所以它微分为0：

${\displaystyle 0={\frac {d}{d\tau }}(U^{\mu }U_{\mu })=2U_{\mu }{\frac {dU^{\mu }}{d\tau }}}$

因此得到以下四维速度和加速度的关系：

${\displaystyle U_{\mu }A^{\mu }=0\,}$

在一个静止参考系中，${\displaystyle \gamma =1}$并且${\displaystyle \mathbf {u} =0}$，因而四维速度为${\displaystyle U=(c,0,0,0)\,}$，这正是在四维时空中的时间方向上运动的含义。

注意到虽然仅仅在狭义相对论的框架下，四维速度的模总等于光速；但不论是狭义相对论还是广义相对论，它总具有下面的性质：

${\displaystyle U_{\mu }U^{\mu }=-c^{2}\,}$

这是一个类时或零性的粒子轨迹必须满足的属性。

• 四维矢量
• 四维加速度
• 固有速度
• 四维动量
• 狭义相对论

1. Bernard Schutz. . Cambridge University Press. 14 May 2009. ISBN 978-0-521-88705-2.