海森堡绘景

為了便利分析，位於下標的符號${\displaystyle {}_{\mathcal {H}}}$、${\displaystyle {}_{\mathcal {S}}}$分別標記海森堡繪景、薛丁格繪景。

在量子力學的海森堡繪景裏，態向量${\displaystyle |\psi \rangle _{\mathcal {H}}}$不含時，而可觀察量的算符${\displaystyle A_{\mathcal {H}}}$則含時，並且滿足「海森堡運動方程式」：^:80-84

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {t}}}A_{\mathcal {H}}={1 \over i\hbar }}$；

其中，${\displaystyle \hbar }$是約化普朗克常數，${\displaystyle H}$是哈密頓量，${\displaystyle }$是${\displaystyle A_{\mathcal {H}}}$與${\displaystyle H}$的對易算符。

從某種角度來看，海森堡繪景比薛丁格繪景顯得更為自然，更具有基礎性，因為，經典力學分析物體運動所使用的物理量是可觀察量，例如，位置、動量等等，而海森堡繪景專注的就是這些可觀察量隨著時間流易的演化。進一步來看，海森堡繪景表述的量子力學與經典力學的相似可以很容易的觀察到：只要將對易算符改為帕松括號，海森堡方程式立刻就變成了哈密頓力學裏的運動方程式，其形式表示為^:396-397

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {t}}}A=_{Poisson}}$；

其中，${\displaystyle _{Poisson}}$是帕松括號。

通過狄拉克量子化條件，可以從哈密頓力學的運動方程式得到海森堡運動方程式：

${\displaystyle _{Poisson}\ \to \ {\frac {}{i\hbar }}}$。

史東-馮諾伊曼理論證明海森堡繪景與薛丁格繪景是等價的。

在薛丁格繪景裏，負責時間演化的算符是一種么正算符，稱為時間演化算符。假設時間從${\displaystyle 0}$流易到${\displaystyle t}$，而經過這段時間間隔，態向量${\displaystyle |\psi (0)\rangle _{\mathcal {S}}}$演化為${\displaystyle |\psi (t)\rangle _{\mathcal {S}}}$，這時間演化過程以方程式表示為

${\displaystyle |\psi (t)\rangle _{\mathcal {S}}=U(t,0)|\psi (0)\rangle _{\mathcal {S}}}$；

其中，${\displaystyle U(t,0)}$是時間從${\displaystyle 0}$流易到${\displaystyle t}$的時間演化算符。

時間演化算符是么正算符：

${\displaystyle U(t,0)U^{\dagger }(t,0)=1=U^{\dagger }(t,0)U(t,0)}$。

假設系統的哈密頓量${\displaystyle H}$不含時，則時間演化算符為^:69-71

${\displaystyle U(t,0)=e^{-iHt/\hbar }}$，

而且，時間演化算符與哈密頓量相互對易：

${\displaystyle HU(t,0)=U(t,0)H}$。

注意到指數函數${\displaystyle e^{-iHt/\hbar }}$必須通過其泰勒級數計算。

在海森堡繪景裏，態向量${\displaystyle |\psi (t)\rangle _{\mathcal {H}}}$、算符${\displaystyle A_{\mathcal {H}}(t)}$分別定義為

${\displaystyle |\psi (t)\rangle _{\mathcal {H}}{\stackrel {def}{=}}|\psi (0)\rangle _{\mathcal {H}}=|\psi (0)\rangle _{\mathcal {S}}}$、

${\displaystyle A_{\mathcal {H}}(t){\stackrel {def}{=}}U^{\dagger }(t,0)A_{\mathcal {S}}U(t,0)}$。

由於${\displaystyle U(t,0)}$、${\displaystyle U^{\dagger }(t,0)}$對於時間的偏導數分別為

${\displaystyle {\frac {\partial U(t,0)}{\partial t}}={1 \over i\hbar }HU(t,0)}$、

${\displaystyle {\frac {\partial U^{\dagger }(t,0)}{\partial t}}=-{1 \over i\hbar }U^{\dagger }(t,0)H}$。

所以，算符${\displaystyle A_{\mathcal {H}}(t)}$對於時間的導數是

${\displaystyle {\begin{aligned}{d \over dt}A_{\mathcal {H}}(t)&={\frac {\partial U^{\dagger }(t,0)}{\partial t}}A_{\mathcal {S}}U(t,0)+U^{\dagger }(t,0)A_{\mathcal {S}}{\frac {\partial U(t,0)}{\partial t}}\\&=-{1 \over i\hbar }U^{\dagger }HA_{\mathcal {S}}U+{1 \over i\hbar }U^{\dagger }A_{\mathcal {S}}HU\\&=-{1 \over i\hbar }U^{\dagger }HUU^{\dagger }A_{\mathcal {S}}U+{1 \over i\hbar }U^{\dagger }A_{\mathcal {S}}UU^{\dagger }HU\\&={1 \over i\hbar }\\\end{aligned}}}$。

由於不含時哈密頓量在海森堡繪景的形式與在薛丁格繪景相同，可以忽略下標：

${\displaystyle H_{\mathcal {H}}=U^{\dagger }H_{\mathcal {S}}U=H_{\mathcal {S}}=H}$。

將算符的定義式納入考量，就可以得到海森堡運動方程式：

${\displaystyle {d \over dt}A_{\mathcal {H}}(t)={1 \over i\hbar }}$。

在薛丁格繪景裏，可觀察量${\displaystyle A}$的期望值為^:81

${\displaystyle \langle A\rangle _{\mathcal {S}}={}_{\mathcal {S}}\langle \psi (t)|A_{\mathcal {S}}|\psi (t)\rangle _{\mathcal {S}}={}_{\mathcal {S}}\langle \psi (0)|U^{\dagger }(t,0)A_{\mathcal {S}}U(t,0)|\psi (0)\rangle _{\mathcal {S}}}$。

在海森堡繪景裏，可觀察量${\displaystyle A}$的期望值為

${\displaystyle \langle A\rangle _{\mathcal {H}}={}_{\mathcal {H}}\langle \psi (t)|A_{\mathcal {H}}(t)|\psi (t)\rangle _{\mathcal {H}}={}_{\mathcal {H}}\langle \psi (0)|A_{\mathcal {H}}(t)|\psi (0)\rangle _{\mathcal {H}}}$。

注意到態向量${\displaystyle |\psi (t)\rangle _{\mathcal {H}}}$、算符${\displaystyle A_{\mathcal {H}}(t)}$的定義式：

${\displaystyle |\psi (t)\rangle _{\mathcal {H}}{\stackrel {def}{=}}|\psi (0)\rangle _{\mathcal {H}}=|\psi (0)\rangle _{\mathcal {S}}}$、

${\displaystyle A_{\mathcal {H}}(t){\stackrel {def}{=}}U^{\dagger }(t,0)A_{\mathcal {S}}U(t,0)}$。

所以，這兩種期望值的表述方式等價。

算符${\displaystyle A_{\mathcal {H}}(t)}$的定義式涉及到指數函數${\displaystyle e^{-iHt/\hbar }}$，必須通過其泰勒級數計算，這是個很繁雜的過程，可以利用貝克-豪斯多夫引理來計算^:95

${\displaystyle {e^{B}Ae^{-B}}=A++{\frac {1}{2!}}]+{\frac {1}{3!}}]]+\cdots }$。

對於算符${\displaystyle A_{\mathcal {H}}(t)}$，可以得到

${\displaystyle A_{\mathcal {H}}(t)=A_{\mathcal {H}}(0)+{\frac {it}{\hbar }}-{\frac {t^{2}}{2!\hbar ^{2}}}]-{\frac {it^{3}}{3!\hbar ^{3}}}]]+\cdots }$。

由於帕松括號與對易算符的關係，在哈密頓力學裏，這方程式也成立。

本節運算只涉及海森堡繪景，為了簡便起見，忽略下標${\displaystyle {\mathcal {H}}}$。設想自由粒子系統，其哈密頓量為^:85-86

${\displaystyle H={\frac {p^{2}}{2m}}}$。

動量${\displaystyle p}$的海森堡運動方程式為

${\displaystyle {d \over dt}p(t)={1 \over i\hbar }=0}$。

這是因為${\displaystyle p}$與${\displaystyle H}$對易。所以，動量${\displaystyle p}$是個常數：

${\displaystyle p(t)=p(0)}$。

位置${\displaystyle x}$的海森堡運動方程式為

${\displaystyle {d \over dt}x(t)={1 \over i\hbar }={\frac {p}{m}}}$。

所以，位置與時間的關係式為

${\displaystyle x(t)=x(0)+{\frac {p(0)}{m}}t}$。

換另一種方法，算符隨著時間流易而演化的方程式為

${\displaystyle x(t)=e^{iHt/\hbar }x(0)e^{-iHt/\hbar }}$。

利用貝克-豪斯多夫引理，

${\displaystyle x(t)=x(0)+{\frac {it}{\hbar }}-{\frac {t^{2}}{2!\hbar ^{2}}}]-{\frac {it^{3}}{3!\hbar ^{3}}}]]+\cdots }$。

注意到以下兩個對易關係式：

${\displaystyle ={\frac {-i\hbar p(0)}{m}}}$、

${\displaystyle =0}$。

將這兩個對易關係式代入，可以得到同樣的位置與時間的關係式：

${\displaystyle x(t)=x(0)+{\frac {p(0)}{m}}t}$。

注意到位置在不同時間的對易子不等於零：

${\displaystyle =\left={\frac {-i\hbar t}{m}}}$。

本節運算只涉及海森堡繪景，為了簡便起見，忽略下標${\displaystyle {\mathcal {H}}}$。設想諧振子系統，其哈密頓量為^{:89, 94-97}

${\displaystyle H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}x^{2}}{2}}}$；

其中，${\displaystyle \omega }$為諧振子頻率。

動量算符${\displaystyle p}$、位置算符${\displaystyle x}$的海森堡運動方程式分別為

${\displaystyle {d \over dt}p(t)={1 \over i\hbar }=-m\omega ^{2}x(t)}$、

${\displaystyle {d \over dt}x(t)={1 \over i\hbar }={\frac {p(t)}{m}}}$。

再求這兩個方程式對於時間的導數，

${\displaystyle {d^{2} \over dt^{2}}p(t)={-m\omega ^{2} \over i\hbar }=-\omega ^{2}p(t)}$、

${\displaystyle {d^{2} \over dt^{2}}x(t)={1 \over im\hbar }=-\omega ^{2}x(t)}$。

設定動量算符、位置算符的初始條件分別為

${\displaystyle p(0)=p_{0}}$、

${\displaystyle x(0)=x_{0}}$。

則在初始時間，

${\displaystyle {\dot {p}}(0)=-m\omega ^{2}x_{0}}$、

${\displaystyle {\dot {x}}(0)={\frac {p_{0}}{m}}}$。

所以，二次微分方程式的解答分別是

${\displaystyle p(t)=p_{0}\cos(\omega t)-m\omega \!x_{0}\sin(\omega t)}$、

${\displaystyle x(t)=x_{0}\cos(\omega t)+{\frac {p_{0}}{m\omega }}\sin(\omega t)}$。

稍加運算，可以得到海森堡繪景裏的對易關係：

${\displaystyle =i\hbar m\omega \sin(\omega t_{2}-\omega t_{1})}$、

${\displaystyle ={\frac {i\hbar }{m\omega }}\sin(\omega t_{2}-\omega t_{1})}$、

${\displaystyle =i\hbar \cos(\omega t_{2}-\omega t_{1})}$。

假若${\displaystyle t_{1}=t_{2}}$，則立刻會得到熟悉的正則對易關係。

換另一種方法，算符隨著時間流易而演化的方程式為

${\displaystyle x(t)=e^{iHt/\hbar }x(0)e^{-iHt/\hbar }}$。

利用貝克-豪斯多夫引理，

${\displaystyle x(t)=x(0)+{\frac {it}{\hbar }}-{\frac {t^{2}}{2!\hbar ^{2}}}]-{\frac {it^{3}}{3!\hbar ^{3}}}]]+\cdots }$。

注意到以下兩個對易關係式：

${\displaystyle ={\frac {-i\hbar p(0)}{m}}}$、

${\displaystyle =i\hbar m\omega ^{2}x(0)}$。

將這兩個對易關係式代入，可以得到同樣的位置與時間的關係式：

${\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&=x(0)+{\frac {p(0)}{m\omega }}\omega t-x(0){\frac {\omega ^{2}t^{2}}{2!}}-{\frac {p(0)}{m\omega }}{\frac {\omega ^{3}t^{3}}{3!}}+\cdots \\&=x(0)\cos(\omega t)+{\frac {p(0)}{m\omega }}\sin(\omega t)\\\end{aligned}}}$。

類似地,也可以得到同樣的動量與時間的關係式。

各種繪景隨著時間流易會呈現出不同的演化：^{:86-89, 337-339}

演化	海森堡繪景	交互作用繪景	薛丁格繪景
右矢	常定	${\displaystyle |\psi (t)\rangle _{\mathcal {I}}=e^{iH_{0}t/\hbar }|\psi (t)\rangle _{\mathcal {S}}}$	${\displaystyle |\psi (t)\rangle _{\mathcal {S}}=e^{-iHt/\hbar }|\psi (0)\rangle _{\mathcal {S}}}$
可觀察量	${\displaystyle A_{\mathcal {H}}(t)=e^{iHt/\hbar }A_{\mathcal {S}}e^{-iHt/\hbar }}$	${\displaystyle A_{\mathcal {I}}(t)=e^{iH_{0}t/\hbar }A_{\mathcal {S}}e^{-iH_{0}t/\hbar }}$	常定
密度算符	常定	${\displaystyle \rho _{\mathcal {I}}(t)=e^{iH_{0}t/\hbar }\rho _{S}(t)e^{-iH_{0}/\hbar }}$	${\displaystyle \rho _{\mathcal {S}}(t)=e^{-iHt/\hbar }\rho _{\mathcal {S}}(0)e^{iHt/\hbar }}$

• Cohen-Tannoudji, Claude; Bernard Diu, Frank Laloe. . Paris: Wiley. 1977: 312–314. ISBN 047116433X. 引文使用过时参数coauthors (帮助)

• 狄拉克標記