有限深方形阱

一維有限深方形阱的阱寬為${\displaystyle L\,\!}$，左邊阱壁與右邊阱壁的位置分別為${\displaystyle x=-L/2\,\!}$與${\displaystyle x=L/2\,\!}$。阱內位勢為0。在阱壁，位勢突然升高為${\displaystyle V_{0}\,\!}$。阱外位勢保持為${\displaystyle V_{0}\,\!}$。這一維阱將整個一維空間分為三個區域：阱左邊，阱內，與阱右邊。在每一個區域內，對應著不同的位勢，描述粒子的量子行為的波函數${\displaystyle \psi \,\!}$也不同，標記為：^:78-82

${\displaystyle \psi =\psi _{1}\,\!}$：阱左邊，${\displaystyle x<-L/2\,\!}$（阱外區域），

${\displaystyle \psi =\psi _{2}\,\!}$：阱內，${\displaystyle -L/2<x<L/2\,\!}$（阱內區域），

${\displaystyle \psi =\psi _{3}\,\!}$：阱右邊，${\displaystyle x>L/2\,\!}$（阱外區域）。

這些波函數，都必須滿足，一維不含時間的薛丁格方程式：

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)\psi =E\psi \,\!}$；(1)

其中，${\displaystyle \hbar \,\!}$是約化普朗克常數，${\displaystyle m\,\!}$是粒子質量，${\displaystyle x\,\!}$是粒子位置，${\displaystyle V(x)\,\!}$是位勢，${\displaystyle E\,\!}$是能量。

在阱內，位勢${\displaystyle V(x)=0\,\!}$，方程簡化為：

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi _{2}}{dx^{2}}}=E\psi _{2}\,\!}$。(2)

設定波數${\displaystyle k\,\!}$為

${\displaystyle k={\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }}\,\!}$。(3)

代入方程(2)：

${\displaystyle {\frac {d^{2}\psi _{2}}{dx^{2}}}=-k^{2}\psi _{2}\,\!}$。

這是一個經過頗多研究的二階常微分方程。一般解本徵函數${\displaystyle \psi _{2}(x)\,\!}$是正弦函數與餘弦函數的線性組合：

${\displaystyle \psi _{2}=A\sin(kx)+B\cos(kx)\quad \,\!}$；

其中，${\displaystyle A\,\!}$與${\displaystyle B\,\!}$都是複值常數，由邊界條件而決定。

在阱外，位勢${\displaystyle V(x)=V_{0}>0\,\!}$，薛丁格方程為：

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi _{1}}{dx^{2}}}=(E-V_{0})\psi _{1}\,\!}$。

視能量是否大於位勢而定，有兩種不同的解答。一種是自由粒子解答，另一種是束縛粒子解答。

假若，粒子的能量小於位勢：${\displaystyle E<V_{0}\,\!}$，則這粒子束縛於位勢阱內．稱這粒子的量子態為束縛態（）。設定

${\displaystyle \alpha ={\frac {\sqrt {2m(V_{0}-E)}}{\hbar }}\,\!}$。(4)

代入方程(1)：

${\displaystyle {\frac {d^{2}\psi _{1}}{dx^{2}}}=\alpha ^{2}\psi _{1}\,\!}$。

一般解是指數函數。所以，阱左邊區域與阱右邊區域的波函數分別是

${\displaystyle \psi _{1}=Fe^{-\alpha x}+Ge^{\alpha x}\,\!}$，

${\displaystyle \psi _{3}=He^{-\alpha x}+Ie^{\alpha x}\,\!}$；

其中，${\displaystyle F\,\!}$，${\displaystyle G\,\!}$，${\displaystyle H\,\!}$，${\displaystyle I\,\!}$都是常數。

從正確的邊界條件，可以找到常數${\displaystyle A\,\!}$，${\displaystyle B\,\!}$，${\displaystyle F\,\!}$，${\displaystyle G\,\!}$，${\displaystyle H\,\!}$，${\displaystyle I\,\!}$的值。

薛丁格方程的解答必須具有連續性與連續可微性。這些要求是前面導引出的微分方程的邊界條件。

總結前面導引出的結果，波函數${\displaystyle \psi \,\!}$的形式為：

${\displaystyle \psi _{1}=Fe^{-\alpha x}+Ge^{\alpha x}\,\!}$：阱左邊，${\displaystyle x<-L/2\,\!}$（阱外區域），

${\displaystyle \psi _{2}=A\sin(kx)+B\cos(kx)\,\!}$：阱內，${\displaystyle -L/2<x<L/2\,\!}$（阱內區域），

${\displaystyle \psi _{3}=He^{-\alpha x}+Ie^{\alpha x}\,\!}$：阱右邊，${\displaystyle x>L/2\,\!}$（阱外區域）。

當${\displaystyle x\,\!}$趨向負無窮，包含${\displaystyle F\,\!}$的項目趨向無窮。類似地，當${\displaystyle x\,\!}$趨向無窮，包含${\displaystyle I\,\!}$的項目趨向無窮。可是，波函數在任何${\displaystyle x\,\!}$都必須是有限值。因此，必須設定${\displaystyle F=I=0\,\!}$。阱外區域的波函數變為

${\displaystyle \psi _{1}(x)=Ge^{\alpha x}\,\!}$，

${\displaystyle \psi _{3}(x)=He^{-\alpha x}\,\!}$。

在阱左邊，隨著${\displaystyle x\,\!}$越小，波函數${\displaystyle \psi _{1}(x)\,\!}$呈指數遞減。而在阱右邊，隨著${\displaystyle x\,\!}$越大，波函數${\displaystyle \psi _{3}(x)\,\!}$呈指數遞減。這是合理的。這樣，波函數才能夠歸一化。

由於有限深方形阱對稱於${\displaystyle x=0\,\!}$，可以利用這對稱性來省略計算步驟。波函數不是奇函數就是偶函數。

假若，波函數${\displaystyle \psi \,\!}$是奇函數，則

${\displaystyle \psi _{2}=A\sin(kx)\,\!}$，

${\displaystyle G=-H\,\!}$，

${\displaystyle \psi _{1}(-x)=-\psi _{3}(x),\qquad \qquad x\geq 0\,\!}$，

由於整個波函數${\displaystyle \psi \,\!}$必須滿足連續性與連續可微性。在阱壁，兩個波函數的函數值與導數值都必須相配：

${\displaystyle \psi _{1}(-L/2)=\psi _{2}(-L/2)\,\!}$

${\displaystyle \left.{\frac {d\psi _{1}}{dx}}\right|_{x=-L/2}=\left.{\frac {d\psi _{2}}{dx}}\right|_{x=-L/2}\,\!}$

將波函數的公式代入：

${\displaystyle Ge^{-\alpha L/2}=-A\sin(kL/2)\,\!}$，(5)

${\displaystyle \alpha Ge^{-\alpha L/2}=kA\cos(kL/2)\,\!}$。(6)

方程(6)除以方程(5)，可以得到：

${\displaystyle \alpha =-k\cot(kL/2)\,\!}$。

從方程(3)與(4)，可以求得常數${\displaystyle \alpha \,\!}$與波數${\displaystyle k\,\!}$的關係：

${\displaystyle \alpha ^{2}={\frac {2mV_{0}}{\hbar ^{2}}}-k^{2}\,\!}$。

所以，波數是離散的，必須遵守以下方程：

${\displaystyle k^{2}={\frac {2mV_{0}}{\hbar ^{2}}}\sin ^{2}(kL/2)\,\!}$。

這也造成了離散的能量。

假若，波函數${\displaystyle \psi \,\!}$是偶函數，則

${\displaystyle \psi _{2}=A\cos(kx)\,\!}$，

${\displaystyle G=H\,\!}$，

${\displaystyle \psi _{1}(-x)=\psi _{3}(x),\qquad \qquad x\geq 0\,\!}$，

由於整個波函數${\displaystyle \psi \,\!}$必須滿足連續性與連續可微性。在阱壁，兩個波函數的函數值與導數值都必須相配：

${\displaystyle \psi _{1}(-L/2)=\psi _{2}(-L/2)\,\!}$

${\displaystyle \left.{\frac {d\psi _{1}}{dx}}\right|_{x=-L/2}=\left.{\frac {d\psi _{2}}{dx}}\right|_{x=-L/2}\,\!}$

將波函數的公式代入：

${\displaystyle Ge^{-\alpha L/2}=A\cos(kL/2)\,\!}$，(7)

${\displaystyle \alpha Ge^{-\alpha L/2}=kA\sin(kL/2)\,\!}$。(8)

方程(8)除以方程(7)，可以得到：

${\displaystyle \alpha =k\tan(kL/2)\,\!}$。

從方程(3)與(4)，可以求得常數${\displaystyle \alpha \,\!}$與波數${\displaystyle k\,\!}$的關係：

${\displaystyle \alpha ^{2}={\frac {2mV_{0}}{\hbar ^{2}}}-k^{2}\,\!}$。

所以，波數是離散的，必須遵守以下方程：

${\displaystyle k^{2}={\frac {2mV_{0}}{\hbar ^{2}}}\cos ^{2}(kL/2)\,\!}$。

這也造成了離散的能量。

假若，一個粒子的能量大於位勢，${\displaystyle E>V_{0}\,\!}$，則這粒子不會被束縛於位勢阱內。因此，在這裏，粒子的量子行為主要是由位勢阱造成的散射（）行為。稱這粒子的量子態為散射態。稱這不被束縛的粒子為自由粒子。更強版的定義還要求位勢為常數。假若，一維空間分為幾個區域，只有在每個區域內，位勢為常數；而在區域與區域之間，位勢不相等，則稱此粒子為半自由粒子。自由粒子和半自由粒子的能量大於位勢，${\displaystyle E>V_{0}\,\!}$，不會被束縛於位勢阱內，能量不是離散能量譜的特殊值，而是大於或等於${\displaystyle V_{0}\,\!}$的任意值。波數${\displaystyle \kappa \,\!}$，用方程式表達為${\displaystyle \kappa ={\frac {\sqrt {2m(E-V_{0})}}{\hbar }}\,\!}$，也不是離散量。代入方程(1)：

${\displaystyle {\frac {d^{2}\psi _{1}}{dx^{2}}}=-\kappa ^{2}\psi _{1}\,\!}$，

${\displaystyle {\frac {d^{2}\psi _{3}}{dx^{2}}}=-\kappa ^{2}\psi _{3}\,\!}$。

解答形式與阱內區域的解答形式相同：

${\displaystyle \psi _{1}=C_{1}\sin(\kappa x)+D_{1}\cos(\kappa x)\,\!}$，

${\displaystyle \psi _{3}=C_{3}\sin(\kappa x)+D_{3}\cos(\kappa x)\,\!}$。

其中，${\displaystyle C_{1}\,\!}$、${\displaystyle D_{1}\,\!}$、${\displaystyle C_{3}\,\!}$、${\displaystyle D_{3}\,\!}$，都是常數。

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