埃伦费斯特定理
導引
假設,一個物理系統的量子態為 ,則算符 的期望值對於時間的導數為
薛丁格方程表明哈密頓算符 與時間 的關係為
- 。
其共軛複數為
- 。
因為哈密頓算符是厄米算符, 。所以,
- 。
將這三個方程式代入 的方程式,則可得到
- 。
所以,埃倫費斯特定理成立:
- 。
實例
使用埃倫費斯特定理,可以簡易地證明,假若一個物理系統的哈密頓量顯性地不含時間,則這系統是保守系統。
從埃倫費斯特定理,可以計算任何算符的期望值對於時間的導數。特別而言,速度的期望值和加速度的期望值。知道這些資料,就可以分析量子系統的運動行為。
保守的哈密頓量
思考哈密頓算符 :
- 。
假若,哈密頓量顯性地不含時間, ,則
- ,
哈密頓量是個常數 。
位置的期望值對於時間的導數
試想一個質量為 的粒子,移動於一維空間.其哈密頓量是
- ;
其中, 為位置, 是動量, 是位勢。
應用埃倫費斯特定理,
- 。
由於 ,位置的期望值對於時間的導數等於速度的期望值:
- 。
這樣,可以得到動量 的期望值。
動量的期望值對於時間的導數
應用埃倫費斯特定理,
- 。
由於 與自己互相交換,所以, 。又在坐標空間裏,動量算符 不含時間: 。所以,
- 。
將泊松括號展開,
- 。
使用乘法定則,
- 。
在量子力學裏,動量的期望值對於時間的導數,等於作用力 的期望值。
保守的哈密頓量
思考哈密頓算符 :
- 。
假若,哈密頓量顯性地不含時間, ,則
- ,
哈密頓量是個常數 。
位置的期望值對於時間的導數
試想一個質量為 的粒子,移動於一維空間.其哈密頓量是
- ;
其中, 為位置, 是動量, 是位勢。
應用埃倫費斯特定理,
- 。
由於 ,位置的期望值對於時間的導數等於速度的期望值:
- 。
這樣,可以得到動量 的期望值。
動量的期望值對於時間的導數
應用埃倫費斯特定理,
- 。
由於 與自己互相交換,所以, 。又在坐標空間裏,動量算符 不含時間: 。所以,
- 。
將泊松括號展開,
- 。
使用乘法定則,
- 。
在量子力學裏,動量的期望值對於時間的導數,等於作用力 的期望值。
經典極限
取經典極限, ,則可得到一組完全的量子運動方程式:
- ,
- 。
這組量子運動方程式,精確地對應於經典力學的運動方程式:
- ,
- 。
取「經典極限」,量子力學的定律約化為經典力學的定律。這結果也時常被稱為埃倫費斯特定理。這經典極限是什麼呢?標記 為 。設定 。泰勒展開 於 :
- 。
由於 , ,
- 。
這近似方程式右手邊的第二項目就是誤差項目。只要這誤差項目是可忽略的,就可以取經典極限。而這誤差項目的大小跟以下兩個因素有關:
- 一個是量子態對於位置的不可確定性。
- 另一個則是位勢隨著位置而變化的快緩。
參閱
參考文獻
- Smith, Henrik. . World Scientific Pub Co Inc. 1991: pp. 108–109. ISBN 978-9810204754.
- Tannor, David J. . University Science Books. 2006: pp. 35–38. ISBN 978-1891389238.