埃伦费斯特定理

假設，一個物理系統的量子態為 ${\displaystyle \Phi (x,\ t)}$ ，則算符 ${\displaystyle A}$ 的期望值對於時間的導數為

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\langle A\rangle &={\frac {d}{dt}}\int \Phi ^{*}A\Phi ~dx\\&=\int \left({\frac {\partial \Phi ^{*}}{\partial t}}\right)A\Phi ~dx+\int \Phi ^{*}\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)\Phi ~dx+\int \Phi ^{*}A\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}}\right)~dx\\&=\int \left({\frac {\partial \Phi ^{*}}{\partial t}}\right)A\Phi ~dx+\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle +\int \Phi ^{*}A\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}}\right)~dx\\\end{aligned}}}$

薛丁格方程表明哈密頓算符 ${\displaystyle H}$ 與時間 ${\displaystyle t}$ 的關係為

${\displaystyle H\Phi =i\hbar {\frac {\partial \Phi }{\partial t}}}$ 。

其共軛複數為

${\displaystyle (H\Phi )^{*}=-i\hbar {\frac {\partial \Phi ^{*}}{\partial t}}}$ 。

因為哈密頓算符是厄米算符，${\displaystyle H^{*}=H}$ 。所以，

${\displaystyle (H\Phi )^{*}=\Phi ^{*}H^{*}=\Phi ^{*}H}$ 。

將這三個方程式代入 ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle A\rangle }$ 的方程式，則可得到

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle A\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\int \Phi ^{*}(AH-HA)\Phi ~dx+\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle }$ 。

所以，埃倫費斯特定理成立：

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle A\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle \rangle +\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle }$ 。

使用埃倫費斯特定理，可以簡易地證明，假若一個物理系統的哈密頓量顯性地不含時間，則這系統是保守系統。

從埃倫費斯特定理，可以計算任何算符的期望值對於時間的導數。特別而言，速度的期望值和加速度的期望值。知道這些資料，就可以分析量子系統的運動行為。

思考哈密頓算符 ${\displaystyle H}$ ：

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle H\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle \rangle +\left\langle {\frac {\partial H}{\partial t}}\right\rangle =\left\langle {\frac {\partial H}{\partial t}}\right\rangle }$ 。

假若，哈密頓量顯性地不含時間，${\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial t}}=0}$ ，則

${\displaystyle \langle H\rangle =H_{0}}$ ，

哈密頓量是個常數${\displaystyle H_{0}}$ 。

試想一個質量為 ${\displaystyle m}$ 的粒子，移動於一維空間．其哈密頓量是

${\displaystyle H(x,\ p,\ t)={\frac {p^{2}}{2m}}+V(x,\ t)}$ ;

其中，${\displaystyle x}$ 為位置，${\displaystyle p}$ 是動量，${\displaystyle V}$ 是位勢。

應用埃倫費斯特定理，

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle x\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle \rangle +\left\langle {\frac {\partial x}{\partial t}}\right\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle \rangle ={\frac {1}{i2m\hbar }}\langle \rangle ={\frac {1}{i2m\hbar }}\langle xpp-ppx\rangle }$。

由於 ${\displaystyle xpp-ppx=i2\hbar p}$ ，位置的期望值對於時間的導數等於速度的期望值：

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle x\rangle ={\frac {1}{m}}\langle p\rangle =\langle v\rangle }$。

這樣，可以得到動量 ${\displaystyle p}$ 的期望值。

應用埃倫費斯特定理，

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle \rangle +\left\langle {\frac {\partial p}{\partial t}}\right\rangle }$ 。

由於 ${\displaystyle p}$ 與自己互相交換，所以，${\displaystyle =0}$ 。又在坐標空間裏，動量算符 ${\displaystyle p={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}}$ 不含時間：${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial t}}=0}$ 。所以，

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle \rangle }$ 。

將泊松括號展開，

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =\int \Phi ^{*}V{\frac {\partial }{\partial x}}\Phi ~dx-\int \Phi ^{*}{\frac {\partial }{\partial x}}\left(V\Phi \right)~dx}$ 。

使用乘法定則，

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =\left\langle -\ {\frac {\partial }{\partial x}}V\right\rangle =\langle F\rangle }$ 。

在量子力學裏，動量的期望值對於時間的導數，等於作用力 ${\displaystyle F}$ 的期望值。

取經典極限，${\displaystyle \left\langle {\frac {\partial V(x)}{\partial x}}\right\rangle \approx {\frac {\partial V(\langle x\rangle )}{\partial \langle x\rangle }}}$ ，則可得到一組完全的量子運動方程式：

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle x\rangle =\langle v\rangle }$ ，

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =-\ {\frac {\partial V(\langle x\rangle )}{\partial \langle x\rangle }}}$ 。

這組量子運動方程式，精確地對應於經典力學的運動方程式：

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=v}$ ，

${\displaystyle {\frac {dp}{dt}}=-\ {\frac {\partial V(x)}{\partial x}}}$ 。

取「經典極限」，量子力學的定律約化為經典力學的定律。這結果也時常被稱為埃倫費斯特定理。這經典極限是什麼呢？標記 ${\displaystyle V\,'(x)}$ 為 ${\displaystyle {\frac {\partial V(x)}{\partial x}}}$ 。設定 ${\displaystyle \langle x\rangle =x_{0}}$ 。泰勒展開 ${\displaystyle V\,'(x)}$ 於 ${\displaystyle x_{0}}$ ：

${\displaystyle V\,'(x)=V\,'(x_{0})+(x-x_{0})V\,''(x_{0})+{\frac {1}{2}}(x-x_{0})^{2}V\,'''(x_{0})+\ \dots }$ 。

由於 ${\displaystyle \langle x-x_{0}\rangle =0}$ ，${\displaystyle \langle (x-x_{0})^{2}\rangle =\sigma _{x}^{2}}$ ，

${\displaystyle \left\langle {\frac {\partial V(x)}{\partial x}}\right\rangle \approx V\,'(x_{0})+{\frac {1}{2}}\ \sigma _{x}^{2}\ V\,''(x_{0})}$ 。

這近似方程式右手邊的第二項目就是誤差項目。只要這誤差項目是可忽略的，就可以取經典極限。而這誤差項目的大小跟以下兩個因素有關：

1. 一個是量子態對於位置的不可確定性。
2. 另一個則是位勢隨著位置而變化的快緩。

• 維里定理