线性动态系统

在線性動態系統中，狀態向量（一個N維向量，稱為${\displaystyle \mathbf {x} }$）的變化等於常數矩陣（稱為${\displaystyle \mathbf {A} }$）乘以${\displaystyle \mathbf {x} }$。變化可以用二種形式出現：可能是流，是指${\displaystyle \mathbf {x} }$隨著時間連續的變化

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {x} (t)=\mathbf {A} \cdot \mathbf {x} (t)}$

或者是映射，其中 ${\displaystyle \mathbf {x} }$以離散的方式變化

${\displaystyle \mathbf {x} _{m+1}=\mathbf {A} \cdot \mathbf {x} _{m}}$

因為符合以下的原則，上述的系統是線性系統。若 ${\displaystyle \mathbf {x} (t)}$ and ${\displaystyle \mathbf {y} (t)}$ 是二個有效的解，則二個解的任意線性組合，例如 ${\displaystyle \mathbf {z} (t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \alpha \mathbf {x} (t)+\beta \mathbf {y} (t)}$ 其中${\displaystyle \alpha }$ and ${\displaystyle \beta }$ 為二個純量。向量${\displaystyle \mathbf {A} }$不一定要是对称矩陣。

大部份的非線性動態系統無法找到解析解，不過线性动态系统可以找到解析解。偶爾有些非線性系統可以用變數變換的方式變換為線性系統，因此也可以求解。而且，大部份非線性系統的解可以在其不动点附近用等效的線性系統進行很好的近似。因此若要瞭解複雜的非線性系統，第一步驟是瞭解較簡單的線性系統及其解。

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