列维-奇维塔符号
利威尔-奇維塔符號(Levi-Civita symbol),特別在線性代數,張量分析和微分幾何等數學範疇中很常見到。對於正整數 n ,它以1, 2, ..., n 所形成排列的奇偶性來定義。它以義大利數學家和物理學家图利奥·列维-齐维塔命名。其他名稱包括排列符號,反對稱符號或交替符號。這些名稱與它排列和反對稱的性質有關。
列維-奇維塔符號的標準記號是希臘小寫字母 ε 或 ϵ ,較不常見的也有以拉丁文小寫 e 記號。下標符能與張量分析兼容的方式來顯示排列:
其中每個下標指標 a1, a2, ..., an 取值介乎 1 到 n 。在 εa1a2...an 中,共有 nn 個指標排列,可以排成為一個 n 維陣列。
當任何兩個指標相等,則定義符號值等於 0 :
- ;
當全部指標都不相等時,我們定義:
- ,
其中 p 稱為「排列的奇偶性」 (parity of permutation),是要將 a1, a2, ..., an 變換成自然次序 1, 2, ..., n ,所需的對換次數。而因子 (−1)p 被稱為「排列正負號」 (signum of permutation)。這裡, ε12...n 的值必須有定義,否則其他特定排列的符號值將無法確定。大多數作者選擇 +1 作為自然次序的值:
- 。
在本文中,也將使用這個定義。
從定義可知,當任何兩個指標互換,則須加上負號:
- 。
這稱為「完全反對稱性」。
“n 維列維-奇維塔符號”一詞是指符號上的指標數 n ,和所討論的向量空間維度相符,其中可指歐幾里得空間或非歐幾里得空間,例如 R3 的 n = 3 或閔可夫斯基空間的 n = 4 。
列維-奇維塔符號的值,與參考座標系無關。此外,這裡使用「符號」一詞。強調了它並不是一個張量;然而,它可以被理解為張量的密度。
列維-奇維塔符號可用來表示正方矩陣的行列式,及三維歐幾里德空間中的兩個向量的叉積。
定義
列維-奇維塔符號最常用於三維和四維,並在一定程度上用於二維,因此在定義一般情況之前,先給出這些符號值。
二維
在二維中,列維-奇維塔符號定義如下:
|
當 |
當 |
當 |
這些值可以排列成 2×2 反對稱矩陣:
相對於其他維度,二維的列維-奇維塔符號並不常見,雖然在某些專門的主題,如超對稱和扭量理論中,談及2-旋量時會用到。
三維
對於 εijk 的指標 (i, j, k) ,數字 1, 2, 3 在 循環排列的次序,對應 ε = +1。在 反循環排列的次序,則對應 ε = −1。其餘情況下, ε = 0。
三維以上的列維-奇維塔符號更常用。在三維中,列維-奇維塔符號定義如下:
|
當 、 或 |
當 、 或 |
當 、 或 |
也就是說,如果 (i, j, k) 是 (1, 2, 3) 的偶排列,則符號值為 +1 。如果是奇排列,則符號值為 −1 。如果任何兩個索引重複,則符號值為 0 。
僅在三維中, (1, 2, 3) 的循環排列都是偶排列,反循環排列都是奇排列。這意味著在三維中,僅觀察 (i, j, k) 是 (1, 2, 3) 的循環排列,還是反循環排列,就足以分辨其奇偶性。
類似於二維矩陣,三維列維-奇維塔符號的值可以排成 3×3×3 陣列:
其中 i 是深度 (藍色: i = 1; 紅色: i = 2; 綠色: i = 3) , j 是橫行,k 是直列。
以下是一些例子:
四維
在四維中,列維-奇維塔符號定義如下:
|
當 的偶排列 |
當 的奇排列 |
其餘情況,即任意兩個指標相等 |
這些值可以排成 4×4×4×4 陣列,然而四維以上較難描繪出示意圖。
以下是一些例子:
推廣到高維
更一般地推廣到 n 維中,則列維-奇維塔符號的定義為:
|
當 是 的偶排列 |
當 是 的奇排列 |
其餘情況,即任意兩個指標相等 |
又可使用求積符號 ∏ 表達為:
其中的 sgn(x) 是符號函數,根據 x 的正負給出 +1 、 0 或 −1。該公式對對於任何 n 及任何指標排列都有效(當 n = 0 或 1 時,定義為空積 1)。
然而,計算以上公式的時間複雜度為 O(n2) ,而以不交循環排列的性質計算,則只需 O(n log(n)) 。
兩個列維-奇維塔符號的積,可以用一個以廣義克羅內克函數表示的行列式求得:
二維
在二維中,列維-奇維塔符號定義如下:
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當 |
當 |
當 |
這些值可以排列成 2×2 反對稱矩陣:
相對於其他維度,二維的列維-奇維塔符號並不常見,雖然在某些專門的主題,如超對稱和扭量理論中,談及2-旋量時會用到。
三維
對於 εijk 的指標 (i, j, k) ,數字 1, 2, 3 在 循環排列的次序,對應 ε = +1。在 反循環排列的次序,則對應 ε = −1。其餘情況下, ε = 0。
三維以上的列維-奇維塔符號更常用。在三維中,列維-奇維塔符號定義如下:
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當 、 或 |
當 、 或 |
當 、 或 |
也就是說,如果 (i, j, k) 是 (1, 2, 3) 的偶排列,則符號值為 +1 。如果是奇排列,則符號值為 −1 。如果任何兩個索引重複,則符號值為 0 。
僅在三維中, (1, 2, 3) 的循環排列都是偶排列,反循環排列都是奇排列。這意味著在三維中,僅觀察 (i, j, k) 是 (1, 2, 3) 的循環排列,還是反循環排列,就足以分辨其奇偶性。
類似於二維矩陣,三維列維-奇維塔符號的值可以排成 3×3×3 陣列:
其中 i 是深度 (藍色: i = 1; 紅色: i = 2; 綠色: i = 3) , j 是橫行,k 是直列。
以下是一些例子:
四維
在四維中,列維-奇維塔符號定義如下:
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當 的偶排列 |
當 的奇排列 |
其餘情況,即任意兩個指標相等 |
這些值可以排成 4×4×4×4 陣列,然而四維以上較難描繪出示意圖。
以下是一些例子:
推廣到高維
更一般地推廣到 n 維中,則列維-奇維塔符號的定義為:
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當 是 的偶排列 |
當 是 的奇排列 |
其餘情況,即任意兩個指標相等 |
又可使用求積符號 ∏ 表達為:
其中的 sgn(x) 是符號函數,根據 x 的正負給出 +1 、 0 或 −1。該公式對對於任何 n 及任何指標排列都有效(當 n = 0 或 1 時,定義為空積 1)。
然而,計算以上公式的時間複雜度為 O(n2) ,而以不交循環排列的性質計算,則只需 O(n log(n)) 。
兩個列維-奇維塔符號的積,可以用一個以廣義克羅內克函數表示的行列式求得:
應用和範例
行列式
在线性代数中, 3×3 的方陣 A = (aij) :
- ,
其行列式可以寫為:
- ,
類似地, n×n 矩陣 A = (aij) 的行列式可以寫為:
向量的叉積
對於向量 a 與 b ,它們的叉積:
對於向量 a 、 b 與 c ,它們的三重積:
行列式
在线性代数中, 3×3 的方陣 A = (aij) :
- ,
其行列式可以寫為:
- ,
類似地, n×n 矩陣 A = (aij) 的行列式可以寫為:
向量的叉積
對於向量 a 與 b ,它們的叉積:
對於向量 a 、 b 與 c ,它們的三重積:
性質
由列維-奇維塔符號給出(共變等級為n)張量在正交基礎中的組成部份,有時稱為“置換張量”。
根據普通的張量變換規則,列維-奇維塔符號在純旋轉下不變,與正交變換相關的所有座標系統(在定義上)相同。然而,列維-奇維塔符號是一種贗張量,因為在雅可比行列式−1的正交變換之下,例如,一個奇數維度的鏡射,如果它是一個張量,它“應該”有一個負號。由於它根本沒有改變,所以列維-奇維塔符號根據定義,是一個贗張量。
由於列維-奇維塔符號是贗張量,因此取叉積的結果是贗張量,而不是向量。
在一般座標變換下,置換張量的分量乘以变换矩阵的雅可比。這表示在與定義張量的座標系不同的座標系中,其組成部份與列維-奇維塔符號表示的那些,不同之處在於一整體因子。如果座標是正交的,則根據座標的方向是否相同,因子將為±1。
在無指標的張量符號中,列維-奇維塔符號被霍奇对偶的概念所取代。
在使用張量的指標符號來操作分量的上下文中,列維-奇維塔符號可以將其指標寫為下標或上標,而不改變意義,這也許是方便的如下寫成:
在這些例子中,上標應該被視為與下標相同。
使用愛因斯坦標記法可消除求和符號,其中兩個或多個項之間重複的指標表示該指標的求和。例如,
- .
以下的例子使用愛因斯坦標記法。
二維
在二維上,當所有,,,各取值1和2時,
-
|
|
(1) |
-
|
|
(2) |
-
|
|
(3) |
指標和符號值
在三維中,當所有,,,,各取值1,2和3時:
-
|
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(4) |
-
|
|
(5) |
-
|
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(6) |
乘積
列維-奇維塔符號與克罗内克函数有關。 在三維中,關係由以下等式給出(垂直線表示行列式):
這個結果的一個特例是(4):
有時候稱為“contracted epsilon identity”。
在愛因斯坦標記法中,指標的重複表示的總和。然後前一個被表示為
指標和符號值
在n維中,當所有take values:
-
|
|
(7) |
-
|
|
(8) |
-
|
|
(9) |
驚嘆號( !}
)代表階乘,而是廣義克罗内克函数,對於任意n有屬性:
從以下事實可得出:
- 每個排列是偶排列或奇排列,
- ,與
- 任何n-元素集合的排列數正好是。
乘積
一般來說,對於n維,兩個列維-奇維塔符號的乘積可以寫成:
二維
在二維上,當所有,,,各取值1和2時,
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(1) |
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(3) |
指標和符號值
在三維中,當所有,,,,各取值1,2和3時:
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(4) |
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(5) |
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(6) |
乘積
列維-奇維塔符號與克罗内克函数有關。 在三維中,關係由以下等式給出(垂直線表示行列式):
這個結果的一個特例是(4):
有時候稱為“contracted epsilon identity”。
在愛因斯坦標記法中,指標的重複表示的總和。然後前一個被表示為
指標和符號值
在n維中,當所有take values:
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(7) |
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(8) |
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(9) |
驚嘆號( !}
)代表階乘,而是廣義克罗内克函数,對於任意n有屬性:
從以下事實可得出:
- 每個排列是偶排列或奇排列,
- ,與
- 任何n-元素集合的排列數正好是。
乘積
一般來說,對於n維,兩個列維-奇維塔符號的乘積可以寫成: