希尔伯特空间

希尔伯特空间以大卫·希尔伯特的名字命名，他在对积分方程的研究中研究了希尔伯特空间。冯·诺伊曼在其1929年出版的关于无界自伴算子的著作中，最早使用了“希尔伯特空间”这个名词。冯·诺伊曼可能是最早清楚地认识到希尔伯特空间的重要性的数学家之一，他在进行对量子力学的基础性和创造性地研究的时候认识到了这一点。此项研究由冯·诺伊曼与希尔伯特和朗道展开，随后由尤金·维格纳（）继续深入。“希尔伯特空间”这个名字迅速被其他科学家所接受，例如在外尔1931年出版的著作《群与量子力学的理论》（）中就使用了这一名词。

一个抽象的希尔伯特空间中的元素往往被称为向量。在实际应用中，它可能代表了一列复数或是一个函数。例如在量子力学中，一个物理系统可以表示为一个複希尔伯特空间，其中的向量是描述系统可能状态的波函数。详细的资料可以参考量子力学的数学表述相关的内容。量子力学中由平面波和束缚态所构成的希尔伯特空间，一般被称为装备希尔伯特空间（rigged Hilbert space）。

完备的内积空间称为希尔伯特空间（Hilbert space）。

这里的完备指：内积空间称为完备的（complete），若其中任意一个柯西序列都收敛。

任何有限维内积空间（如欧几里得空间及其上的点积）都是希尔伯特空间。但从实际应用角度来看，无穷维的希尔伯特空间更有价值，例如

• 酉群（unitary group）的表示论。

• 平方可积的随机过程理论。

• 偏微分方程的希尔伯特空间理论，特别是狄利克雷问题。

• 函数的谱分析及小波分析。

• 量子力学的数学描述。

内积可以帮助人们从“几何的”观点来研究希尔伯特空间，并使用有限维空间中的几何语言来描述希尔伯特空间。在所有的无穷维拓扑向量空间中，希尔伯特空间性质最好，也最接近有限维空间的情形。

傅立叶分析的一个重要目的是将一个给定的函数表示成一族给定的基底函数的和（可能是无穷和）。这个问题可以在希尔伯特空间中更抽象地描述为：任何一个希尔伯特空间都有一族标准正交基，而且每个希尔伯特空间中的元素都可以唯一地表示为这族基底中的元素或其倍数的和。

在以下例子中，假设所有的希尔伯特空间都是複數，尽管实际应用中大多是實數。

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$及其上的内积

${\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum _{k=1}^{n}{\overline {x_{k}}}y_{k}}$

构成了一个希尔伯特空间，其中短横线表示一个复数的复共轭。

更一般的希尔伯特空间都是无穷维的，假设${\displaystyle B}$是一个任意集合，可以定义其上的${\displaystyle \ell ^{2}}$序列空间，记为

${\displaystyle \ell ^{2}(B)=\left\{x:B\rightarrow \mathbb {C} \,{\bigg |}\,\sum _{b\in B}\left|x\left(b\right)\right|^{2}<\infty \right\}}$

此空间在定义如下内积后，成为一个希尔伯特空间：

${\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum _{b\in B}{\overline {x(b)}}y(b)}$

其中${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$是${\displaystyle \ell ^{2}(B)}$中的任意元素。在这个定义中，${\displaystyle B}$并非一定要是可数的，在${\displaystyle B}$不可数之情形下，${\displaystyle \ell ^{2}(B)}$不是可分（separable）的。在下面更具体的例子中，所有的希尔伯特空间在选定适当的${\displaystyle B}$的情况下，都可以表示成为${\displaystyle \ell ^{2}(B)}$的一个同构空间。特别地，当${\displaystyle B=\mathbb {(} N)}$的时候，可以将其简单记为${\displaystyle \ell ^{2}}$。

勒贝格空间( 這裡指 ${\displaystyle L^{2}(X)}$ 空間 )是指定義在测度空间${\displaystyle (X,{\mathcal {M}},\mu )}$ 上的函数空间，其中${\displaystyle X}$ 代表函數的定義域，${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ 的元素是 ${\displaystyle X}$上的子集族，為 一個 ${\displaystyle \sigma }$ 代数，一般把 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ 稱作可測空間(measurable space)，而 ${\displaystyle \mu }$ 是 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ 上的测度。

更仔細的說，${\displaystyle L^{2}(X,\mu )}$( 簡寫做 ${\displaystyle L^{2}(X)}$ ) 表示 ${\displaystyle X}$ 上所有平方可积（square-integrable）的複數值的可测函数的集合。平方可积表示该函数的绝对值的平方的积分是有限的。要注意的是在 ${\displaystyle L^{2}(X)}$ 空間裡，對於几乎处处( almost everywhere )相同的函数，也就是說如果兩函數只在一个测度为0的集合上不相等，我們把這兩函數當做在 ${\displaystyle L^{2}(X)}$ 中相同的元素。

此时两个函数${\displaystyle f}$和${\displaystyle g}$的内积定義为

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{X}{\overline {f(t)}}g(t)\ d\mu (t)}$

• 因為 ${\displaystyle f,g\in L^{2}(X)}$，所以這內積的定義沒有問題。

但需要证明的是：

• 此空间在此内积下是完备的。

这个证明可以在相关的书籍中找到，与此例相关的内容可以参看关于${\displaystyle L^{p}}$空间的著作。

索伯列夫空间一般表示为${\displaystyle H^{s}}$或者${\displaystyle W^{s,2}}$是希尔伯特空间的另一个重要实例，它多被应用于偏微分方程的研究。

给定任意两个（或更多）希尔伯特空间，利用直和或张量积的方式，可以给出一个更大的希尔伯特空间。

在希爾伯特空間 H 中，若兩支向量 u 和 v 滿足 ⟨u,v⟩ = 0，則稱它們正交，記為 u ⊥ v. 更一般地，若 S 是 H 的子集，則 u ⊥ S 表示 u 與 S 的每個元素都正交。

當 u 和 v 正交時，就有

${\displaystyle \|u+v\|^{2}=\langle u+v,u+v\rangle =\langle u,u\rangle +2\,\operatorname {Re} \langle u,v\rangle +\langle v,v\rangle =\|u\|^{2}+\|v\|^{2}\,.}$

對 n 使用數學歸納法，上式可以推廣到對任意 n 支正交向量 u₁, ..., u_n 成立，即

${\displaystyle \|u_{1}+\cdots +u_{n}\|^{2}=\|u_{1}\|^{2}+\cdots +\|u_{n}\|^{2}\,.}$

畢達哥拉斯恆等式對每個內積空間都成立，但希爾伯特空間具有完備性，故此恆等式可推廣到對級數成立。一列 正交 向量組成的級數 ∑u_k 在 H 中收斂當且僅當各項範數平方組成的級數收斂，且此時

${\displaystyle \left\|\sum _{k=0}^{\infty }u_{k}\right\|^{2}=\sum _{k=0}^{\infty }\left\|u_{k}\right\|^{2}\,.}$

此外，正交向量的級數和與求和順序無關。

幾何上，平行四邊形恆等式給出 AC² + BD² = 2(AB² + AD²). 換言之，兩對角線的平方和等於兩鄰邊平方和的兩倍。

由定義，每個希爾伯特空間都是巴拿赫空間。 而在每個希爾伯特空間中，以下平行四邊形恆等式成立:

${\displaystyle \|u+v\|^{2}+\|u-v\|^{2}=2\left(\|u\|^{2}+\|v\|^{2}\right)\,.}$

反之，若一個巴拿赫空間滿足平行四邊形恆等式，則其亦為希爾伯特空間，因為它的內積可由極化恆等式唯一確定。 對實希爾伯特空間，極化恆等式是

${\displaystyle \langle u,v\rangle ={\tfrac {1}{4}}\left(\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2}\right)\,.}$

而對複希爾伯特空間，其為

${\displaystyle \langle u,v\rangle ={\tfrac {1}{4}}\left(\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2}+i\|u+iv\|^{2}-i\|u-iv\|^{2}\right)\,.}$

由平行四邊形恆等式，可以推出任何希爾伯特空間都是一致凸巴拿赫空間。

根據希爾伯特射影定理，若 C 是希爾伯特空間 H 的非空閉凸子集，x為 H 的任一點，則存在唯一的 y ∈ C 使其到 x 的距離是各個 C 中的點到 x 的距離中最小的，即

${\displaystyle y\in C\,,\quad \|x-y\|=\operatorname {dist} (x,C)=\min\{\|x-z\|:z\in C\}\,.}$

此等價於經平移的凸集 D = C − x 中有範數最小的元素。欲證之，可先證明對每個序列 (d_n) ⊂ D，若各項範數趨向於D中範數的下確界，則其為柯西序列（利用平行四邊形恆等式），故由完備性知其收斂到D 的某點。此結論對任意一致凸巴拿赫空間均適用。

當對 H 的閉子空間 F 應用此結論時，可以證明最靠近 x 的點 y ∈ F 滿足

${\displaystyle y\in F\,,\quad x-y\perp F\,.}$

該點 y 稱為 x 到 F 上的 正交射影 ，而這給出的映射 P_F : x ↦ y 是線性的。此結論於應用數學有用，而數值分析尤甚，因這結論是最小二乘法的基礎。

特別到，當 F 不等於 H 時，可找到一支非零向量 v 與 F 正交（選 x ∉ F 並考慮 v = x − y）。由此得到一個有用的判定條件：

H 的子集 S 線性生成一個稠密的子空間當且僅當向量 0 是 H 中與 S 正交的唯一向量。

对偶空间 H* 是所有由H 到其系數域的連續線性函數組成的空間。 其具有一個自然的範數，由下式給出：

${\displaystyle \|\varphi \|=\sup _{\|x\|=1,x\in H}|\varphi (x)|\,.}$

這滿足平行四邊形恆等式，故對偶空間亦為一個內積空間。同時它也是完備的，所以希爾伯特空間的對偶空間也是希爾伯特空間。

里斯表示定理 描述了這個對偶空間。 對每個 H 的元素 u ， H* 中有唯一的 φ_u 滿足

${\displaystyle \varphi _{u}(x)=\langle x,u\rangle \,.}$

則 u ↦ φ_u 是從 H 到 H* 的反线性映射。里斯表示定理說此映射是個反線性同構。 所以對每個 H* 的元素 φ，都存在唯一的 u_φ ∈ H 使得

${\displaystyle \langle x,u_{\varphi }\rangle =\varphi (x)}$

對任意 x ∈ H 都成立。 對偶空間 H* 上的內積滿足

${\displaystyle \langle \varphi ,\psi \rangle =\langle u_{\psi },u_{\varphi }\rangle \,.}$

注意右邊的次序反轉了，才使 u_φ 的反線性變回上述內積對 φ 的線性。當 H 是實希爾伯特空間時，從 H 到其對偶的反線性同構實際上是一般的同構，所以實希爾伯特空間自然地與其對偶同構。

表示 φ 的向量 u_φ 可藉下列方法找到。 當 φ ≠ 0 時， 核 F = Ker(φ) 是 H 的閉子空間，且不等於 H ，故存在非零向量 v 與 F 正交。 取向量 u 為 v 的純量倍 λv，於是條件 φ(v) = ⟨v,u⟩ 給出

${\displaystyle u=\langle v,v\rangle ^{-1}\,{\overline {\varphi (v)}}\,v\,.}$

物理學上廣泛應用的狄拉克符号正利用了φ ↔ u 的對應關係。 物理學家通常約定，內積 ⟨x|y⟩ 對右邊的運算元線性，即

${\displaystyle \langle x|y\rangle =\langle y,x\rangle \,.}$

於是 ⟨x|y⟩ 可以視為線性泛函 ⟨x| （稱為 左矢 ）作用在向量 |y⟩ （稱為 右矢 ）的結果。

里斯表示定理要求空間的完備性。事實上，從定理可知任意內積空間的拓撲對偶都與其完備化空間同構。作為里斯表示定理的直接推論， 希爾伯特空間 H 是 自反空间, 即由 H 到其對偶之對偶的自然映射是同構。

在希爾伯特空間 H 中，若序列 {x_n} 滿足對任意的 v ∈ H, 都有

${\displaystyle \lim _{n}\langle x_{n},v\rangle =\langle x,v\rangle ,}$

則稱該序列弱收斂到向量 x ∈ H.

例如，任何正交序列 {f_n} 都弱收斂到  0. 此為贝塞尔不等式的結果。根據一致有界原理，每個弱收斂序列 {x_n} 都有界。

反之，希爾伯特空間中的每個有界序列，都有一個弱收斂子序列，此謂巴拿赫-阿拉奧盧定理。 這可用作證明某些連續凸泛函的最小值的存在性，正如波爾查諾－魏爾斯特拉斯定理適用於 ℝ^d 上的連續函數。一個較簡單的結果是：

若 f : H → ℝ 為凸的連續函數，使得當 ‖x‖ 趨向於 ∞ 時，就有 f(x) 趨向於 +∞，則 f 在某點 x₀ ∈ H 取得最小值。

此個結論（並其若干推廣）是变分法中直接法的基礎。更抽象地說，凸泛函的最小值存在，也是因為希爾伯特空間 H 上的閉有界凸集均為弱緊集（因為 H 是自反空間）。弱收斂子序列的存在性是 Eberlein–Šmulian theorem 的特殊情況。

希尔伯特空间的一个中间概念是标准正交基，即其上的一族函数${\displaystyle \{e_{k}\}_{k\in B}}$满足：

• 所有元素都是单位化的：即对于任意${\displaystyle x}$，${\displaystyle \Vert e_{k}\Vert =1}$，${\displaystyle \forall k\in B}$。
• 所有元素彼此正交：若${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$是这族基中的不同元素，那么${\displaystyle <x,y>=0}$。
• 其线性扩张稠密：即其中的所有元素的有限的线性组合是${\displaystyle H}$的一个稠密子集。

有时也使用标准正交列或标准正交集指代。

标准正交基的一些实例：

• 集合（${\displaystyle \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}}$）

• 完备的度量空间或完备的距离空间
• 完备的赋范空间
• n维欧几里得空间

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