相对论性多普勒效应

假設觀察者（Observer）與波源（Source）是以一相對速度${\displaystyle v\,}$彼此遠離，並從波源的參考系來考慮這個問題。

當某一波前抵達觀察者處，則下一個最接近的波前距離觀察者有${\displaystyle \lambda =c/f_{\mathrm {s} }\,}$（其中${\displaystyle \lambda \,}$是波長、${\displaystyle f_{\mathrm {s} }\,}$是波源所發出的原始光波頻率、${\displaystyle c\,}$是光速）。由於波前移動速度（即光波移動速度）為${\displaystyle c\,}$而觀察者遠離速度為${\displaystyle v\,}$，觀察者接收一個完整的波（或經歷兩個波前）需歷時：

${\displaystyle t={\frac {\lambda }{c-v}}={\frac {1}{(1-v/c)f_{\mathrm {s} }}}}$

當物體以相對高速移動時，需考慮相對論的效應，故觀察者測量到的時間會是：

${\displaystyle t_{\mathrm {o} }={\frac {t}{\gamma }}={\frac {1}{\gamma (1-v/c)f_{\mathrm {s} }}}}$

其中${\displaystyle \gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$，所以觀察者測量到的頻率是：

${\displaystyle f_{\mathrm {o} }={\frac {1}{t_{\mathrm {o} }}}=\gamma (1-v/c)f_{\mathrm {s} }={\sqrt {\frac {1-v/c}{1+v/c}}}\,f_{\mathrm {s} }}$。

若觀察者與波源正以速度${\displaystyle v\,}$彼此遠離，則觀察到的頻率${\displaystyle f_{\mathrm {o} }\,}$會與波源發出的頻率${\displaystyle f_{\mathrm {s} }\,}$相異，關係式可寫作：

${\displaystyle f_{\mathrm {o} }={\sqrt {\frac {1-v/c}{1+v/c}}}\,f_{\mathrm {s} }}$

其中${\displaystyle c\,}$是真空中光速。

相應的波長關係式則可寫作：

${\displaystyle \lambda _{\mathrm {o} }={\sqrt {\frac {1+v/c}{1-v/c}}}\,\lambda _{\mathrm {s} }}$

所導致的紅移${\displaystyle z\,}$可寫作

${\displaystyle z+1={\frac {\lambda _{\mathrm {o} }}{\lambda _{\mathrm {s} }}}={\sqrt {\frac {1+v/c}{1-v/c}}}}$

在非相對論極限下，亦即當${\displaystyle v\ll c\,}$，近似式可寫作：

${\displaystyle {\frac {\Delta f}{f}}\simeq -{\frac {v}{c}}\qquad {\frac {\Delta \lambda }{\lambda }}\simeq {\frac {v}{c}}\qquad z\simeq {\frac {v}{c}}}$

註：此段落所假設的是觀察者和波源互相「遠離」。若他們是互相「接近」，則${\displaystyle v\,}$需設為負值。

若從觀察者參考系來看，波源以速度${\displaystyle v\,}$以及相對於從觀察者到波源方向呈一個角度${\displaystyle \theta \,}$（光從參波源發射到觀察者方向與波源速度的夾角）遠離，則頻率變化為

${\displaystyle f_{\mathrm {o} }={\frac {f_{\mathrm {s} }}{\gamma \left(1-{\frac {v\cos \theta }{c}}\right)}}}$

其中${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}$

然而，若角度${\displaystyle \theta \,}$是在波源參考系量測到的（光從參波源發射到觀察者方向於觀察者速度的夾角），則表示式為

${\displaystyle f_{\mathrm {o} }=\gamma \left(1-{\frac {v\cos \theta }{c}}\right)f_{\mathrm {s} }}$

在非相對論極限下：

${\displaystyle {\frac {\Delta f}{f}}\simeq -{\frac {v\cos \theta }{c}}}$。

• 多普勒效應
• 紅移
• 藍移
• 狹義相對論
• 橫向多普勒效應

• Warp Special Relativity Simulator電腦程式，展示相對論性多普勒效應。