爱因斯坦场方程

${\displaystyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }}$

其中

• ${\displaystyle G_{\mu \nu }\,}$稱為愛因斯坦張量，
• ${\displaystyle R_{\mu \nu }\,}$是從黎曼張量縮併而成的里奇張量，代表曲率項；
• ${\displaystyle R\,}$是從里奇張量縮併而成的純量曲率(或里奇數量)；
• ${\displaystyle g_{\mu \nu }\,}$是從(3+1)維時空的度量張量；
• ${\displaystyle T_{\mu \nu }\,}$是能量-動量-應力張量，
• ${\displaystyle G\,}$是重力常數，
• ${\displaystyle c\,}$是真空中光速。

愛因斯坦場方程是一組含有若干4階對稱張量的張量方程。每一個張量都有10個獨立的分量。由於4個比安基恒等式，我們可以將10個愛因斯坦場方程式減少至6個獨立的方程組。這導致了度規張量g_μν有4個自由度，與座標選取的4個自由度是對應的。

雖然愛因斯坦場方程一開始是一個應用在四維時空的理論，但是一些理論學家嘗試將它應用在探索n維時空上。真空中的場方程(當方程式右邊的T張量等於零)定義了愛因斯坦流形。

儘管愛因斯坦方程的形式看起來很簡單，實際上他們是一組複雜的二阶非線性微分方程。只要給定一個質量與能量分布，亦即能量-動量張量，愛因斯坦場方程就變成一個度規張量g_μν的微分方程。

一般我們藉由定義愛因斯坦張量( 一個對稱的與度規g_μν有關的二階張量) ： ${\displaystyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{\tfrac {1}{2}}R\,g_{\mu \nu },}$ 來將愛因斯坦場方程寫成一個更加簡單的形式：

${\displaystyle G_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }.}$。

若使用幾何化單位制，則G = c = 1，場方程因此簡化為：

${\displaystyle G_{\mu \nu }=8\pi T_{\mu \nu }\,.}$

如果是使用相對論中的幾何化單位制（有理化的幾何化單位制），則場方程為：

${\displaystyle G_{\mu \nu }=2T_{\mu \nu }\,.}$

此時，方程變得更簡單，連${\displaystyle \pi }$都沒有。

經愛因斯坦方程組兩邊同乘以g_μν：

${\displaystyle R-{\frac {D}{2}}R+D\Lambda ={8\pi G \over c^{4}}T\,}$ 其中D是時空維度。

兩邊再同除以${\displaystyle {\frac {D}{2}}-1}$：

${\displaystyle -R+{\frac {D\Lambda }{({\tfrac {D}{2}}-1)}}={8\pi G \over c^{4}}{\frac {T}{{\tfrac {D}{2}}-1}}\,.}$

兩邊再同乘−1/2g_μν：

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {\Lambda g_{\mu \nu }}{{\tfrac {D}{2}}-1}}={8\pi G \over c^{4}}\left(T_{\mu \nu }-{1 \over {D-2}}T\,g_{\mu \nu }\right).\,}$

一般情況下，D=4：

${\displaystyle R_{\mu \nu }-\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}\left(T_{\mu \nu }-{\tfrac {1}{2}}T\,g_{\mu \nu }\right).\,}$

場方程式的一個重要結果是遵守局域的（local）能量與動量守恆，透過應力-能量張量（代表能量密度、動量密度以及應力）可寫出：

${\displaystyle \nabla _{\nu }T^{\mu \nu }=T^{\mu \nu }{}_{;\nu }=0}$

場方程式左邊（彎曲幾何部份）因為和場方程式右邊（物質狀態部份）僅成比例關係，物質狀態部份所遵守的守恆律因而要求彎曲幾何部份也有相似的數學結果。透過微分比安基恒等式，以描述時空曲率的里奇張量${\displaystyle R^{\mu \nu }\,}$（以及張量縮併後的里奇純量${\displaystyle R\equiv R_{\mu }^{\mu }\,}$）之代數關係所設計出來的愛因斯坦張量${\displaystyle G^{\mu \nu }\equiv R^{\mu \nu }-{1 \over 2}g^{\mu \nu }R}$可以滿足這項要求：

${\displaystyle \nabla _{\nu }G^{\mu \nu }=G^{\mu \nu }{}_{;\nu }=0}$

愛因斯坦場方程式的非線性特質使得廣義相對論與其他物理學理論迥異。舉例來說，電磁學的麦克斯韦方程組跟電場、磁場以及電荷、電流的分佈是呈線性關係（亦即兩個解的線性疊加仍然是一個解）。另個例子是量子力學中的薛定谔方程，對於機率波函數也是線性的。

透過弱場近似以及慢速近似，可以從愛因斯坦場方程式退化為牛頓重力定律。事實上，場方程式中的比例常數是經過這兩個近似，以跟牛頓重力理論做連結後所得出。

愛因斯坦為了使宇宙能呈現為靜態宇宙（不動態變化的宇宙，既不膨脹也不收縮），在後來又嘗試加入了一個常數${\displaystyle \Lambda \,}$相關的項${\displaystyle \Lambda g_{\mu \nu }\,}$於場方程式中，使得場方程式形式變為：

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R+\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }}$

可以注意到${\displaystyle \Lambda g_{\mu \nu }\,}$這一項正比於度規張量，而維持住守恆律：

${\displaystyle \nabla _{\nu }(\Lambda g_{\mu \nu })=\Lambda \nabla _{\nu }(g_{\mu \nu })=0}$

此一常數${\displaystyle \Lambda }$被稱為宇宙常數。

這個嘗試後來因為兩個原因而顯得不正確且多此一舉：

1. 此一理論所描述的靜態宇宙是不穩定的。
2. 十年後，由愛德溫·哈伯對於遠處星系所作觀測的結果證實我們的宇宙正在膨脹，而非靜態。

因此，${\displaystyle \Lambda }$項在之後被捨棄掉，且愛因斯坦稱之為「一生中最大的錯誤」("biggest blunder ever made")。之後許多年，學界普遍設宇宙常數為0。

儘管最初愛因斯坦引入宇宙常數項的動機有誤，將這樣的項放入場方程式中並不會導致任何的不一致性。事實上，近年來天文學研究技術上的進步發現，要是存在不為零的${\displaystyle \Lambda }$確實可以解釋一些觀測結果。

愛因斯坦當初將宇宙常數視為一個獨立參數，不過宇宙常數項可以透過代數運算移動到場方程式的另一邊，而將這一項寫成應力-能量張量的一部分：

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R={8\pi G \over c^{4}}\left(T_{\mu \nu }-{\frac {c^{4}\Lambda g_{\mu \nu }}{8\pi G}}\right)}$

剛才提到的項即可定義為：

${\displaystyle T_{\mu \nu }^{\mathrm {(vac)} }\equiv -{\frac {c^{4}\Lambda g_{\mu \nu }}{8\pi G}}}$

而另外又可以定義常數

${\displaystyle \rho _{\mathrm {vac} }\equiv {\frac {c^{2}\Lambda }{8\pi G}}}$

為「真空能量」密度。宇宙常數的存在等同於非零真空能量的存在；這些名詞前在廣義相對論中常交替使用。也就是說可以將${\displaystyle T_{\mu \nu }^{\mathrm {(vac)} }\equiv -{\frac {c^{4}\Lambda g_{\mu \nu }}{8\pi G}}}$看成和${\displaystyle T_{\mu \nu }\,}$是一樣類型的量，只是${\displaystyle T_{\mu \nu }\,}$的來源是物質與輻射，而${\displaystyle -{\frac {c^{4}\Lambda g_{\mu \nu }}{8\pi G}}}$的來源則是真空能量。物質、輻射與真空能量三者在物理宇宙學中扮演要角。

若能量-動量張量${\displaystyle T_{\mu \nu }}$在所關注的區域中為零，則場方程式被稱作真空場方程式。在完整的場方程式中設定${\displaystyle T_{\mu \nu }=0}$，則真空場方程式可寫為：

${\displaystyle R_{\mu \nu }={1 \over 2}g_{\mu \nu }R\ }$

對此式做張量縮併，亦即使指標μ跟ν相同：

${\displaystyle R\equiv R_{\mu }^{\mu }=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }=g^{\mu \nu }{1 \over 2}g_{\mu \nu }R}$

由於${\displaystyle g^{\mu \nu }g_{\mu \nu }=\delta _{\mu }^{\mu }}$，整理可得：

${\displaystyle R=\delta _{\mu }^{\mu }{1 \over 2}R}$

而克羅內克爾δ在四維空間（時空）下取跡數為4，所以式子可寫作：

${\displaystyle R=4\cdot {1 \over 2}R=2R}$

是故${\displaystyle R=0\,}$。

因此可以得到此一更常見、等價的跡數反轉（trace-reversed）式：

${\displaystyle R_{\mu \nu }=0\ }$

若宇宙常數不為零，則方程式為

${\displaystyle R_{\mu \nu }={1 \over 2}g_{\mu \nu }R-\Lambda g_{\mu \nu },\ }$

若同上面宇宙常數為零的例子，其跡數反轉（trace-reversed）形式為

${\displaystyle R_{\mu \nu }=\Lambda g_{\mu \nu }\ }$

真空場方程式的解顧名思義稱作真空解。平直閔可夫斯基時空是最簡單的真空解範例。不尋常的真空解範例包括了史瓦西解與克爾解。

附帶一提的是：微分幾何中，里奇張量為零（即：${\displaystyle R_{\mu \nu }=0}$）的流形稱作里奇平坦流形，另外里奇張量與度規成比例關係的流形，稱為愛因斯坦流形（Einstein manifold）。

如果方程組右邊的能量-動量張量等於電磁學中的能量-動量張量，也就是

${\displaystyle T^{\alpha \beta }=\,-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F^{\alpha }{}^{\psi }F_{\psi }{}^{\beta }+{1 \over 4}g^{\alpha \beta }F_{\psi \tau }F^{\psi \tau }\right)}$

則此方程組稱為「 愛因斯坦-麦克斯韦方程」：

${\displaystyle R^{\alpha \beta }-{1 \over 2}Rg^{\alpha \beta }+\Lambda g^{\alpha \beta }={\frac {8\pi G}{c^{4}\mu _{0}}}\left(F^{\alpha }{}^{\psi }F_{\psi }{}^{\beta }+{1 \over 4}g^{\alpha \beta }F_{\psi \tau }F^{\psi \tau }\right).}$

其中${\displaystyle F_{\alpha \beta }}$稱為電磁張量，定義如下：

${\displaystyle F_{\alpha \beta }=A_{\alpha$ ;\beta }-A_{\beta ;\alpha }=A_{\alpha ,\beta }-A_{\beta ,\alpha }\!}

其中${\displaystyle A_{\alpha }}$是4-向量勢，分號代表協變微分，逗號代表偏微分。

• 爱因斯坦-希尔伯特作用量
• 廣義相對論資源

• Amir D. Aczel. . Delta Science. 1999 （英语）.
• Charles Misner; Kip Thorne; John Wheeler. . W. H. Freeman. 1973.