泊里雅科夫作用量

通过下面的变换，S是不变量：

• 庞加莱群（全球）
• 世界面微分同胚（局部）
• Weyl变换（局部）
• 共形变换（共形场论）

压力-能量张量是

${\displaystyle {\frac {\delta S}{\delta h^{ab}}}=T_{ab}=0}$

度量张量 ${\displaystyle h^{ab}}$的欧拉–拉格朗日方程是

${\displaystyle T^{ab}={\frac {-2}{\sqrt {-h}}}{\frac {\delta S}{\delta h_{ab}}}}$

而且

${\displaystyle \delta {\sqrt {-h}}=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {-h}}h_{ab}\delta h^{ab}}$

所以

${\displaystyle {\frac {\delta S}{\delta h^{ab}}}={\frac {T}{2}}{\sqrt {-h}}\left(G_{ab}-{\frac {1}{2}}h_{ab}h^{cd}G_{cd}\right)}$

其中 ${\displaystyle G_{ab}=g_{\mu \nu }\partial _{a}X^{\mu }\partial _{b}X^{\nu }}$ 。则

${\displaystyle T_{ab}=T\left(G_{ab}-{\frac {1}{2}}h_{ab}h^{cd}G_{cd}\right)=0}$

${\displaystyle G_{ab}={\frac {1}{2}}h_{ab}h^{cd}G_{cd}}$

${\displaystyle G=\mathrm {det} \left(G_{ab}\right)={\frac {1}{4}}h\left(h^{cd}G_{cd}\right)^{2}}$

若使用

${\displaystyle {\sqrt {-h}}={\frac {2{\sqrt {-G}}}{h^{cd}G_{cd}}}}$

则S成为南后作用量：

${\displaystyle S={T \over 2}\int \mathrm {d} ^{2}\sigma {\sqrt {-h}}h^{ab}G_{ab}={T \over 2}\int \mathrm {d} ^{2}\sigma {\frac {2{\sqrt {-G}}}{h^{cd}G_{cd}}}h^{ab}G_{ab}=T\int \mathrm {d} ^{2}\sigma {\sqrt {-G}}}$

因为S是线性的，P作用的量子化过程比较容易。

• D膜
• 爱因斯坦–希尔伯特作用量

• Polchinski (Nov, 1994). What is String Theory, NSF-ITP-94-97, 153pp, arXiv:hep-th/9411028v1
• Ooguri, Yin (Feb, 1997). TASI Lectures on Perturbative String Theories, UCB-PTH-96/64, LBNL-39774, 80pp, arXiv:hep-th/9612254v3