库塔-儒可夫斯基定理

此定理和在二維流場中的翼型（或是翼展無窮大的圓柱）有關，可以計算單位翼展下的升力。當环量${\displaystyle \Gamma \,}$已知，其升力${\displaystyle L\,}$除以翼展下的單位翼展升力（或表示為${\displaystyle L'\,}$）可以表示為以下的方程式：

${\displaystyle L^{\prime }=-\rho _{\infty }V_{\infty }\Gamma ,\,}$

(1)

其中

${\displaystyle \rho _{\infty }\,}$及${\displaystyle V_{\infty }\,}$分別為流體密度及在翼型上游，遠離翼型位置的流體速度，

${\displaystyle \Gamma \,}$為以下線積分定義的环量（逆時針為正值）

${\displaystyle \Gamma =\oint _{C}V\cdot d\mathbf {s} =\oint _{C}V\cos \theta \;ds\,}$

上述环量是沿著一個封閉圍道${\displaystyle C}$進行，此圍道包覆著翼型或是圓柱，且沿著其正方向（逆時針）進行。其路徑需在位流的範圍內，不能在圓柱的邊界層內。被積分式${\displaystyle V\cos \theta \,}$是局部流體速度沿著曲線${\displaystyle C\,}$切線方向的分量，且${\displaystyle ds\,}$為曲線${\displaystyle C\,}$的無窮小面積。方程式(1)是库塔-儒可夫斯基定理中的一個形式。

Kuethe和Schetzer用以下的話描述库塔-儒可夫斯基定理：

任意截面積的柱形物體，其單位長度的受力等於${\displaystyle -\rho _{\infty }V_{\infty }\Gamma }$，方向和${\displaystyle V_{\infty }.}$垂直。

在使用库塔-儒可夫斯基定理時，需注意环量${\displaystyle \Gamma }$的計算。

一個產生升力的翼型或者具有彎度，或者是在均勻的流體中以一定攻角${\displaystyle \alpha >0\,}$（机翼弦线和平移方向的角度）平移。而且翼型需要有一個銳利的後緣。上述條件類似鳥的翅膀，有銳利的後緣，有彎度，在天空中有一定的攻角。

實際的流體是有黏性的，流體速度在翼型邊緣為零，因此若考慮黏性流體，且以翼型形狀為圍道計算環量，其環量也為零。甚至由翼形上方及下方的流體會在後緣相會，而黏滯耗散會使流體不旋轉。這稱為真實流場的库塔條件。普朗特發現若雷諾數${\displaystyle Re={\frac {\rho V_{\infty }c_{A}}{\mu }}\,}$夠大，攻角夠小，翼型夠薄，則流場可以分為靠近機翼小區域的黏滯層（稱為邊界層），以及其他區域的非黏性流。

库塔和儒可夫斯基發現在計算雷諾數夠大，攻角夠小，厚度夠薄的翼型之壓力和升力時，若假定已考慮库塔條件，可以假設整個流場是非黏性流。這稱為位流理論，在實務上結果相當接近。在非黏性流施加库塔條件相當於計算环量。

簡單來說，類似鳥翅膀的機翼自然會產生升力，在飛行中的流場滿足库塔條件。若使用位流理論（在計算壓力及升力時假設是非黏性流及無旋轉流，計算阻力時用普朗特邊界層來近似），要求飛行時間符合库塔條件，會得到一個由=库塔-儒可夫斯基定理和環量產生的升力，和實際的升力非常接近。

以下有二種推導方式，第一個是基於物理的直覺，較启发式的推導，第二種是比較正式及技術式的推導，需要用到向量分析及複變分析的知識。

以較啟發式的說法，考慮一個薄的機翼，其翼弦為${\displaystyle c}$，有無限長的翼展，在密度為${\displaystyle \rho }$的空氣中移動。令翼和氣流有一個攻角，使翼的一側的氣流速度為${\displaystyle V}$，另一側的氣流速度為${\displaystyle V+v}$，因此其環流為

${\displaystyle \Gamma =Vc-(V+v)c=-vc.\,}$

機翼兩側的壓力差${\displaystyle \Delta P}$可以由伯努利定律求得

${\displaystyle {\frac {\rho }{2}}(V)^{2}+(P+\Delta P)={\frac {\rho }{2}}(V+v)^{2}+P,\,}$

${\displaystyle {\frac {\rho }{2}}(V)^{2}+\Delta P={\frac {\rho }{2}}(V^{2}+2Vv+v^{2}),\,}$

${\displaystyle \Delta P=\rho Vv\qquad {\text{(ignoring }}{\frac {\rho }{2}}v^{2}),\,}$

因此單位翼展的浮力為

${\displaystyle L=c\Delta P=\rho Vvc=-\rho V\Gamma .\,}$

此理論的微分版本可應用在機翼中的每一個元素，也是薄翼理論（thin-airfoil theory）的基礎。

库塔-儒可夫斯基定理的正式推導

首先先計算任何截面積、單位長度的長條物體在流體中的受力。先令單位長度的力（以下簡稱為力）為${\displaystyle \mathbf {F} \,}$，因此總受力為： ${\displaystyle \mathbf {F} =-\oint _{C}p\mathbf {n} \,ds,}$ 其中C為長條物體的邊緣、${\displaystyle p}$為流體的靜壓、${\displaystyle \mathbf {n} \,}$為和長條物體表面垂直的單位向量、ds是截面積邊緣的弧狀元素。令${\displaystyle \phi }$為法向量和垂直的夾角，上述力的分量為： ${\displaystyle F_{x}=-\oint _{C}p\sin \phi \,ds\quad ,\qquad F_{y}=\oint _{C}p\cos \phi \,ds.}$ 以下是重要步驟：將上述的二維空間當作複數平面，每個向量可以用複數表示，第一個分量對應其實部數值，第二個分量對應其虛部數值，因此上述的力可以表示為： ${\displaystyle F=F_{x}+iF_{y}=-\oint _{C}p(\sin \phi -i\cos \phi )\,ds.}$ 下一步是取力${\displaystyle F}$的共轭复数，再做一些處理： ${\displaystyle {\bar {F}}=-\oint _{C}p(\sin \phi +i\cos \phi )\,ds=-i\oint _{C}p(\cos \phi -i\sin \phi )\,ds=-i\oint _{C}pe^{-i\phi }\,ds.}$ 表面元素ds和dz的變化有關： ${\displaystyle dz=dx+idy=ds(\cos \phi +i\sin \phi )=ds\,e^{i\phi }\qquad \Rightarrow \qquad d{\bar {z}}=e^{-i\phi }ds.}$ 將這些代入積分中，可得： ${\displaystyle {\bar {F}}=-i\oint _{C}p\,d{\bar {z}}.}$ 接下來為了將壓力移出積分以外，應用伯努利定律。假設沒有其他外在的力場，流體的質量密度為${\displaystyle \rho .}$，壓力${\displaystyle p}$和速度${\displaystyle v=v_{x}+iv_{y}}$有以下的關係： ${\displaystyle p=p_{0}-{\frac {\rho |v|^{2}}{2}}.}$ 將上式代入力的積分式，可得： ${\displaystyle {\bar {F}}=-ip_{0}\oint _{C}d{\bar {z}}+i{\frac {\rho }{2}}\oint _{C}|v|^{2}\,d{\bar {z}}={\frac {i\rho }{2}}\oint _{C}|v|^{2}\,d{\bar {z}}.}$ 還剩下一個步驟要進行：引入${\displaystyle w=f(z),}$，流場的複變勢函數，和速度分量的關係是${\displaystyle w'=v_{x}-iv_{y}={\bar {v}},}$，其中撇号表示對複數變數z的微分。速度會相切於邊緣C，因此${\displaystyle v=\pm |v|e^{i\phi }.}$，則${\displaystyle v^{2}d{\bar {z}}=|v|^{2}dz,\,}$，受力的表示式可以改寫為下式： ${\displaystyle {\bar {F}}={\frac {i\rho }{2}}\oint _{C}w'^{2}\,dz,}$ 稱為布拉乌斯-恰普雷金公式（[Blasius–Chaplygin formula）。 若要得到库塔-儒可夫斯基定理，需計算上述積分的值，根據複變分析可知，一個全纯函数可以用洛朗級數來表示，根據此問題的物理特性，複變勢函數${\displaystyle w}$的微分會如以下所示： ${\displaystyle w'(z)=a_{0}+{\frac {a_{1}}{z}}+{\frac {a_{2}}{z^{2}}}+\dots .}$ 因為在無窮遠處的速度為有限值，此函數沒有其他高階項。因此${\displaystyle a_{0}\,}$即為此函數在無窮遠處的導數：${\displaystyle a_{0}=v_{x\infty }-iv_{y\infty }\,}$. 下一個任務是找出${\displaystyle a_{1}\,}$的意義，根據留數定理可得 ${\displaystyle a_{1}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}w'\,dz.}$ 再計算以下的積分： ${\displaystyle \oint _{C}w'(z)\,dz=\oint _{C}(v_{x}-iv_{y})(dx+idy)=\oint _{C}(v_{x}\,dx+v_{y}\,dy)+i\oint _{C}(v_{x}\,dy-v_{y}\,dx)=\oint _{C}\mathbf {v} \,{ds}+i\oint _{C}(v_{x}\,dy-v_{y}\,dx).}$ 第一個積分即為环量，可以用${\displaystyle \Gamma .}$表示，第二個積分可以用以下方式計算： ${\displaystyle \oint _{C}(v_{x}\,dy-v_{y}\,dx)=\oint _{C}\left({\frac {\partial \psi }{\partial y}}dy+{\frac {\partial \psi }{\partial x}}dx\right)=\oint _{C}d\psi =0.}$ 此處${\displaystyle \psi \,}$為流函數，因為邊界C本身即為流線，因此在上面流函數不會變化，即${\displaystyle d\psi =0\,}$，因此第二個積分為零，因此： ${\displaystyle a_{1}={\frac {\Gamma }{2\pi i}}.}$ 複變勢函數取平方： ${\displaystyle w'^{2}(z)=a_{0}^{2}+{\frac {a_{0}\Gamma }{\pi iz}}+\dots .}$ 將上式代入布拉乌斯-恰普雷金公式中，利用留數定理算積分： ${\displaystyle {\bar {F}}={\frac {i\rho }{2}}\left=i\rho a_{0}\Gamma =i\rho \Gamma (v_{x\infty }-iv_{y\infty })=\rho \Gamma v_{y\infty }+i\rho \Gamma v_{x\infty }=F_{x}-iF_{y}.}$ 因此库塔-儒可夫斯基定理為： ${\displaystyle F_{x}=\rho \Gamma v_{y\infty }\quad ,\qquad F_{y}=-\rho \Gamma v_{x\infty }.}$

库塔-儒可夫斯基定理預測的升力是以無粘性流的勢流理論為基礎，但若流場是穩定且無分離的，库塔-儒可夫斯基定理的結果很接近實際的黏性流。

在推導库塔-儒可夫斯基定理時，有假設流場是無旋轉流，若在物體外有自由渦流，就像許多不穩定流的情形，此流場為旋轉流，在推導升力時就需要一些更複雜的理論。

• 小攻角下突然啟動的流場：若是機翼突然加速，或是攻角較小的情形下突然啟動的流場，在機翼後緣會連續的出現涡片泄离，此時的升力是時變不穩定的。若是小攻角下啟動的流場，涡片會延著平面的路徑，升力係數的曲線會隨時間而變化，其形式會是Wagner函數。此時最終升力會如同库塔-儒可夫斯基定理所預測的一樣，但初升力只有最終升力的一半。當機翼前進七倍翼弦的距離時，其升力才會達到最終升力的90%。

• 大攻角下突然啟動的流場：若攻角夠大的話，機翼後緣的涡片一開始會是螺旋形的，理論升力在一開始會是無限大。一般認為升力的曲線是隨時間單調遞增的，但在大攻角下，會有一段很短暫的時間會有升力下降的情形。

• 大攻角下啟動，有銳利的機翼前緣：若針對一片平粄，也有銳利的前緣，涡片泄离會出現在前緣，而前緣的涡片泄离有二種不同的效果：

1.若仍接近前緣，可以提昇Wagner升力曲線，可以增加升力。

2.若前緣的涡片泄离和後緣有關，引入新的後緣螺旋形涡片，延著升力增加的方向移動，則會破壞升力。

對於這種流場，涡升力线（VFL）圖可以用來了解不同情形下涡流帶來的效果（包括流場啟動及其他的條件），也可以控制涡流以增強或降低升力。涡升力线圖是一個二維的圖，其中會繪出涡升力线，其對升力的貢獻和其速度、環量及渦升力線和流線的餘弦成正比，因此渦升力線可以看出涡流對升力的提升或破壞程度。

• Lagally定理：若在機翼外面有固定的渦源，其對升力的修正可以表示為渦源的強度，及因其他因素造成渦源處誘導速度，這稱為Lagally定理。。

針對二相的非黏性流，傳統的库塔-儒可夫斯基定理預測阻力為零，不過若機翼外有渦源，會產生阻力，其形成原因類似升力。

• 馬格努斯效應
• 马蹄形旋涡
• 升力係數
• 庫塔條件
• 翅膀

• Batchelor, G. K. (1967) An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press
• Clancy, L.J. (1975), Aerodynamics, Pitman Publishing Limited, London ISBN 0-273-01120-0
• A.M. Kuethe and J.D. Schetzer (1959), Foundations of Aerodynamics, John Wiley & Sons, Inc., New York ISBN 0-471-50952-3