爱因斯坦求和约定

愛因斯坦標記法的基本點子是餘向量與向量可以形成純量：

${\displaystyle y=c_{1}x^{1}+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+\cdots +c_{n}x^{n}\,\!}$。

通常會將這寫為求和公式形式：

${\displaystyle y=\sum _{i=1}^{n}c_{i}x^{i}\,\!}$。

在基底變換之下，純量保持不變。當基底改變時，一個向量的線性變換可以用矩陣來描述，而餘向量的線性變換則需用其逆矩陣來描述。這樣的設計為的是要保證，不論基底為何，伴隨餘向量的線性函數（即上述總和）保持不變。由於只有總和不變，而總和所涉及的每一個項目都有可能會改變，所以，愛因斯坦提出了這標記法，重複標號表示總和，不需要用到求和符號：

${\displaystyle y=c_{i}x^{i}\,\,\!}$

採用愛因斯坦標記法，餘向量都是以下標來標記，而向量都是以上標來標記。標號的位置具有特別意義。請不要將上標與指數混淆在一起，大多數涉及的方程式都是線性，不超過變數的一次方。在方程式裏，單獨項目內的標號變數最多只會出現兩次，假若多於兩次，或出現任何其它例外，則都必須特別加以說明，才不會造成含意混淆不清。

在線性代數裏，採用愛因斯坦標記法，可以很容易的分辨向量和餘向量（又稱為1-形式）。向量的分量是用上標來標明，例如，${\displaystyle a^{i}\,\!}$。給予一個${\displaystyle n\,\!}$維向量空間${\displaystyle \mathbb {V} \,\!}$和其任意基底${\displaystyle \mathbf {e} =(\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\dots ,\mathbf {e} _{n})\,\!}$（可能不是標準正交基），那麼，向量${\displaystyle \mathbf {a} \,\!}$表示為

${\displaystyle \mathbf {a} =a^{i}\mathbf {e} _{i}={\begin{bmatrix}a^{1}\\a^{2}\\\vdots \\a^{n}\end{bmatrix}}\,\!}$。

餘向量的分量是用下標來標明，例如，${\displaystyle \alpha _{i}\,\!}$。給予${\displaystyle \mathbb {V} \,\!}$的對偶空間${\displaystyle \mathbb {V} ^{*}\,\!}$和其任意基底${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=({\boldsymbol {\omega }}^{1},{\boldsymbol {\omega }}^{2},\dots ,{\boldsymbol {\omega }}^{n})\,\!}$（可能不是標準正交基），那麼，餘向量${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}\,\!}$表示為

${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}=\alpha _{i}{\boldsymbol {\omega }}^{i}={\begin{bmatrix}\alpha _{1}&\alpha _{2}&\cdots &\alpha _{n}\end{bmatrix}}\,\!}$。

採用向量的共變和反變術語，上標表示反變向量（向量）。對於基底的改變，從${\displaystyle \mathbf {e} \,\!}$改變為${\displaystyle {\overline {\mathbf {e} }}\,\!}$，反變向量會變換為

${\displaystyle {\overline {a}}^{i}={\frac {\partial {\overline {x}}^{i}}{\partial x^{j}}}a^{j}\,\!}$；

其中，${\displaystyle {\overline {a}}^{i}\,\!}$是改變基底後的向量的分量，${\displaystyle {\overline {x}}^{i}\,\!}$是改變基底後的坐標，${\displaystyle x^{j}\,\!}$是原先的坐標，

下標表示共變向量（餘向量）。對於基底的改變，從${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\,\!}$改變為${\displaystyle {\overline {\boldsymbol {\omega }}}\,\!}$，共變向量會會變換為

${\displaystyle {\overline {\alpha }}_{i}={\frac {\partial x^{i}}{\partial {\overline {x}}^{j}}}\alpha _{j}\,\!}$。

矩陣${\displaystyle A\,\!}$的第${\displaystyle m\,\!}$橫排，第 ${\displaystyle n\,\!}$豎排的元素，以前標記為${\displaystyle A_{mn}\,\!}$；現在改標記為${\displaystyle A_{n}^{m}\,\!}$。各種一般運算都可以用愛因斯坦標記法來表示如下：

給予向量${\displaystyle \mathbf {a} \,\!}$和餘向量${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}\,\!}$，其向量和餘向量的內積為純量：

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot {\boldsymbol {\alpha }}=a^{i}\alpha _{i}\,\!}$。

給予矩陣${\displaystyle A\,\!}$和向量${\displaystyle \mathbf {a} \,\!}$，它們的乘積是向量${\displaystyle \mathbf {b} \,\!}$：

${\displaystyle b^{i}=A_{j}^{i}a^{j}\,\!}$。

類似地，矩陣${\displaystyle A\,\!}$的轉置矩陣${\displaystyle B=A^{\mathrm {T} }\,\!}$，其與餘向量${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}\,\!}$的乘積是餘向量${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}\,\!}$：

${\displaystyle \beta _{j}=B_{j}^{i}\alpha _{i}=\alpha _{i}B_{j}^{i}\,\!}$。

矩陣乘法表示為

${\displaystyle C_{k}^{i}=A_{j}^{i}\,B_{k}^{j}\,\!}$。

這公式等價於較冗長的普通標記法：

${\displaystyle C_{ik}=(A\,B)_{ik}=\sum _{j=1}^{N}A_{ij}B_{jk}\,\!}$。

給予一個方塊矩陣${\displaystyle A_{j}^{i}\,\!}$，總和所有上標與下標相同的元素${\displaystyle A_{i}^{i}\,\!}$，可以得到這矩陣的跡${\displaystyle t\,\!}$：

${\displaystyle t=A_{i}^{i}\,\!}$。

M維向量${\displaystyle \mathbf {a} \,\!}$和N維餘向量${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}\,\!}$的外積是一個M×N矩陣${\displaystyle A\,\!}$：

${\displaystyle A=\mathbf {a} \,{\boldsymbol {\alpha }}\,\!}$。

採用愛因斯坦標記式，上述方程式可以表示為

${\displaystyle A_{j}^{i}=a^{i}\,\alpha _{j}\,\!}$

由於${\displaystyle i\,\!}$和${\displaystyle j\,\!}$代表兩個不同的標號，在這案例，值域分別為M和N，外積不會除去這兩個標號，而使這兩個標號變成了新矩陣${\displaystyle A\,\!}$的標號。

一般力學及工程學會用互相標準正交基的基底向量${\displaystyle {\hat {\mathbf {i} }}\,\!}$、${\displaystyle {\hat {\mathbf {j} }}\,\!}$及${\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}\,\!}$來描述三維空間的向量。

${\displaystyle \mathbf {u} =u_{x}{\hat {\mathbf {i} }}+u_{y}{\hat {\mathbf {j} }}+u_{z}{\hat {\mathbf {k} }}\,\!}$。

把直角坐標系的基底向量${\displaystyle {\hat {\mathbf {i} }}\,\!}$、${\displaystyle {\hat {\mathbf {j} }}\,\!}$及${\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}\,\!}$寫成${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{1}\,\!}$、${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{2}\,\!}$及${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{3}\,\!}$，所以一個向量可以寫成：

${\displaystyle \mathbf {u} =u_{1}{\hat {\mathbf {e} }}_{1}+u_{2}{\hat {\mathbf {e} }}_{2}+u_{3}{\hat {\mathbf {e} }}_{3}=\sum _{i=1}^{3}u_{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\,\!}$。

根據愛因斯坦求和约定，若單項中有標號出現兩次且分別位於上標及下標，則此項代表著所有可能值之總和：

${\displaystyle \mathbf {u} =u^{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}=\sum _{i=1}^{3}u^{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\,\!}$。

由於基底是標準正交基，${\displaystyle \mathbf {u} \,\!}$的每一個分量${\displaystyle u^{i}=u_{i}\,\!}$，所以，

${\displaystyle \mathbf {u} =\sum _{i=1}^{3}u_{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\,\!}$。

兩個向量${\displaystyle \mathbf {u} \,\!}$與${\displaystyle \mathbf {v} \,\!}$的内积是

${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =(u^{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i})\cdot (v^{j}{\hat {\mathbf {e} }}_{j})=\left(\sum _{i=1}^{3}u_{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\right)\cdot \left(\sum _{j=1}^{3}v_{j}\mathbf {e} _{j}\right)=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}u_{i}v_{j}({\hat {\mathbf {e} }}_{i}\cdot {\hat {\mathbf {e} }}_{j})\,\!}$。

由於基底是標準正交基，基底向量相互正交歸一：

${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{i}\cdot {\hat {\mathbf {e} }}_{j}=\delta _{ij}\,\!}$；

其中，${\displaystyle \ \delta _{ij}\,\!}$就是克羅內克函數。當${\displaystyle i=j\,\!}$時，則${\displaystyle \delta _{ij}=1\,\!}$，否則${\displaystyle \delta _{ij}=0\,\!}$。

邏輯上，在方程式內的任意項目，若遇到了克羅內克函數${\displaystyle \ \delta _{ij}\,\!}$，就可以把方程式中的標號${\displaystyle i\,\!}$轉為${\displaystyle j\,\!}$或者把標號${\displaystyle j\,\!}$轉為${\displaystyle i\,\!}$。所以，

${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}u_{i}v_{j}\delta _{ij}=\sum _{i=1}^{3}u_{i}v_{i}\,\!}$。

採用同樣的標準正交基${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{1}\,\!}$、${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{2}\,\!}$及${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{3}\,\!}$，兩個向量${\displaystyle \mathbf {u} \,\!}$與${\displaystyle \mathbf {v} \,\!}$的叉積，以方程式表示為

${\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =(u^{j}{\hat {\mathbf {e} }}_{j})\times (v^{k}{\hat {\mathbf {e} }}_{k})=\left(\sum _{j=1}^{3}u_{j}{\hat {\mathbf {e} }}_{j}\right)\times \left(\sum _{k=1}^{3}v_{k}{\hat {\mathbf {e} }}_{k}\right)\,\!}$

${\displaystyle =\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}u_{j}v_{k}(\mathbf {e} _{j}\times \mathbf {e} _{k})=\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}u_{j}v_{k}\epsilon _{ijk}\mathbf {e} _{i}\,\!}$。

注意到

${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{j}\times {\hat {\mathbf {e} }}_{k}=\epsilon _{ijk}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\,\!}$；

其中，張量${\displaystyle \ \epsilon _{ijk}\,\!}$是列维-奇维塔符号，定義為

${\displaystyle \epsilon _{ijk}=\epsilon ^{ijk}\ {\stackrel {def}{=}}{\begin{cases}+1\\-1\\0\end{cases}}\,\!}$	，若${\displaystyle (i,j,k)=\,\!}$ ${\displaystyle \{1,2,3\}\,\!}$、${\displaystyle \{2,3,1\}\,\!}$或${\displaystyle \{3,1,2\}\,\!}$ （偶置換）
	，若${\displaystyle (i,j,k)=\,\!}$ ${\displaystyle \{3,2,1\}\,\!}$、${\displaystyle \{2,1,3\}\,\!}$或${\displaystyle \{1,3,2\}\,\!}$（奇置換）
	，若 ${\displaystyle i=j\,\!}$、${\displaystyle j=k\,\!}$或${\displaystyle i=k\,\!}$

所以，

${\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =(u^{2}v^{3}-u^{3}v^{2}){\hat {\mathbf {e} }}_{1}+(u^{3}v^{1}-u^{1}v^{3}){\hat {\mathbf {e} }}_{2}+(u^{1}v^{2}-u^{2}v^{1}){\hat {\mathbf {e} }}_{3}\,\!}$。

設定${\displaystyle \mathbf {w} =\mathbf {u} \times \mathbf {v} \,\!}$，那麼，

${\displaystyle w^{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}=\epsilon ^{ijk}u_{j}v_{k}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\,\!}$。

所以，

${\displaystyle \ w^{i}=\epsilon ^{ijk}u_{j}v_{k}\,\!}$。

在歐幾里得空間${\displaystyle \mathbb {V} \,\!}$裏，共變向量和反變向量之間的區分很小。這是因為能夠使用內積運算從向量求得餘向量；對於所有向量${\displaystyle \mathbf {b} \,\!}$，通過下述方程式，向量${\displaystyle \mathbf {a} \,\!}$唯一地確定了餘向量${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}\,\!}$：

${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}(\mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \,\!}$。

逆過來，通過上述方程式，每一個餘向量${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}\,\!}$唯一地確定了向量${\displaystyle \mathbf {a} \,\!}$。由於這向量與餘向量的相互辨認，我們可以提到向量的共變分量和反變分量；也就是說，它們只是同樣向量對於基底和其對偶基底的不同表現。

給予${\displaystyle \mathbb {V} \,\!}$的一個基底${\displaystyle {\mathfrak {f}}=(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})\,\!}$，則必存在一個唯一的對偶基底${\displaystyle {\mathfrak {f}}^{\sharp }=(Y^{1},Y^{2},\dots ,Y^{n})\,\!}$，滿足

${\displaystyle Y^{i}\cdot X_{j}=\delta _{j}^{i}\,\!}$；

其中，張量${\displaystyle \delta _{j}^{i}\,\!}$是克羅內克函數。

以這兩種基底，任意向量${\displaystyle \mathbf {a} \,\!}$可以寫為兩種形式

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=\sum _{i}a^{i}X_{i}={\mathfrak {f}}\,\mathbf {a} \\&=\sum _{i}a_{i}Y^{i}={\mathfrak {f}}^{\sharp }\,\mathbf {a} \end{aligned}}\,\!}$ ；

其中，${\displaystyle a^{i}\,\!}$是向量${\displaystyle \mathbf {a} \,\!}$對於基底${\displaystyle {\mathfrak {f}}\,\!}$的反變分量，${\displaystyle a_{i}\,\!}$是向量${\displaystyle \mathbf {v} \,\!}$對於基底${\displaystyle {\mathfrak {f}}\,\!}$的共變分量，

歐幾里得空間

將向量${\displaystyle \mathbf {a} \,\!}$ 投影於坐標軸${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}\,\!}$，可以求得其反變分量${\displaystyle a^{i}\,\!}$；將向量${\displaystyle \mathbf {a} \,\!}$投影於坐標曲面的法線${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\,\!}$，可以求得其共變分量${\displaystyle a_{i}\,\!}$。

在歐幾里得空間${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\,\!}$裏，使用內積運算，能夠從向量求得餘向量。給予一個可能不是標準正交基的基底，其基底向量為${\displaystyle \mathbf {e} _{1}\,\!}$、${\displaystyle \mathbf {e} _{2}\,\!}$、${\displaystyle \mathbf {e} _{3}\,\!}$，就可以計算其對偶基底的基底向量：

${\displaystyle \mathbf {e} ^{1}={\frac {\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}}{\tau }};\qquad \mathbf {e} ^{2}={\frac {\mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{1}}{\tau }};\qquad \mathbf {e} ^{3}={\frac {\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}}{\tau }}\,\!}$；

其中，${\displaystyle \tau =\mathbf {e} _{1}\cdot (\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3})\,\!}$是基底向量${\displaystyle \mathbf {e} _{1}\,\!}$、${\displaystyle \mathbf {e} _{2}\,\!}$、${\displaystyle \mathbf {e} _{3}\,\!}$共同形成的平行六面體的體積。

反過來計算，

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}={\frac {\mathbf {e} ^{2}\times \mathbf {e} ^{3}}{\tau '}};\qquad \mathbf {e} _{2}={\frac {\mathbf {e} ^{3}\times \mathbf {e} ^{1}}{\tau '}};\qquad \mathbf {e} _{3}={\frac {\mathbf {e} ^{1}\times \mathbf {e} ^{2}}{\tau '}}\,\!}$；

其中，${\displaystyle \tau '=\mathbf {e} ^{1}\cdot (\mathbf {e} ^{2}\times \mathbf {e} ^{3})=1/\tau \,\!}$是基底向量${\displaystyle \mathbf {e} ^{1}\,\!}$、${\displaystyle \mathbf {e} ^{2}\,\!}$、${\displaystyle \mathbf {e} ^{3}\,\!}$共同形成的平行六面體的體積。

雖然${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\,\!}$與${\displaystyle \mathbf {e} ^{j}\,\!}$並不相互標準正交，它們相互對偶：

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} ^{j}=\delta _{i}^{j}\,\!}$。

雖然${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}\,\!}$與${\displaystyle \mathbf {e} _{j}\,\!}$並不相互標準正交，它們相互對偶：

${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{j}^{i}\,\!}$。

這樣，任意向量${\displaystyle \mathbf {a} \,\!}$的反變分量為

${\displaystyle a^{1}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} ^{1};\qquad a^{2}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} ^{2};\qquad a^{3}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} ^{3}\,\!}$。

類似地，共變分量為

${\displaystyle a_{1}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{1};\qquad a_{2}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{2};\qquad a_{3}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{3}\,\!}$。

這樣，${\displaystyle \mathbf {a} \,\!}$可以表示為

${\displaystyle \mathbf {a} =a_{i}\mathbf {e} ^{i}=a_{1}\mathbf {e} ^{1}+a_{2}\mathbf {e} ^{2}+a_{3}\mathbf {e} ^{3}\,\!}$，

或者，

${\displaystyle \mathbf {a} =a^{i}\mathbf {e} _{i}=a^{1}\mathbf {e} _{1}+a^{2}\mathbf {e} _{2}+a^{3}\mathbf {e} _{3}\,\!}$。

綜合上述關係式，

${\displaystyle \mathbf {a} =(\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{i})\mathbf {e} ^{i}=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} ^{i})\mathbf {e} _{i}\,\!}$。

向量${\displaystyle \mathbf {a} \,\!}$的共變分量為

${\displaystyle a_{i}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{i}=(a^{j}\mathbf {e} _{j})\cdot \mathbf {e} _{i}=(\mathbf {e} _{j}\cdot \mathbf {e} _{i})a^{j}=g_{ji}a^{j}\,\!}$；

其中，${\displaystyle g_{ji}=\mathbf {e} _{j}\cdot \mathbf {e} _{i}\,\!}$是度規張量。

向量${\displaystyle \mathbf {a} \,\!}$的反變分量為

${\displaystyle a^{i}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} ^{i}=(a_{j}\mathbf {e} ^{j})\cdot \mathbf {e} ^{i}=(\mathbf {e} ^{j}\cdot \mathbf {e} ^{i})a_{j}=g^{ji}a_{j}\,\!}$ ;

其中，${\displaystyle g^{ji}=\mathbf {e} ^{j}\cdot \mathbf {e} ^{i}\,\!}$是共軛度規張量。

共變分量的標號是下標，反變分量的標號是上標。假若共變基底向量組成的基底是標準正交基，或反變基底向量組成的基底是標準正交基，則共變基底與反變基底相互等價。那麼，就沒有必要分辨共變分量和反變分量，所有的標號都可以用下標來標記。

將向量${\displaystyle \mathbf {a} \,\!}$ 投影於坐標軸${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}\,\!}$，可以求得其反變分量${\displaystyle a^{i}\,\!}$；將向量${\displaystyle \mathbf {a} \,\!}$投影於坐標曲面的法線${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\,\!}$，可以求得其共變分量${\displaystyle a_{i}\,\!}$。

在歐幾里得空間${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\,\!}$裏，使用內積運算，能夠從向量求得餘向量。給予一個可能不是標準正交基的基底，其基底向量為${\displaystyle \mathbf {e} _{1}\,\!}$、${\displaystyle \mathbf {e} _{2}\,\!}$、${\displaystyle \mathbf {e} _{3}\,\!}$，就可以計算其對偶基底的基底向量：

${\displaystyle \mathbf {e} ^{1}={\frac {\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}}{\tau }};\qquad \mathbf {e} ^{2}={\frac {\mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{1}}{\tau }};\qquad \mathbf {e} ^{3}={\frac {\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}}{\tau }}\,\!}$；

其中，${\displaystyle \tau =\mathbf {e} _{1}\cdot (\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3})\,\!}$是基底向量${\displaystyle \mathbf {e} _{1}\,\!}$、${\displaystyle \mathbf {e} _{2}\,\!}$、${\displaystyle \mathbf {e} _{3}\,\!}$共同形成的平行六面體的體積。

反過來計算，

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}={\frac {\mathbf {e} ^{2}\times \mathbf {e} ^{3}}{\tau '}};\qquad \mathbf {e} _{2}={\frac {\mathbf {e} ^{3}\times \mathbf {e} ^{1}}{\tau '}};\qquad \mathbf {e} _{3}={\frac {\mathbf {e} ^{1}\times \mathbf {e} ^{2}}{\tau '}}\,\!}$；

其中，${\displaystyle \tau '=\mathbf {e} ^{1}\cdot (\mathbf {e} ^{2}\times \mathbf {e} ^{3})=1/\tau \,\!}$是基底向量${\displaystyle \mathbf {e} ^{1}\,\!}$、${\displaystyle \mathbf {e} ^{2}\,\!}$、${\displaystyle \mathbf {e} ^{3}\,\!}$共同形成的平行六面體的體積。

雖然${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\,\!}$與${\displaystyle \mathbf {e} ^{j}\,\!}$並不相互標準正交，它們相互對偶：

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} ^{j}=\delta _{i}^{j}\,\!}$。

雖然${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}\,\!}$與${\displaystyle \mathbf {e} _{j}\,\!}$並不相互標準正交，它們相互對偶：

${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{j}^{i}\,\!}$。

這樣，任意向量${\displaystyle \mathbf {a} \,\!}$的反變分量為

${\displaystyle a^{1}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} ^{1};\qquad a^{2}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} ^{2};\qquad a^{3}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} ^{3}\,\!}$。

類似地，共變分量為

${\displaystyle a_{1}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{1};\qquad a_{2}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{2};\qquad a_{3}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{3}\,\!}$。

這樣，${\displaystyle \mathbf {a} \,\!}$可以表示為

${\displaystyle \mathbf {a} =a_{i}\mathbf {e} ^{i}=a_{1}\mathbf {e} ^{1}+a_{2}\mathbf {e} ^{2}+a_{3}\mathbf {e} ^{3}\,\!}$，

或者，

${\displaystyle \mathbf {a} =a^{i}\mathbf {e} _{i}=a^{1}\mathbf {e} _{1}+a^{2}\mathbf {e} _{2}+a^{3}\mathbf {e} _{3}\,\!}$。

綜合上述關係式，

${\displaystyle \mathbf {a} =(\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{i})\mathbf {e} ^{i}=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} ^{i})\mathbf {e} _{i}\,\!}$。

向量${\displaystyle \mathbf {a} \,\!}$的共變分量為

${\displaystyle a_{i}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{i}=(a^{j}\mathbf {e} _{j})\cdot \mathbf {e} _{i}=(\mathbf {e} _{j}\cdot \mathbf {e} _{i})a^{j}=g_{ji}a^{j}\,\!}$；

其中，${\displaystyle g_{ji}=\mathbf {e} _{j}\cdot \mathbf {e} _{i}\,\!}$是度規張量。

向量${\displaystyle \mathbf {a} \,\!}$的反變分量為

${\displaystyle a^{i}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} ^{i}=(a_{j}\mathbf {e} ^{j})\cdot \mathbf {e} ^{i}=(\mathbf {e} ^{j}\cdot \mathbf {e} ^{i})a_{j}=g^{ji}a_{j}\,\!}$ ;

其中，${\displaystyle g^{ji}=\mathbf {e} ^{j}\cdot \mathbf {e} ^{i}\,\!}$是共軛度規張量。

共變分量的標號是下標，反變分量的標號是上標。假若共變基底向量組成的基底是標準正交基，或反變基底向量組成的基底是標準正交基，則共變基底與反變基底相互等價。那麼，就沒有必要分辨共變分量和反變分量，所有的標號都可以用下標來標記。

思考維度為${\displaystyle n\,\!}$的向量空間${\displaystyle \mathbb {V} \,\!}$。給予一個可能不是標準正交基的基底${\displaystyle (\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\dots ,\mathbf {e} _{n})\,\!}$。那麼，在${\displaystyle \mathbb {V} \,\!}$內的向量${\displaystyle \mathbf {v} \,\!}$，對於這基底，其分量為${\displaystyle v^{1}\,\!}$、${\displaystyle v^{2}\,\!}$、...${\displaystyle v^{n}\,\!}$。以方程式表示，

${\displaystyle \mathbf {v} =v^{i}\mathbf {e} _{i}.\,\!}$。

在這方程式右手邊，標號${\displaystyle i\,\!}$在同一項目出現了兩次，一次是上標，一次是下標，因此，從${\displaystyle i\,\!}$等於${\displaystyle 1\,\!}$到${\displaystyle n\,\!}$，這項目的每一個可能值都必須總和在一起。

愛因斯坦約定的優點是，它可以應用於從${\displaystyle \mathbb {V} \,\!}$用張量積和對偶性建立的向量空間。例如，${\displaystyle \mathbb {V} \otimes \mathbb {V} \,\!}$，${\displaystyle \mathbb {V} \,\!}$與自己的張量積，擁有由形式為${\displaystyle \mathbf {e} _{ij}=\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\,\!}$的張量組成的基底。任意在${\displaystyle \mathbb {V} \otimes \mathbb {V} \,\!}$內的張量${\displaystyle \mathbf {T} \,\!}$可以寫為

${\displaystyle \mathbf {T} =T^{ij}\mathbf {e} _{ij}\,\!}$。

向量空間${\displaystyle \mathbb {V} \,\!}$的對偶空間${\displaystyle \mathbb {V} ^{*}\,\!}$擁有基底${\displaystyle (\mathbf {e} ^{1},\mathbf {e} ^{2},\dots ,\mathbf {e} ^{n})\,\!}$，遵守規則

${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{j}^{i}\,\!}$；

其中，${\displaystyle \delta _{j}^{i}\,\!}$是克羅內克函數。

為了更明確地解釋愛因斯坦求和約定，在這裏給出幾個簡單的例子。

• 思考四維時空，標號的值是從0到3。兩個張量，經過張量縮併（）運算後，變為一個純量：

${\displaystyle c=a^{\mu }b_{\mu }=a^{0}b_{0}+a^{1}b_{1}+a^{2}b_{2}+a^{3}b_{3}\,\!}$。

• 方程式的右手邊有兩個項目：

${\displaystyle c^{\nu }=a^{\mu \nu }b_{\mu }+f^{\nu }=a^{0\nu }b_{0}+a^{1\nu }b_{1}+a^{2\nu }b_{2}+a^{3\nu }b_{3}+f^{\nu }\,\!}$。

由於運算結果與標號${\displaystyle \mu \,\!}$和${\displaystyle \nu \,\!}$無關，可以被其它標號隨意更換，所以，${\displaystyle \mu \,\!}$和${\displaystyle \nu \,\!}$稱為傀標號。

自由標號是沒有被總和的標號。自由標號應該出現於方程式的每一個項目裏，而且在每一個項目裏只出現一次。在上述方程式裏，${\displaystyle \nu \,\!}$是自由標號，每一個項目都必須有同樣的自由標號。注意到在項目${\displaystyle a^{\mu \nu }b_{\mu }\,\!}$裏，標號${\displaystyle \mu \,\!}$出現了兩次，一次是上標，一次是下標，所以，這項目的所有可能值都必須總和在一起。稱${\displaystyle \mu \,\!}$為求和標號。

• 思考在黎曼空間的弧線元素長度${\displaystyle ds\,\!}$：

${\displaystyle ds^{2}=g_{ij}dx^{i}dx^{j}=g_{0j}dx^{0}dx^{j}+g_{1j}dx^{1}dx^{j}+g_{2j}dx^{2}dx^{j}+g_{3j}dx^{3}dx^{j}\,\!}$。請將這兩種標號跟自由變量和約束變量相比較。

進一步擴展，

${\displaystyle ds^{2}=g_{00}dx^{0}dx^{0}+g_{10}dx^{1}dx^{0}+g_{20}dx^{2}dx^{0}+g_{30}dx^{3}dx^{0}\,\!}$

${\displaystyle \qquad +g_{01}dx^{0}dx^{1}+g_{11}dx^{1}dx^{1}+g_{21}dx^{2}dx^{1}+g_{31}dx^{3}dx^{1}\,\!}$

${\displaystyle \qquad +g_{02}dx^{0}dx^{2}+g_{12}dx^{1}dx^{2}+g_{22}dx^{2}dx^{2}+g_{32}dx^{3}dx^{2}\,\!}$

${\displaystyle \qquad +g_{03}dx^{0}dx^{3}+g_{13}dx^{1}dx^{3}+g_{23}dx^{2}dx^{3}+g_{33}dx^{3}dx^{3}\,\!}$。

注意到${\displaystyle ds^{2}\,\!}$是${\displaystyle ds\,\!}$乘以${\displaystyle ds\,\!}$，是${\displaystyle (ds)^{2}\,\!}$，而不是${\displaystyle (s^{2})\,\!}$坐標的微小元素。當有疑慮時，可以用括號來分歧義。

• 狄拉克標記
• 抽象指标记号
• 潘洛斯圖形標記法（）

• Rawlings, Steve, (PDF), Oxford University, 2007-02-01 , （原始内容 (PDF)存档于2017-01-06）