不可克隆原理

为了证明不可克隆原理，我们首先假定，存在一个系统能够完全拷贝任意的量子比特。

${\displaystyle |\phi \rangle }$ 和 ${\displaystyle |\psi \rangle }$ 是两个任意的量子状态，我们要把这两个状态拷贝到另一个与他们完全无关的状态${\displaystyle |k\rangle }$上。我们用一个幺正算符${\displaystyle U}$来描述这个过程。则这个拷贝算符必须具备以下性质：

${\displaystyle U(|\phi \rangle \otimes |k\rangle )=|\phi \rangle \otimes |\phi \rangle }$

${\displaystyle U(|\psi \rangle \otimes |k\rangle )=|\psi \rangle \otimes |\psi \rangle }$

内积${\displaystyle \langle U(\phi \otimes k)|U(\psi \otimes k)\rangle }$可得出以下两个等式：

${\displaystyle \langle U(\phi \otimes k)|U(\psi \otimes k)\rangle =\langle \phi \otimes \phi |\psi \otimes \psi \rangle }$

${\displaystyle \langle U(\phi \otimes k)|U(\psi \otimes k)\rangle =\langle \phi \otimes k|\psi \otimes k\rangle }$

这样便得到了：

${\displaystyle \langle \phi \otimes \phi |\psi \otimes \psi \rangle =\langle \phi \otimes k|\psi \otimes k\rangle ,}$

${\displaystyle {\to }}$

${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle \langle \phi |\psi \rangle =\langle \phi |\psi \rangle \langle k|k\rangle \,.}$

因为${\displaystyle \langle k|k\rangle =1}$，所以得出

${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle ^{2}=\langle \phi |\psi \rangle .}$

这个等式仅有的两个解是${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle =0}$ 和 ${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle =1}$。这意味着，要么 ${\displaystyle \phi =\psi }$ （当 ${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle =1}$），要么 ${\displaystyle \phi }$ 与 ${\displaystyle \psi }$ 正交（当 ${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle =0}$)。只能够克隆相同或正交的状态，这并不是我们最初假设的任意状态的完全克隆，不可克隆原理证明完毕。

无法从${\displaystyle |\psi \rangle }$造出${\displaystyle |\psi \rangle |\psi \rangle }$。

设状态${\displaystyle |\psi \rangle =a|0\rangle +b|1\rangle }$。 则${\displaystyle |\psi \rangle |\psi \rangle =a^{2}|00\rangle +ab|01\rangle +ab|10\rangle +b^{2}|11\rangle }$

把${\displaystyle |\psi \rangle }$与${\displaystyle |0\rangle }$ 作为输入：

${\displaystyle |\psi \rangle |0\rangle ={\bigg (}a|0\rangle +b|1\rangle {\bigg )}|0\rangle =a|00\rangle +b|10\rangle }$

经过受控反閘，输出:

${\displaystyle a|00\rangle +b|11\rangle }$

这与${\displaystyle |\psi \rangle |\psi \rangle }$ 并不相等，状态没有被复制。

• W.K. Wootters and W.H. Zurek, A Single Quantum Cannot be Cloned, Nature 299 (1982), pp. 802–803.
• D. Dieks, Communication by EPR devices, Physics Letters A, vol. 92(6) (1982), pp. 271–272.
• V. Buzek and M. Hillery, Quantum cloning, Physics World 14 (11) (2001), pp. 25–29.