受控反闸

所涉及的兩個量子位元間，一是控制(量子)位元(control qubit)是|0>，另一是受控的目標位元(target qubit)保持原狀態；當控制位元是|1>，則目標位元的|0>成分變為|1>，而|1>成分變為|0>。

寫成通式，若c表示控制而t表示目標：

${\displaystyle (a|0\rangle +b|1\rangle )_{c}\otimes (\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle )_{t}}$

${\displaystyle =a|0\rangle _{c}\otimes \alpha |0\rangle _{t}+a|0\rangle _{c}\otimes \beta |1\rangle _{t}+b|1\rangle _{c}\otimes \alpha |0\rangle _{t}+b|1\rangle _{c}\otimes \beta |1\rangle _{t}}$

${\displaystyle =a\alpha |00\rangle _{ct}+a\beta |01\rangle _{ct}+b\alpha |10\rangle _{ct}+b\beta |11\rangle _{ct}}$

可以寫成張量積的形式，或者拆開來。若經過CNOT的作用： ${\displaystyle {CNOT}\rightarrow a|0\rangle _{c}\otimes \alpha |0\rangle _{t}+a|0\rangle _{c}\otimes \beta |1\rangle _{t}+b|1\rangle _{c}\otimes \alpha |1\rangle +b|1\rangle _{c}\otimes \beta |0\rangle _{t}}$

${\displaystyle =a\alpha |00\rangle _{ct}+a\beta |01\rangle _{ct}+b\alpha |11\rangle _{ct}+b\beta |10\rangle _{ct}}$

就一般式子而言不能再寫回c和t拆開為張量積的形式${\displaystyle |\Psi \rangle _{c}\otimes |\Phi \rangle _{t}}$，這是量子纏結的來源表徵。

若${\displaystyle |0\rangle }$以${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$且${\displaystyle |1\rangle }$以${\displaystyle {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}$表示，則可將CNOT寫為：

${\displaystyle {CNOT}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{pmatrix}}}$

操作例子：${\displaystyle {CNOT}|10\rangle ={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}}=|11\rangle }$

CNOT維持|00〉 、|01〉，而將|10〉變|11〉、|11〉變|10〉的特性，相似於古典的互斥或閘(exclusive OR, XOR)維持00、01，將10變11、11變10。

• Michael Westmoreland: "Isolation and information flow in quantum dynamics" - discussion around the C_not gate（页面存档备份，存于）