黎纳-维谢势

經典電動力學的研究，關鍵地助導阿爾伯特·愛因斯坦發展出相對論。愛因斯坦細心地分析黎納-維謝勢和電磁波傳播，所累積的心得，引領他想出在狹義相對論裏對於時間和空間的概念。經典電動力學表述是一個重要的發射台，使得物理學家能夠飛航至更複雜的相對論性粒子運動的學術領域。

雖然經典電動力學表述的黎納-維謝勢，可以很準確地描述，獨立移動中的帶電粒子的物理行為，但是在原子層次，這表述遭到嚴峻的考驗，無法給出正確地答案。為此緣故，物理學家感到異常困惑，因而引發了量子力學的創立

對於粒子發射電磁輻射的能力，量子力學又添加了許多新限制。經典電動力學表述，表達於黎納-維謝勢的方程式，明顯地違背了實驗觀測到的現象。例如，經典電動力學表述所預測的，環繞著原子不停運動的電子，由於連續不斷地呈加速度狀態，應該會不停地發射電磁輻射；但是，實際實驗觀測到的現象是，穩定的原子不會發射任何電磁輻射。經過研究論證，物理學家發現，電磁輻射的發射完全源自於電子軌域的離散能級的躍遷（參閱波耳原子）。在二十世紀後期，經過多年的改進與突破，量子電動力學成功地解釋了帶電粒子的放射行為。

帶電粒子的移動軌道。

假設，從源頭位置${\displaystyle \mathbf {r} '\,\!}$往檢驗位置${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$發射出一束電磁波，而這束電磁波在檢驗時間${\displaystyle t\,\!}$抵達觀測者的檢驗位置${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$，則這束電磁波發射的時間是推遲時間${\displaystyle t_{r}\,\!}$。由於電磁波傳播於真空的速度是有限的，觀測者檢驗到電磁波的檢驗時間${\displaystyle t\,\!}$，會不同於這電磁波發射的推遲時間${\displaystyle t_{r}\,\!}$。推遲時間 ${\displaystyle t_{r}\,\!}$定義為檢驗時間${\displaystyle t\,\!}$減去電磁波傳播的時間：

${\displaystyle t_{r}\ {\stackrel {def}{=}}\ t-{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}\,\!}$；

其中，${\displaystyle c\,\!}$是光速。

推遲時間的概念意味著電磁波的傳播不是瞬時的。電磁波從發射位置傳播到終點位置，需要一段傳播期間，稱為時間延遲。與日常生活的速度來比，電磁波傳播的速度相當快。因此，對於小尺寸系統，這時間延遲，通常很難察覺。例如，從開啟電燈泡到這電燈泡的光波抵達到觀測者的雙眼，所經過的時間延遲，只有幾兆分之一秒。但是，對於大尺寸系統，像太陽照射陽光到地球，時間延遲大約為8分鐘，可以經過實驗偵測察覺。

假設，一個移動中的帶電粒子，所帶電荷為${\displaystyle q\,\!}$，隨著時間${\displaystyle t\,\!}$而改變的運動軌道為${\displaystyle \mathbf {w} (t)\,\!}$。設定向量${\displaystyle {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}\,\!}$為從帶電粒子位置${\displaystyle \mathbf {r} '=\mathbf {w} (t)\,\!}$到檢驗位置${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$的分離向量：

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}=\mathbf {r} -\mathbf {r} '=\mathbf {r} -\mathbf {w} (t)\,\!}$。

則黎納-維謝純量勢${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)\,\!}$和黎納-維謝向量勢${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)\,\!}$分別以方程式表達為

${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {qc}{{\mathfrak {R}}c-{\boldsymbol {\mathfrak {R}}}\cdot \mathbf {v} }}\,\!}$、

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {\mathbf {v} }{c^{2}}}\Phi (\mathbf {r} ,\,t)\,\!}$；

其中，${\displaystyle \epsilon _{0}\,\!}$是真空電容率，${\displaystyle \mathbf {v} \,\!}$是帶電粒子的移動速度，${\displaystyle \mathbf {v} (t)={\frac {d\mathbf {w} }{dt}}\,\!}$。

雖然黎納-維謝純量勢${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)\,\!}$和黎納-維謝向量勢${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)\,\!}$的時間參數是${\displaystyle t\,\!}$，方程式右手邊的幾個變數，帶電粒子位置${\displaystyle \mathbf {r} '\,\!}$和速度${\displaystyle \mathbf {v} \,\!}$都是採推遲時間${\displaystyle t_{r}\,\!}$時的數值：

${\displaystyle \mathbf {r} '=\mathbf {w} (t_{r})\,\!}$、

${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {v} (t_{r})\,\!}$。

從推遲勢，可以推導出黎納-維謝勢。推遲純量勢${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)\,\!}$與推遲向量勢${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)\,\!}$分別以方程式定義為（參閱推遲勢）

${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{{\mathcal {V}}'}{\frac {\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{\mathfrak {R}}}\,d^{3}\mathbf {r} '\,\!}$、

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{{\mathcal {V}}'}{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{\mathfrak {R}}}\,d^{3}\mathbf {r} '\,\!}$；

其中，${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})\,\!}$和${\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {r} ',\,t_{r})\,\!}$分别是推迟时刻的电荷密度和電流密度，${\displaystyle {\mathcal {V}}'\,\!}$是積分的體空間，${\displaystyle d^{3}\mathbf {r} '\,\!}$是微小體元素，${\displaystyle {\mathfrak {R}}\,\!}$向量還是採推遲時間${\displaystyle t_{r}\,\!}$時的數值。

帶電粒子運動軌道的電荷密度可以用狄拉克δ函數表達為

${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ,\,t)=q\delta (\mathbf {r} -\mathbf {w} (t))\,\!}$；

其中，${\displaystyle \delta (\mathbf {r} -\mathbf {w} (t))\,\!}$是狄拉克δ函數。

代入推遲純量勢${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)\,\!}$的方程式，

${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{{\mathcal {V}}'}{\frac {\delta (\mathbf {r} '-\mathbf {w} (t_{r}))}{\mathfrak {R}}}\,d^{3}\mathbf {r} '\,\!}$。

由於狄拉克δ函數${\displaystyle \delta (\mathbf {r} '-\mathbf {w} (t_{r}))\,\!}$的積分會從${\displaystyle \mathbf {r} '\,\!}$的可能值中，挑選出當${\displaystyle \mathbf {r} '=\mathbf {w} (t_{r})\,\!}$時，所有變數的數值。所以，在積分內的變數，都可以被提出積分，採推遲時間${\displaystyle \mathbf {r} '=\mathbf {w} (t_{r})\,\!}$時所計算出的數值。積分內，只剩下狄拉克δ函數等待進一步處理：

${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}{\mathfrak {R}}}}\int _{{\mathcal {V}}'}\delta (\mathbf {r} '-\mathbf {w} (t_{r}))\,d^{3}\mathbf {r} '\,\!}$。

由於推遲時間${\displaystyle t_{r}\,\!}$跟三個變數${\displaystyle t\,\!}$、${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$、${\displaystyle \mathbf {r} '\,\!}$有關，這積分比較難計算，需要使用換元積分法。設定變數${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}=\mathbf {r} '-\mathbf {w} (t_{r})\,\!}$。那麼，其雅可比行列式${\displaystyle {\mathfrak {J}}\,\!}$為

${\displaystyle {\mathfrak {J}}={\cfrac {\partial {\boldsymbol {\eta }}}{\partial \mathbf {r} '}}={\begin{vmatrix}{\cfrac {\partial \eta _{x}}{\partial x'}}&{\cfrac {\partial \eta _{x}}{\partial y'}}&{\cfrac {\partial \eta _{x}}{\partial z'}}\\{\cfrac {\partial \eta _{y}}{\partial x'}}&{\cfrac {\partial \eta _{y}}{\partial y'}}&{\cfrac {\partial \eta _{y}}{\partial z'}}\\{\cfrac {\partial \eta _{z}}{\partial x'}}&{\cfrac {\partial \eta _{z}}{\partial y'}}&{\cfrac {\partial \eta _{z}}{\partial z'}}\\\end{vmatrix}}\,\!}$。

行列式內分量很容易計算，例如：

${\displaystyle {\cfrac {\partial \eta _{x}}{\partial x'}}=1-{\cfrac {\partial w_{x}}{\partial x'}}=1-{\cfrac {\partial w_{x}}{\partial t_{r}}}\ {\cfrac {\partial t_{r}}{\partial x'}}=1-v_{x}{\cfrac {\partial t_{r}}{\partial x'}}\,\!}$、

${\displaystyle {\cfrac {\partial \eta _{y}}{\partial x'}}={\cfrac {\partial w_{y}}{\partial x'}}={\cfrac {\partial w_{y}}{\partial t_{r}}}\ {\cfrac {\partial t_{r}}{\partial x'}}=v_{y}{\cfrac {\partial t_{r}}{\partial x'}}\,\!}$。

按照上述方法，經過一番計算，可以得到

${\displaystyle {\mathfrak {J}}=1-\mathbf {v} \cdot \nabla 't_{r}=1-{\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}\cdot \mathbf {v} /c\,\!}$。

所以，推遲純量勢${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)\,\!}$的方程式變為

${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}{\mathfrak {R}}}}\int _{{\mathcal {V}}'}\delta ({\boldsymbol {\eta }}){\cfrac {\partial \mathbf {r} '}{\partial {\boldsymbol {\eta }}}}\,d^{3}{\boldsymbol {\eta }}={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}{\mathfrak {R}}}}\int _{{\mathcal {V}}'}{\cfrac {\delta ({\boldsymbol {\eta }})}{\mathfrak {J}}}\,d^{3}{\boldsymbol {\eta }}={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}{\mathfrak {R}}}}\int _{{\mathcal {V}}'}{\cfrac {\delta ({\boldsymbol {\eta }})}{1-{\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}\cdot \mathbf {v} /c}}\,d^{3}{\boldsymbol {\eta }}\,\!}$。

這樣，可以得到黎納-維謝純量勢：

${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {qc}{{\mathfrak {R}}c-{\boldsymbol {\mathfrak {R}}}\cdot \mathbf {v} }}\,\!}$。

類似地，也可以推導出黎納-維謝向量勢。

从推迟势的表达式可以看出它只依赖于推迟时刻源点的速度，而不依赖于源点的加速度，所以通过电磁势的洛仑兹变换也可以推导出黎納-维谢势。考虑一个在推迟时刻瞬时速度与电荷运动速度相同的惯性系，记作${\displaystyle S^{\prime }}$。在${\displaystyle S^{\prime }}$系中，电荷在推迟时刻的速度为零（虽然加速度未必为零），其标势应由库仑定律给出，矢势为零。^:165ff

${\displaystyle \phi '={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}{\mathfrak {R}}'}}}$、

${\displaystyle A'=0}$。

标势和矢势从${\displaystyle S^{\prime }}$系到${\displaystyle S}$系的变换满足洛仑兹变换：

${\displaystyle \phi =\gamma (\phi '-c\beta A')}$、

${\displaystyle A=\gamma (-A'+\beta \phi '/c)}$；

其中，${\displaystyle \gamma }$是洛仑兹因子，${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}=\mathbf {v} /c}$。

代入后可以得到：

${\displaystyle \phi ={\frac {\gamma q}{4\pi \epsilon _{0}{\mathfrak {R}}'}}}$、

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\frac {\gamma q{\boldsymbol {\beta }}}{4\pi \epsilon _{0}{\mathfrak {R}}'c}}}$。

${\displaystyle {\mathfrak {R}}'}$和${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$的变换关系也由洛仑兹变换给出：

${\displaystyle {\mathfrak {R}}'=c\Delta t'=c\gamma (\Delta t-{\boldsymbol {\beta }}\cdot {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}/c)=\gamma ({\mathfrak {R}}-{\boldsymbol {\beta }}\cdot {\boldsymbol {\mathfrak {R}}})}$

将${\displaystyle {\mathfrak {R}}'}$的表达式代入即得到黎納-维谢势。

對於固定不動的帶電粒子，電勢的方程式為

${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {q}{\mathfrak {R}}}\,\!}$。

這是黎納-維謝純量勢乘以雅可比行列式因子${\displaystyle {\mathfrak {J}}\,\!}$。追根究柢，原因是移動中的帶電粒子，雖然理論上是點粒子，但是由於它是在移動中，在積分裏所佔有的體積顯得比較大，所帶的電荷因此比較多，所以產生的電勢不同。这也可以看作是一种多普勒效应。

從黎納-維謝勢，可以計算電場${\displaystyle \mathbf {E} \,\!}$和磁場${\displaystyle \mathbf {B} \,\!}$：

${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \Phi -{\dfrac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\,\!}$、

${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} \,\!}$。

求得的電場${\displaystyle \mathbf {E} \,\!}$和磁場${\displaystyle \mathbf {B} \,\!}$分別為

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\cfrac {\mathfrak {R}}{({\boldsymbol {\mathfrak {R}}}\cdot \mathbf {u} )^{3}}}\,\!}$、

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {1}{c}}{\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}\times \mathbf {E} (\mathbf {r} ,\,t)\,\!}$ ;

其中，向量${\displaystyle \mathbf {u} \,\!}$設定為${\displaystyle c{\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}-\mathbf {v} \,\!}$，帶電粒子的加速度是${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\,\!}$。

檢查電場${\displaystyle \mathbf {E} \,\!}$的方程式，右邊第一項稱為廣義庫侖場，又稱為速度場，因為這項目與加速度無關。當${\displaystyle v\ll c\,\!}$，粒子速度超小於光速時，${\displaystyle \mathbf {u} \to c{\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}\,\!}$，這項目會趨向庫侖方程式：

${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}{{\mathfrak {R}}^{2}}}\,\!}$。

右邊第二項稱為輻射場，又稱為加速度場，因為這項目的物理行為主要是由粒子的加速度決定。這個項目能夠描述電磁輻射的生成程序。

• 電磁波方程式
• 非齊次的電磁波方程式
• 傑斐緬柯方程式
• 拉莫方程式
• 阿布拉罕-勞侖茲力
• 電磁場的數學表述

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