转动惯量

飛輪擁有很大的轉動慣量，可以用來使機械運轉順滑

對於一個質點，${\displaystyle I=mr^{2}}$，其中${\displaystyle m}$是其質量，${\displaystyle r}$是質點和轉軸的垂直距離。

對於一個有多個質點的系統，${\displaystyle I=\sum _{i=1}^{N}{m_{i}r_{i}^{2}}}$。

对于剛體，可以用無限個質點的轉動慣量和，即用積分計算其轉動慣量，${\displaystyle I=\int {\rho r^{2}}dV}$，其中${\displaystyle \rho }$是密度，${\displaystyle dV}$是微量體積。

在直線運動，${\displaystyle F=ma}$。在旋轉運動，則有${\displaystyle {\tau }=I{\alpha }}$，其中${\displaystyle {\tau }}$是力矩，${\displaystyle {\alpha }}$是角加速度。

一般物件的動能是${\displaystyle K={\frac {1}{2}}mv^{2}}$。將速度${\displaystyle v}$和質量${\displaystyle m}$，用轉動力學的定義取代：

${\displaystyle v=\omega r}$，

${\displaystyle m={\frac {I}{r^{2}}}}$

得出

${\displaystyle K={\frac {1}{2}}\left({\frac {I}{r^{2}}}\right)(\omega r)^{2}}$，

簡化得

${\displaystyle K={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}}$。

如果一個人坐在一張可轉動的椅子，雙手拿重物，張開雙手，轉動椅子，然後突然將手縮到胸前，轉動的速度將突然增加，因為轉動慣量減少了。

平行軸定理是說，如果一個質量為${\displaystyle m}$的物件，以某條經過质心${\displaystyle A}$點的直線為軸，其轉動慣量為${\displaystyle I_{A}}$。在空間取點${\displaystyle B}$，使得${\displaystyle AB}$垂直於原本的軸。那麼如果以經過${\displaystyle B}$、平行於原本的軸的直線為軸，${\displaystyle AB}$的距離為${\displaystyle d}$，則${\displaystyle I_{B}=I_{A}+md^{2}}$。

垂直轴定理是说，如果一个平面物件，以该平面内两条互相垂直、交于${\displaystyle A}$点的直线为轴，转动惯量分别为${\displaystyle I_{1}}$、${\displaystyle I_{2}}$，则它以过${\displaystyle A}$点且垂直于该平面的直线为轴的转动惯量${\displaystyle I_{3}=I_{1}+I_{2}}$。

伸展定则是说，如果一个物件中的任一质点沿平行于某条轴的方向发生任意位移，该物件对该轴的转动惯量不变。

對於三維空間中任意一参考點${\displaystyle Q}$與以此参考點為原點的直角坐標系${\displaystyle Qxyz}$，一個剛體的慣性張量${\displaystyle \mathbf {I} \,\!}$是

${\displaystyle \mathbf {I} ={\begin{bmatrix}I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}\\I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}\\I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}\end{bmatrix}}\,\!}$。（1）

這裏，矩陣的對角元素${\displaystyle I_{xx}\,\!}$、${\displaystyle I_{yy}\,\!}$、${\displaystyle I_{zz}\,\!}$分別為對於${\displaystyle x}$-軸、${\displaystyle y}$-軸、${\displaystyle z}$-軸的轉動慣量。設定${\displaystyle (x,\ y,\ z)\,\!}$為微小質量${\displaystyle dm\,\!}$對於點${\displaystyle Q}$的相對位置。則這些轉動慣量以方程式定義為

${\displaystyle I_{xx}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int \ (y^{2}+z^{2})\ dm\,\!}$，

${\displaystyle I_{yy}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int \ (x^{2}+z^{2})\ dm\,\!}$，（2）

${\displaystyle I_{zz}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int \ (x^{2}+y^{2})\ dm\,\!}$。

矩陣的非對角元素，稱為慣量積，以方程式定義為

${\displaystyle I_{xy}=I_{yx}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\int \ xy\ dm\,\!}$，

${\displaystyle I_{xz}=I_{zx}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\int \ xz\ dm\,\!}$，（3）

${\displaystyle I_{yz}=I_{zy}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\int \ yz\ dm\,\!}$。

導引

圖A

如圖${\displaystyle A}$，一個剛體對於質心${\displaystyle G}$與以點${\displaystyle G}$為原點的直角座標系${\displaystyle Gxyz}$的角動量${\displaystyle \mathbf {L} _{G}\,\!}$定義為

${\displaystyle \mathbf {L} _{G}=\int \ \mathbf {r} \times \mathbf {v} \ dm\,\!}$。

這裏，${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$代表微小質量${\displaystyle dm\,\!}$在${\displaystyle Gxyz}$座標系的位置，${\displaystyle \mathbf {v} \,\!}$代表微小質量的速度。因為速度是角速度${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\,\!}$叉積位置，所以，

${\displaystyle \mathbf {L} _{G}=\int \ \mathbf {r} \times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )\ dm\,\!}$。

計算${\displaystyle x}$-軸分量，

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{Gx}&=\int \ y({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )_{z}-z({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )_{y}\ dm\\&=\int \ y\omega _{x}y-y\omega _{y}x+z\omega _{x}z-z\omega _{z}x\ dm\\&=\int \ \omega _{x}(y^{2}+z^{2})-\omega _{y}xy-\omega _{z}xz\ dm\\&=\omega _{x}\int \ (y^{2}+z^{2})\ dm-\omega _{y}\int \ xy\ dm-\omega _{z}\int \ xz\ dm\ .\end{aligned}}\,\!}$

相似地計算${\displaystyle y}$-軸與${\displaystyle z}$-軸分量，角動量為

${\displaystyle L_{Gx}=\omega _{x}\int \ (y^{2}+z^{2})\ dm-\omega _{y}\int \ xy\ dm-\omega _{z}\int \ xz\ dm\,\!}$，

${\displaystyle L_{Gy}=-\omega _{x}\int \ xy\ dm+\omega _{y}\int \ (x^{2}+z^{2})\ dm-\omega _{z}\int \ yz\ dm\,\!}$，

${\displaystyle L_{Gz}=-\omega _{x}\int \ xz\ dm-\omega _{y}\int \ yz\ dm+\omega _{z}\int \ (x^{2}+y^{2})\ dm\,\!}$。

如果，我們用方程式（1）設定對於質心${\displaystyle G}$的慣性張量${\displaystyle \mathbf {I} _{G}\,\!}$，讓角速度${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\,\!}$為${\displaystyle (\omega _{x}\;,\;\omega _{y}\;,\;\omega _{z})\,\!}$，那麼，

${\displaystyle \mathbf {L} _{G}=\mathbf {I} _{G}\ {\boldsymbol {\omega }}\,\!}$。（4）

平行軸定理

主条目：平行軸定理

平行軸定理能夠很簡易的，從對於一個以質心為原點的座標系統的慣性張量，轉換至另外一個平行的座標系統。假若已知剛體對於質心${\displaystyle G}$的慣性張量${\displaystyle \mathbf {I} _{G}\,\!}$，而質心${\displaystyle G}$的位置是${\displaystyle ({\bar {x}},\ {\bar {y}},\ {\bar {z}})\,\!}$，則剛體對於原點${\displaystyle O}$的慣性張量${\displaystyle \mathbf {I} \,\!}$，依照平行軸定理，可以表述為

${\displaystyle I_{xx}=I_{G,xx}+m({\bar {y}}^{2}+{\bar {z}}^{2})\,\!}$，

${\displaystyle I_{yy}=I_{G,yy}+m({\bar {x}}^{2}+{\bar {z}}^{2})\,\!}$，（5）

${\displaystyle I_{zz}=I_{G,zz}+m({\bar {x}}^{2}+{\bar {y}}^{2})\,\!}$，

${\displaystyle I_{xy}=I_{yx}=I_{G,xy}-m{\bar {x}}{\bar {y}}\,\!}$，

${\displaystyle I_{xz}=I_{zx}=I_{G,xz}-m{\bar {x}}{\bar {z}}\,\!}$，（6）

${\displaystyle I_{yz}=I_{zy}=I_{G,yz}-m{\bar {y}}{\bar {z}}\,\!}$。

證明：

圖B

a)參考圖B，讓${\displaystyle (x\,',\ y\,',\ z\,')\,\!}$、${\displaystyle (x,\ y,\ z)\,\!}$分別為微小質量${\displaystyle dm\,\!}$對質心${\displaystyle G}$與原點${\displaystyle O}$的相對位置：

${\displaystyle y=y\,'+{\bar {y}}\,\!}$，${\displaystyle z=z\,'+{\bar {z}}\,\!}$。

依照方程式（2），

${\displaystyle I_{G,xx}=\int \ (y\,'\,^{2}+z\,'\,^{2})\ dm\,\!}$

${\displaystyle I_{xx}=\int \ (y^{2}+z^{2})\ dm\,\!}$。

所以，

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{xx}&=\int \ \ dm\\&=I_{G,xx}+m({\bar {y}}^{2}+{\bar {z}}^{2})\ .\\\end{aligned}}\,\!}$

相似地，可以求得${\displaystyle I_{yy}\,\!}$、${\displaystyle I_{zz}\,\!}$的方程式。

b)依照方程式（3），

${\displaystyle I_{G,xy}=-\int \ x\,'y\,'\ dm\,\!}$。

${\displaystyle I_{xy}=-\int \ xy\ dm\,\!}$。

因為${\displaystyle x=x\,'+{\bar {x}}\,\!}$，${\displaystyle y=y\,'+{\bar {y}}\,\!}$，所以

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{xy}&=-\int \ (x\,'+{\bar {x}})(y\,'+{\bar {y}})\ dm\\&=I_{G,xy}-m{\bar {x}}{\bar {y}}\ .\\\end{aligned}}\,\!}$

相似地，可以求得對於點${\displaystyle O}$的其他慣量積方程式。

對於任意軸的轉動慣量

圖C

參視圖C，設定點${\displaystyle O}$為直角座標系的原點，點${\displaystyle Q}$為三維空間裏任意一點，${\displaystyle Q}$不等於${\displaystyle O}$。思考一個剛體，對於${\displaystyle OQ}$-軸的轉動慣量是

${\displaystyle I_{OQ}\ =\int \ \rho ^{2}\ dm\ =\ \int \ \left|{\boldsymbol {\eta }}\times \mathbf {r} \right|^{2}\ dm\,\!}$。

這裏，${\displaystyle \rho \,\!}$是微小質量${\displaystyle dm\,\!}$離${\displaystyle OQ}$-軸的垂直距離，${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}\,\!}$是沿著${\displaystyle OQ}$-軸的單位向量，${\displaystyle \mathbf {r} =(x,\ y,\ z)\,\!}$是微小質量${\displaystyle dm\,\!}$的位置。

展開叉積，

${\displaystyle I_{OQ}=\int \ \ dm\,\!}$。

稍微加以編排，

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{OQ}=&\eta _{x}^{2}\int \ (y^{2}+z^{2})\ dm+\eta _{y}^{2}\int \ (x^{2}+z^{2})\ dm+\eta _{z}^{2}\int \ (x^{2}+y^{2})\ dm\\&-2\eta _{x}\eta _{y}\int \ xy\ dm-2\eta _{x}\eta _{z}\int \ xz\ dm-2\eta _{y}\eta _{z}\int \ yz\ dm\ .\\\end{aligned}}\,\!}$

特別注意，從方程式（2）、（3），這些積分項目，分別是剛體對於${\displaystyle x}$-軸、${\displaystyle y}$-軸、${\displaystyle z}$-軸的轉動慣量與慣量積。因此，

${\displaystyle I_{OQ}=\eta _{x}^{2}I_{xx}+\eta _{y}^{2}I_{yy}+\eta _{z}^{2}I_{zz}+2\eta _{x}\eta _{y}I_{xy}+2\eta _{x}\eta _{z}I_{xz}+2\eta _{y}\eta _{z}I_{yz}\,\!}$。（7）

如果已經知道，剛體對於直角座標系的三個座標軸，${\displaystyle x}$-軸、${\displaystyle y}$-軸、${\displaystyle z}$-軸的轉動慣量。那麼，對於${\displaystyle OQ}$-軸的轉動慣量，可以用此方程式求得。

圖A

如圖${\displaystyle A}$，一個剛體對於質心${\displaystyle G}$與以點${\displaystyle G}$為原點的直角座標系${\displaystyle Gxyz}$的角動量${\displaystyle \mathbf {L} _{G}\,\!}$定義為

${\displaystyle \mathbf {L} _{G}=\int \ \mathbf {r} \times \mathbf {v} \ dm\,\!}$。

這裏，${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$代表微小質量${\displaystyle dm\,\!}$在${\displaystyle Gxyz}$座標系的位置，${\displaystyle \mathbf {v} \,\!}$代表微小質量的速度。因為速度是角速度${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\,\!}$叉積位置，所以，

${\displaystyle \mathbf {L} _{G}=\int \ \mathbf {r} \times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )\ dm\,\!}$。

計算${\displaystyle x}$-軸分量，

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{Gx}&=\int \ y({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )_{z}-z({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )_{y}\ dm\\&=\int \ y\omega _{x}y-y\omega _{y}x+z\omega _{x}z-z\omega _{z}x\ dm\\&=\int \ \omega _{x}(y^{2}+z^{2})-\omega _{y}xy-\omega _{z}xz\ dm\\&=\omega _{x}\int \ (y^{2}+z^{2})\ dm-\omega _{y}\int \ xy\ dm-\omega _{z}\int \ xz\ dm\ .\end{aligned}}\,\!}$

相似地計算${\displaystyle y}$-軸與${\displaystyle z}$-軸分量，角動量為

${\displaystyle L_{Gx}=\omega _{x}\int \ (y^{2}+z^{2})\ dm-\omega _{y}\int \ xy\ dm-\omega _{z}\int \ xz\ dm\,\!}$，

${\displaystyle L_{Gy}=-\omega _{x}\int \ xy\ dm+\omega _{y}\int \ (x^{2}+z^{2})\ dm-\omega _{z}\int \ yz\ dm\,\!}$，

${\displaystyle L_{Gz}=-\omega _{x}\int \ xz\ dm-\omega _{y}\int \ yz\ dm+\omega _{z}\int \ (x^{2}+y^{2})\ dm\,\!}$。

如果，我們用方程式（1）設定對於質心${\displaystyle G}$的慣性張量${\displaystyle \mathbf {I} _{G}\,\!}$，讓角速度${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\,\!}$為${\displaystyle (\omega _{x}\;,\;\omega _{y}\;,\;\omega _{z})\,\!}$，那麼，

${\displaystyle \mathbf {L} _{G}=\mathbf {I} _{G}\ {\boldsymbol {\omega }}\,\!}$。（4）

平行軸定理能夠很簡易的，從對於一個以質心為原點的座標系統的慣性張量，轉換至另外一個平行的座標系統。假若已知剛體對於質心${\displaystyle G}$的慣性張量${\displaystyle \mathbf {I} _{G}\,\!}$，而質心${\displaystyle G}$的位置是${\displaystyle ({\bar {x}},\ {\bar {y}},\ {\bar {z}})\,\!}$，則剛體對於原點${\displaystyle O}$的慣性張量${\displaystyle \mathbf {I} \,\!}$，依照平行軸定理，可以表述為

${\displaystyle I_{xx}=I_{G,xx}+m({\bar {y}}^{2}+{\bar {z}}^{2})\,\!}$，

${\displaystyle I_{yy}=I_{G,yy}+m({\bar {x}}^{2}+{\bar {z}}^{2})\,\!}$，（5）

${\displaystyle I_{zz}=I_{G,zz}+m({\bar {x}}^{2}+{\bar {y}}^{2})\,\!}$，

${\displaystyle I_{xy}=I_{yx}=I_{G,xy}-m{\bar {x}}{\bar {y}}\,\!}$，

${\displaystyle I_{xz}=I_{zx}=I_{G,xz}-m{\bar {x}}{\bar {z}}\,\!}$，（6）

${\displaystyle I_{yz}=I_{zy}=I_{G,yz}-m{\bar {y}}{\bar {z}}\,\!}$。

證明：

圖B

a)參考圖B，讓${\displaystyle (x\,',\ y\,',\ z\,')\,\!}$、${\displaystyle (x,\ y,\ z)\,\!}$分別為微小質量${\displaystyle dm\,\!}$對質心${\displaystyle G}$與原點${\displaystyle O}$的相對位置：

${\displaystyle y=y\,'+{\bar {y}}\,\!}$，${\displaystyle z=z\,'+{\bar {z}}\,\!}$。

依照方程式（2），

${\displaystyle I_{G,xx}=\int \ (y\,'\,^{2}+z\,'\,^{2})\ dm\,\!}$

${\displaystyle I_{xx}=\int \ (y^{2}+z^{2})\ dm\,\!}$。

所以，

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{xx}&=\int \ \ dm\\&=I_{G,xx}+m({\bar {y}}^{2}+{\bar {z}}^{2})\ .\\\end{aligned}}\,\!}$

相似地，可以求得${\displaystyle I_{yy}\,\!}$、${\displaystyle I_{zz}\,\!}$的方程式。

b)依照方程式（3），

${\displaystyle I_{G,xy}=-\int \ x\,'y\,'\ dm\,\!}$。

${\displaystyle I_{xy}=-\int \ xy\ dm\,\!}$。

因為${\displaystyle x=x\,'+{\bar {x}}\,\!}$，${\displaystyle y=y\,'+{\bar {y}}\,\!}$，所以

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{xy}&=-\int \ (x\,'+{\bar {x}})(y\,'+{\bar {y}})\ dm\\&=I_{G,xy}-m{\bar {x}}{\bar {y}}\ .\\\end{aligned}}\,\!}$

相似地，可以求得對於點${\displaystyle O}$的其他慣量積方程式。

圖C

參視圖C，設定點${\displaystyle O}$為直角座標系的原點，點${\displaystyle Q}$為三維空間裏任意一點，${\displaystyle Q}$不等於${\displaystyle O}$。思考一個剛體，對於${\displaystyle OQ}$-軸的轉動慣量是

${\displaystyle I_{OQ}\ =\int \ \rho ^{2}\ dm\ =\ \int \ \left|{\boldsymbol {\eta }}\times \mathbf {r} \right|^{2}\ dm\,\!}$。

這裏，${\displaystyle \rho \,\!}$是微小質量${\displaystyle dm\,\!}$離${\displaystyle OQ}$-軸的垂直距離，${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}\,\!}$是沿著${\displaystyle OQ}$-軸的單位向量，${\displaystyle \mathbf {r} =(x,\ y,\ z)\,\!}$是微小質量${\displaystyle dm\,\!}$的位置。

展開叉積，

${\displaystyle I_{OQ}=\int \ \ dm\,\!}$。

稍微加以編排，

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{OQ}=&\eta _{x}^{2}\int \ (y^{2}+z^{2})\ dm+\eta _{y}^{2}\int \ (x^{2}+z^{2})\ dm+\eta _{z}^{2}\int \ (x^{2}+y^{2})\ dm\\&-2\eta _{x}\eta _{y}\int \ xy\ dm-2\eta _{x}\eta _{z}\int \ xz\ dm-2\eta _{y}\eta _{z}\int \ yz\ dm\ .\\\end{aligned}}\,\!}$

特別注意，從方程式（2）、（3），這些積分項目，分別是剛體對於${\displaystyle x}$-軸、${\displaystyle y}$-軸、${\displaystyle z}$-軸的轉動慣量與慣量積。因此，

${\displaystyle I_{OQ}=\eta _{x}^{2}I_{xx}+\eta _{y}^{2}I_{yy}+\eta _{z}^{2}I_{zz}+2\eta _{x}\eta _{y}I_{xy}+2\eta _{x}\eta _{z}I_{xz}+2\eta _{y}\eta _{z}I_{yz}\,\!}$。（7）

如果已經知道，剛體對於直角座標系的三個座標軸，${\displaystyle x}$-軸、${\displaystyle y}$-軸、${\displaystyle z}$-軸的轉動慣量。那麼，對於${\displaystyle OQ}$-軸的轉動慣量，可以用此方程式求得。

因為慣性張量${\displaystyle \mathbf {I} \,\!}$是個實值的三維對稱矩陣，我們可以用對角線化，將慣量積變為零，使慣性張量成為一個對角矩陣。所得到的三個特徵值必是正實值；三個特徵向量必定互相正交。

換另外一種方法，我們需要解析特徵方程式

${\displaystyle \mathbf {I} \ {\boldsymbol {\omega }}=\lambda \;{\boldsymbol {\omega }}\,\!}$。（8）

也就是以下行列式等於零的的三次方程式：

${\displaystyle \mathbf {I} ={\begin{vmatrix}I_{xx}-\lambda &I_{xy}&I_{xz}\\I_{yx}&I_{yy}-\lambda &I_{yz}\\I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}-\lambda \end{vmatrix}}\,\!}$ 。

這方程式的三個根${\displaystyle \lambda _{1}\,\!}$、${\displaystyle \lambda _{2}\,\!}$、${\displaystyle \lambda _{3}\,\!}$都是正實的特徵值。將特徵值代入方程式（8），再加上方向餘弦方程式，

${\displaystyle \omega _{x}^{2}+\omega _{y}^{2}+\omega _{z}^{2}=1\,\!}$，

我們可以求到特徵向量${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\omega }}}_{1}\,\!}$、${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\omega }}}_{2}\,\!}$、${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\omega }}}_{3}\,\!}$。這些特徵向量都是剛體的慣量主軸；而這些特徵值則分別是剛體對於慣量主軸的主轉動慣量。

假設${\displaystyle x}$-軸、${\displaystyle y}$-軸、${\displaystyle z}$-軸分別為一個剛體的慣量主軸，這剛體的主轉動慣量分別為${\displaystyle I_{x}\,\!}$、${\displaystyle I_{y}\,\!}$、${\displaystyle I_{z}\,\!}$，角速度是${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\,\!}$。那麼，角動量為

${\displaystyle \mathbf {L} =(I_{x}\omega _{x}\;,\;I_{y}\omega _{y}\;,\;I_{z}\omega _{z})\,\!}$。

剛體的動能${\displaystyle K\,\!}$可以定義為

${\displaystyle K={\frac {1}{2}}m{\bar {v}}^{2}+{\frac {1}{2}}\int \ v^{2}\ dm\,\!}$，

這裏，${\displaystyle {\bar {v}}\,\!}$是剛體質心的速度，${\displaystyle v\,\!}$是微小質量${\displaystyle dm\,\!}$相對於質心的速度。在方程式裏，等號右邊第一個項目是剛體平移運動的動能，第二個項目是剛體旋轉運動的動能${\displaystyle K\,\!'\,\!}$。由於這旋轉運動是繞著質心轉動的，

${\displaystyle K\,\!'={\frac {1}{2}}\int \ ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )\cdot ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )\ dm\,\!}$。

這裏，${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\,\!}$是微小質量${\displaystyle dm\,\!}$繞著質心的角速度，${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$是${\displaystyle dm\,\!}$對於質心的相對位置。

應用向量恆等式，可以得到

${\displaystyle K\,\!'={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \int \ \mathbf {r} \times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )\ dm={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {L} \,\!}$。

或者，用矩陣來表達，

${\displaystyle K\,\!'={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}^{\operatorname {T} }\ \mathbf {I} \ {\boldsymbol {\omega }}\,\!}$。

所以，剛體的動能為

${\displaystyle K={\frac {1}{2}}m{\bar {v}}^{2}+{\frac {1}{2}}(I_{xx}{\omega _{x}}^{2}+I_{yy}{\omega _{y}}^{2}+I_{zz}{\omega _{z}}^{2}+2I_{xy}\omega _{x}\omega _{y}+2I_{xz}\omega _{x}\omega _{z}+2I_{yz}\omega _{y}\omega _{z})\,\!}$。（9）

假設${\displaystyle x}$-軸、${\displaystyle y}$-軸、${\displaystyle z}$-軸分別為一個剛體的慣量主軸，這剛體的主轉動慣量分別為${\displaystyle I_{x}\,\!}$、${\displaystyle I_{y}\,\!}$、${\displaystyle I_{z}\,\!}$，角速度是${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\,\!}$。那麼，剛體的動能為

${\displaystyle K={\frac {1}{2}}m{\bar {v}}^{2}+{\frac {1}{2}}(I_{x}{\omega _{x}}^{2}+I_{y}{\omega _{y}}^{2}+I_{z}{\omega _{z}}^{2})\,\!}$。（10）

細長棒子的轉动惯量是${\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\frac {1}{12}}\,m\ell ^{2}\end{smallmatrix}}}$

當自轉軸移到末端，轉动惯量是${\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\frac {1}{3}}\,m\ell ^{2}\end{smallmatrix}}}$

利用線密度${\displaystyle {\begin{smallmatrix}\lambda ={\frac {m}{\ell }}\end{smallmatrix}}}$可輕易計算出細長棒子沿質心（CM）自轉的转动惯量。

${\displaystyle {\begin{smallmatrix}m=\lambda x\end{smallmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{smallmatrix}dm=\lambda dx\end{smallmatrix}}}$

${\displaystyle I_{\text{CM}}=\int r^{2}dm=\lambda \int _{-\ell /2}^{\ell /2}x^{2}dx={\frac {m}{\ell }}\ ({\frac {1}{3}}x^{3}){\bigg |}_{-\ell /2}^{\ell /2}={\frac {1}{12}}\,m\ell ^{2}}$

當自轉軸移到末端，轉动惯量變成：

${\displaystyle I_{\text{end}}=\int r^{2}dm=\lambda \int _{0}^{\ell }x^{2}dx={\frac {m}{\ell }}\ ({\frac {1}{3}}x^{3}){\bigg |}_{0}^{\ell }={\frac {1}{3}}\,m\ell ^{2}}$

${\displaystyle I_{\text{end}}=I_{\text{CM}}+MD^{2}={\frac {1}{12}}\,m\ell ^{2}+m({\frac {\ell }{2}})^{2}={\frac {1}{3}}\,m\ell ^{2}}$