超平面

在數學中，超平面（Hyperplane）是n維歐氏空間中，餘維度為1的子空間。即超平面是n維空間中的n-1維的子空間。它是平面中的直線、空間中的平面之推廣。

設 ${\displaystyle F}$ 為域（為初等起見，可考慮 ${\displaystyle F=\mathbb {R} }$）。n 維空間 ${\displaystyle F^{n}}$ 中的超平面是由方程

${\displaystyle a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=b}$

定義的子集，其中 ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in F}$ 是不全為零的常數。

在線性代數的脈絡下，${\displaystyle F}$-向量空間 ${\displaystyle V}$ 中的超平面是指形如

${\displaystyle \{v\in V:f(v)=0\}}$

的子空間，其中 ${\displaystyle f:V\to F}$ 是任一非零的線性映射。

在射影幾何中，同樣可定義射影空間 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ 中的超平面。在齊次坐標 ${\displaystyle (x_{0}:\cdots :x_{n})}$ 下，超平面可由以下方程定義

${\displaystyle a_{0}x_{0}+\cdots +a_{n}x_{n}=0}$

其中 ${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}$ 是不全為零的常數。