菲涅耳积分

菲涅耳積分可由下面兩個級數求得，對所有x均收斂。

${\displaystyle S(x)=\int _{0}^{x}\sin(t^{2})\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+3}}{(2n+1)!(4n+3)}},}$

${\displaystyle C(x)=\int _{0}^{x}\cos(t^{2})\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+1}}{(2n)!(4n+1)}}.}$

用來計算Fresnel integrals的扇形路徑

C和S的值當變數趨近於無窮大時，可用複變分析的方法求得。用以下這個函數的路徑積分：

${\displaystyle e^{-z^{2}}}$

在複數平面上的一個扇型的邊界，其中下邊繞著正x軸，上半邊是沿著y = x, x ≥ 0的路徑，外圈則是一個半徑為R，中心在原點的弧形。

當R趨近於無窮大時，路徑積分沿弧形的部分將趨近於零，而實數軸部分的積分將可由高斯積分

${\displaystyle \int _{y-axis}^{}e^{-z^{2}}dz=\int _{0}^{\infty }e^{-t^{2}}dt={\frac {\sqrt {\pi }}{2}},}$

並且經過簡單的計算後，第一象限平分線的那條積分便可以變成菲涅耳積分。

${\displaystyle \int _{slope}^{}exp(-z^{2})dz=\int _{0}^{\infty }\exp(-t^{2}e^{i\pi /2})e^{i\pi /4}dt=e^{i\pi /4}(\int _{0}^{\infty }\cos(-z^{2})dz+i\int _{0}^{\infty }\sin(-z^{2})dz)}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\cos t^{2}\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{\infty }\sin t^{2}\,\mathrm {d} t={\frac {\sqrt {2\pi }}{4}}={\sqrt {\frac {\pi }{8}}}.}$

下列一些包含菲涅耳積分的关系式

• ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-at}sin(t^{2})}$${\displaystyle =(1/4)*{\sqrt {(}}2)*{\sqrt {(}}\pi )*(cos((1/4)*a^{2})*(1-2*FresnelC((1/2)*a*{\sqrt {(}}2)/{\sqrt {(}}\pi )))+sin((1/4)*a^{2})*(1-2*FresnelS((1/2)*a*{\sqrt {(}}2)/{\sqrt {(}}Pi))))}$

• ${\displaystyle \int (sin(ax^{2}+2bx+c)dx=}$${\displaystyle {\frac {{\sqrt {(}}2)*{\sqrt {(}}\pi )*(cos((b^{2}-a*c)/a)*FresnelS({\sqrt {(}}2)*(a*x+b)/({\sqrt {(}}\pi )*{\sqrt {(}}a)))-sin((b^{2}-a*c)/a)*FresnelC({\sqrt {(}}2)*(a*x+b)/({\sqrt {(}}\pi )*{\sqrt {(}}a))))}{2{\sqrt {(}}a)}}}$
• ${\displaystyle \int (FresnelC(t)dt=FresnelC(t)*t-{\frac {sin((1/2)*\pi *t^{2})}{\pi }}}$
• ${\displaystyle \int (FesnelS(t)dt=FresnelS(t)*t+{\frac {cos((1/2)*\pi *t^{2})}{\pi }}}$
• ${\displaystyle {\frac {dFresnelC(t)}{dt}}=cos((1/2)*\pi *t^{2})}$
• ${\displaystyle {\frac {dFresnelS(t)}{dt}}=sin((1/2)*\pi *t^{2})}$

• 奥古斯丁·菲涅耳
• 羊角螺线