玻尔兹曼分布

波茲曼分布是狀態能量與系統溫度的函數，給出了粒子處於特定狀態下的機率。其具有以下形式：

${\displaystyle p_{i}={\frac {e^{-{\varepsilon }_{i}/kT}}{\sum _{j=1}^{M}{e^{-{\varepsilon }_{j}/kT}}}}}$

其中${\displaystyle p_{i}}$為量子態i的機率，${\displaystyle \epsilon _{i}}$為量子態i之能量， ${\displaystyle k}$為波茲曼常數，${\displaystyle T}$為系統溫度，${\displaystyle M}$為系統可具有的量子態數目。 分母的部分是對系統所有量子態進行總和，而此部分又被稱為配分函數，通常以Q（在某些書中為Z）表示：

${\displaystyle Q={\sum _{i=1}^{M}{e^{-{\varepsilon }_{i}/kT}}}}$

因此波茲曼分布也可寫成：

${\displaystyle p_{i}={\frac {1}{Q}}{e^{-{\varepsilon }_{i}/kT}}}$

若是知道系統中各狀態的能量，可以直接計算此系統的配分函數。各種原子的配分函數可以在NIST Atomic Spectra Database找到。

從分布的形式可以看出，低能量的狀態比起高能量的狀態具有較高的分布機率。同時也能定量地比較兩能階分布機率的關係：

${\displaystyle {\frac {p_{i}}{p_{j}}}=e^{({\varepsilon }_{j}-{\varepsilon }_{i})/kT}}$

波茲曼分布通常用於描述粒子的分布，例如原子與分子在各種量子態的分布情形。在多個粒子的情況下，能階的分布機率即對應到處於該能階的粒子數的期望值：

${\displaystyle p_{i}={\frac {N_{i}}{N}}}$

其中${\displaystyle N_{i}}$為處於i能階中的粒子數，${\displaystyle N}$為系統中的粒子總數。帶入波茲曼分布後得到：

${\displaystyle {\frac {N_{i}}{N}}={\frac {e^{-{\varepsilon }_{i}/kT}}{\sum _{j=1}^{M}{e^{-{\varepsilon }_{j}/kT}}}}}$

這個表達式在光譜學中有重要的應用。光譜中的譜線位置代表粒子量子態轉移的能量。為了使譜線強度足夠，必須有足量粒子處於高量子態，對此可以透過上述表達式確定粒子分布與系統溫度、能階差的關係，得到恰當的系統參數。

波茲曼分布可應用熱平衡的孤立（或近似孤立）系統。最一般的情況為正則系綜的機率分布，而在某些特殊情況下（衍生自正則系綜）也有相關的應用。

在數學上，波茲曼函數更廣義的形式為吉布斯測度。在統計學與機器學習中又被稱為對數-線性模型。在深度学习中，玻尔兹曼分布被用于随机神经网络的采样分布，例如玻尔兹曼机，受限玻尔兹曼机和深度玻尔兹曼机。

• 玻色–爱因斯坦统計
• 费米-狄拉克统計
• 負温度
• Softmax函数