正常重力

正常椭球外部的重力场分布，红色表示椭球表面，蓝色表示等位面，而绿色则表示正常椭球的铅垂线。可见短轴附近的等位面比长轴附近的等位面更为密集，表面前者梯度更大，正常重力值也越大。

正常重力值在两极最大，在赤道处最小，随纬度降低呈递减趋势，相对于赤道面对称而与经度无关。椭球面上几个特殊的重力值分别为：

符号	数值	含义	参考文献
${\displaystyle \gamma _{e}}$	${\displaystyle 9.780\,326\,7715\,{\text{m}}\cdot {\text{s}}^{-2}}$	椭球赤道处的正常重力值	:117
${\displaystyle \gamma _{p}}$	${\displaystyle 9.832\,186\,3685\,{\text{m}}\cdot {\text{s}}^{-2}}$	椭球极点处的正常重力值	:117
${\displaystyle \gamma _{45}}$	${\displaystyle 9.806\,199\,203\,{\text{m}}\cdot {\text{s}}^{-2}}$	椭球45°纬线处的正常重力值
${\displaystyle {\bar {\gamma }}}$	${\displaystyle 9.797\,644\,656\,{\text{m}}\cdot {\text{s}}^{-2}}$	整个椭球面上的平均正常重力值

设正常椭球体在其外部空间产生的正常重力位为 ${\displaystyle U}$，则正常重力矢量被定义为该正常重力位的梯度：^:68

${\displaystyle {\boldsymbol {\gamma }}=\nabla U}$

在椭球坐标系 ${\displaystyle (u,\beta ,\lambda )}$ 中，正常重力矢量的三个分量具体表示为：^:68

• ${\displaystyle \gamma _{u}={1 \over w}{\partial U \over \partial u}}$
• ${\displaystyle \gamma _{\beta }={1 \over w{\sqrt {u^{2}+E^{2}}}}{\partial U \over \partial \beta }}$
• ${\displaystyle \gamma _{\lambda }={1 \over {\sqrt {u^{2}+E^{2}}}\cos \beta }{\partial U \over \partial \lambda }=0}$

上式中的 ${\displaystyle w={\sqrt {u^{2}+E^{2}\sin ^{2}\beta \over u^{2}+E^{2}}}}$ 是为简化公式而引入的辅助量^:67，${\displaystyle E}$ 是椭球的半焦距^:39。又因正常重力位 ${\displaystyle U}$ 与经度无关，所以正常重力矢量的经度分量为零。

由正常重力的数学表达式可以得出，正常重力的值可以根据正常重力位 ${\displaystyle U}$ 的偏导数，以及正常椭球体本身的几何性质得到。而正常椭球体的确定只需要四个基本参数：椭球的半长轴 ${\displaystyle a}$、几何扁率 ${\displaystyle f}$、赤道上的正常重力值 ${\displaystyle \gamma _{e}}$，以及地球自转的角速度 ${\displaystyle \omega }$ ，其他的几何参数可以由上述基本参数确定：^:79

• 椭球的半短轴 ${\displaystyle b=a(1-f)}$
• 椭球的第一偏心率 ${\displaystyle e={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}/a=2f-f^{2}}$
• 椭球的第二偏心率 ${\displaystyle e={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}/b}$

亦有一些坐标系统会选择其他的基本参数，例如GRS80椭球选用的是地心引力常数 ${\displaystyle GM}$ 、地球动力学形状因子 ${\displaystyle J_{2}}$、地球自转角速度 ${\displaystyle \omega }$ 和椭球的半长轴 ${\displaystyle a}$ ，但其他的椭球参数仍能由这些基本参数计算而得。

数值形式

采用不同的椭球参数和不同的表达形式，正常重力公式可以有不同的数值计算形式，常用的几条公式包括：

说明	时间	公式	精度	参考文献
由国际大地测量协会推荐使用	1930年	${\displaystyle \gamma =9.780\,490\,(1+0.005\,2884\sin ^{2}\varphi -0.000\,0059\sin ^{4}2\varphi )\,{\text{m}}\cdot {\text{s}}^{-2}}$		:78
由国际大地测量与地球物理联合会推荐使用 使用于GRS80坐标系	1979年	${\displaystyle \gamma =9.780\,327\,(1+0.005\,3024\sin ^{2}\varphi -0.000\,0058\sin ^{4}2\varphi )\,{\text{m}}\cdot {\text{s}}^{-2}}$	${\displaystyle 0.1\,{\text{mgal}}}$
使用于WGS84坐标系	1984年	${\displaystyle \gamma =9.780\,325\,3359\left\,{\text{m}}\cdot {\text{s}}^{-2}}$		:4-1

法国数学家克莱罗在其发表于1743年的著作中给出了地球的几何扁率 ${\displaystyle f}$ 与重力扁率 ${\displaystyle f^{*}}$ 之间的对应关系，即克莱罗定理。在顾及至扁率的平方项的情况下，该定理可表述为：

${\displaystyle f+f^{*}={5 \over 2}{\omega ^{2}b \over \gamma _{e}}(1+{9 \over 35}{e'}^{2})}$

重力扁率 ${\displaystyle f^{*}}$ 的定义与几何扁率类似，其由椭球赤道处的重力 ${\displaystyle \gamma _{e}}$ 和椭球极点处的重力 ${\displaystyle \gamma _{p}}$ 决定 ：^:76

• ${\displaystyle f^{*}={\gamma _{p}-\gamma _{e} \over \gamma _{e}}}$
• ${\displaystyle \gamma _{e}={GM \over a^{2}}\left(1+m+{3 \over 7}{e'}^{2}m\right)}$
• ${\displaystyle \gamma _{p}={GM \over ab}\left(1-{3 \over 2}m-{3 \over 14}{e'}^{2}m\right)}$

其中 ${\displaystyle m={\omega ^{2}a^{2}b \over GM}}$^:69，且有 ${\displaystyle {\omega ^{2}b \over \gamma _{e}}=m+{3 \over 2}m^{2}}$^:76。

克莱罗定理给出了椭球赤道处的正常重力值和极点处的正常重力值，而椭球面上其他纬度的正常重力则可由正常重力公式计算得到，这一公式由索米里安在1929年给出：^:70

${\displaystyle \gamma ={a\gamma _{p}\sin ^{2}\beta +b\gamma _{e}\cos ^{2}\beta \over {\sqrt {a^{2}\sin ^{2}\beta +b^{2}\cos ^{2}\beta }}}}$

其中 ${\displaystyle \beta }$ 是椭球面上某点的归化纬度，顾及到大地纬度 ${\displaystyle \varphi }$ 与归化纬度 ${\displaystyle \beta }$ 存在如下转换关系：

${\displaystyle \tan \beta ={b \over a}\tan \varphi }$

则正常重力公式也可以表达成大地纬度 ${\displaystyle \varphi }$ 的函数：

${\displaystyle \gamma ={a\gamma _{e}\cos ^{2}\varphi +b\gamma _{p}\sin ^{2}\varphi \over {\sqrt {a^{2}\cos ^{2}\varphi +b^{2}\sin ^{2}\varphi }}}}$

正常重力公式也可以展开为几何扁率 ${\displaystyle f}$ 的级数，其截断形式为：^:77

${\displaystyle \gamma =\gamma _{e}(1+f_{2}\sin ^{2}\varphi +f_{4}\sin ^{4}\varphi )}$

其中的系数为：

• ${\displaystyle f_{2}=-f+{5 \over 2}m+{1 \over 2}f^{2}-{26 \over 7}fm+{15 \over 4}m^{2}}$
• ${\displaystyle f_{4}=-{1 \over 2}f^{2}+{5 \over 2}fm}$

这一公式也可写为：

${\displaystyle \gamma =\gamma _{e}(1+f^{*}\sin ^{2}\varphi -{1 \over 4}f_{4}\sin ^{4}2\varphi )}$

其中的 ${\displaystyle f^{*}=f_{2}+f_{4}}$ 为上述提到的重力扁率。

正常重力公式还可以闭合形式表达：^:4-1

${\displaystyle \gamma =\gamma _{e}{1+k\sin ^{2}\varphi \over {\sqrt {1-e^{2}sin^{2}\varphi }}}}$

其中的系数 ${\displaystyle k}$ 为：

${\displaystyle k={b\gamma _{p}-a\gamma _{e} \over a\gamma _{e}}}$

采用不同的椭球参数和不同的表达形式，正常重力公式可以有不同的数值计算形式，常用的几条公式包括：

说明	时间	公式	精度	参考文献
由国际大地测量协会推荐使用	1930年	${\displaystyle \gamma =9.780\,490\,(1+0.005\,2884\sin ^{2}\varphi -0.000\,0059\sin ^{4}2\varphi )\,{\text{m}}\cdot {\text{s}}^{-2}}$		:78
由国际大地测量与地球物理联合会推荐使用 使用于GRS80坐标系	1979年	${\displaystyle \gamma =9.780\,327\,(1+0.005\,3024\sin ^{2}\varphi -0.000\,0058\sin ^{4}2\varphi )\,{\text{m}}\cdot {\text{s}}^{-2}}$	${\displaystyle 0.1\,{\text{mgal}}}$
使用于WGS84坐标系	1984年	${\displaystyle \gamma =9.780\,325\,3359\left\,{\text{m}}\cdot {\text{s}}^{-2}}$		:4-1

在椭球面外部不远处，其正常重力 ${\displaystyle \gamma _{h}}$ 可以在其沿法线到椭球面上投影处展开为正常高 ${\displaystyle h}$ 的级数：^:78

${\displaystyle \gamma _{h}=\gamma +{\partial \gamma \over \partial h}h+{1 \over 2}{\partial ^{2}\gamma \over \partial h^{2}}h^{2}+\cdots }$

由广义布隆斯方程，椭球面的外部空间的重力梯度与椭球面（水准面）的平均曲率半径 ${\displaystyle J}$ 的关系为：^:78

${\displaystyle {\partial \gamma \over \partial h}=-2\gamma J-2\omega ^{2}=-{2\gamma \over a}\left(1+f+m-2f\sin ^{2}\varphi \right)}$

又二次导数 ${\displaystyle \partial ^{2}\gamma /\partial h^{2}}$是微小量，可以将其近似近似于在球面外部微分（即以半长轴 ${\displaystyle a}$ 代替 ${\displaystyle r}$），得到：^:78

${\displaystyle {\partial ^{2}\gamma \over \partial h^{2}}={6GM \over a^{4}}={6\gamma \over a^{2}}}$

得到正常重力的向上延拓公式为：^:79

${\displaystyle \gamma _{h}=\gamma \left}$

上式的数值形式近似为：^:27

${\displaystyle \gamma _{h}=\gamma -0.3086h+0.72\times 10^{-7}h^{2}}$

• 重力异常
• 布隆斯公式

• 似大地水准面