有限元分析

有限元法最初起源于土木工程和航空工程中的弹性和结构分析问题的研究。它的发展可以追溯到Alexander Hrennikoff（1941）和Richard Courant (1942)的工作。这些先驱者使用的方法具有很大的差异，但是他们具有共同的本质特征：利用网格离散化将一个连续区域转化为一族离散的子区域，通常叫做元.Hrennikoff的工作离散用类似于格子的网格离散区域; Courant的方法将区域分解为有限个三角形的子区域，用于求解来源于圆柱体转矩问题的二阶橢圓偏微分方程. Courant的贡献推动了有限元的发展，绘制了早期偏微分方程的研究结果。

有限元方法的发展开始于五十年代中后期使用在机身框架和结构分析上，并于六十年代通过斯图加特大学的John Argyris和柏克萊加州大學的Ray W. Clough在土木工程中的应用工作中积累经验。

基于五十年代至六十年代大型水坝计算研究的实践经验，1965年，中国计算数学专家冯康发表了《基于变分原理的差分格式》一文，奠定了有限元计算方法的严格数学理论，为后世有限元计算方法的实际应用提供了理论保证。

单元（Element）是由节点组成的几何体，如三角形单元，四面体单元等。

节点（Node）是单元几何体的端点、顶点或特定点，单元的各物理量变化均体现在节点上，例如在弹性力学问题中，一个有两个节点的线单元的质量集中在两个节点上，受力也只能作用在节点上，变形也用节点的位移表示。

节点自由度（Degree of Freedom，簡寫 DoF），是节点上变量的个数，例如用位移法解结构问题时节点自由度为3，表示单个节点上三个坐标方向上的位移，又例如热分析时节点自由度为1，表示某个节点处的温度值。

网格（Mesh）是由多个单元通过共用节点组成的单元网络，用以表示待解问题域。

以下用有限元分析解决两个简单问题，更一般的问题可以类似的推导出来。

P1是一个较简单的一维问题

${\displaystyle {\mbox{ P1 }}:{\begin{cases}u''(x)=f(x){\mbox{ in }}(0,1),\\u(0)=u(1)=0,\end{cases}}}$

其中${\displaystyle f}$是已知函数, ${\displaystyle u}$是关于${\displaystyle x}$的未知函数, ${\displaystyle u''}$是${\displaystyle u}$对${\displaystyle x}$的二阶导数。

二维比较简单的问题是狄利克雷问题

${\displaystyle {\mbox{P2 }}:{\begin{cases}u_{xx}(x,y)+u_{yy}(x,y)=f(x,y)&{\mbox{ in }}\Omega ,\\u=0&{\mbox{ on }}\partial \Omega ,\end{cases}}}$

其中${\displaystyle \Omega }$是${\displaystyle (x,y)}$平面上的连通开区域，它的边界${\displaystyle \partial \Omega }$是良好的（例如，光滑流形或多边形）, ${\displaystyle u_{xx}}$和${\displaystyle u_{yy}}$分别表示${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$的二阶导数。问题P1能够通过计算不定积分而直接解决。然而，解决边值问题的这一方法只有在空间维数为1时才可用，并且不能推广到高维问题以及形如${\displaystyle u+u''=f}$的问题。出于这种考虑，我们将用有限元方法解决P1并将其推广至问题P2.

我们的描述分为两步，每步都反映了用有限元解决边值问题的本质。

• 将原问题描述为它的弱形式，或变分形式。这一步很少或不需要计算。
• 离散化，将弱形式在有限维空间离散化。

这两步之后，我们可以构造一个大型有限维线性方程，线性方程的解就是原边值问题的逼近解。然后，这一有限维问题由计算机求解。

第一步是将问题P1和P2转化为他的等价变分形式，或弱解形式。如果${\displaystyle u}$是问题P1的解，那么对任何满足边界条件的光滑函数${\displaystyle v}$ ,有

（1）${\displaystyle \int _{0}^{1}f(x)v(x)\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}u''(x)v(x)\,\mathrm {d} x}$

相反如果 ${\displaystyle u}$对任何光滑函数${\displaystyle v(x)}$满足${\displaystyle u(0)=u(1)=0}$和（1），那么${\displaystyle u}$是P1的解。对于二次可导函数${\displaystyle u}$证明这一点是非常容易的（利用中值定理）。

通过对（1）的右侧使用分部积分，可以得到

（2）${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}f(x)v(x)\,\mathrm {d} x&=\int _{0}^{1}u''(x)v(x)\,\mathrm {d} x\\&=u'(x)v(x)|_{0}^{1}-\int _{0}^{1}u'(x)v'(x)\,\mathrm {d} x\\&=-\int _{0}^{1}u'(x)v'(x)\,\mathrm {d} x=-\phi (u,v)\end{aligned}}}$

其中假设${\displaystyle v(0)=v(1)=0}$。

f當我們使用格林恆等式來表示式（2）， P2可以 ${\displaystyle u}$的積分型式表示，在此定義 ${\displaystyle \phi (u,v)}$

${\displaystyle \int _{\Omega }fv\,ds=-\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v\,ds\equiv -\phi (u,v),}$

此處 ${\displaystyle \nabla }$代表梯度，即為二維平面上的內積 。另外 ${\displaystyle \,\!\phi }$可以轉為内积空间 ${\displaystyle H_{0}^{1}(\Omega )}$ ，且 ${\displaystyle \Omega }$的一次微分函數 ${\displaystyle \partial \Omega }$為零。我們也可以假設 ${\displaystyle v\in H_{0}^{1}(\Omega )}$ （詳見索伯列夫空间） 也可以顯示解的存在性和唯一性。

A function in ${\displaystyle H_{0}^{1},}$ with zero values at the endpoints (blue), and a piecewise linear approximation (red)

P1 和 P2 通過上述過程被离散化，並簡化為 子問題 (3)。 基本思路是將無限維線性問題替換掉：

找到 ${\displaystyle u\in H_{0}^{1}}$ 使

${\displaystyle \forall v\in H_{0}^{1},\;-\phi (u,v)=\int fv}$

表示唯有限維度的形式：

子問題(3) Find ${\displaystyle u\in V}$ such that

${\displaystyle \forall v\in V,\;-\phi (u,v)=\int fv}$

此處 ${\displaystyle V}$ 是${\displaystyle H_{0}^{1}}$的一個有限維度線性子空間。${\displaystyle V}$有許多可能的形式，但對於有限元素而言，在此將假定${\displaystyle V}$存在於分段多項式函數的空間中。

對於 P1

在此在區間 ${\displaystyle (0,1)}$之中選擇 ${\displaystyle n}$個${\displaystyle x}$的可能值 ${\displaystyle 0=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}<x_{n+1}=1}$ 接著定義${\displaystyle V}$ 為：

${\displaystyle V=\{v:\rightarrow \mathbb {R} \;:v{\mbox{ is continuous, }}v|_{}{\mbox{ is linear for }}k=0,\dots ,n{\mbox{, and }}v(0)=v(1)=0\}}$

令e ${\displaystyle x_{0}=0}$ 和 ${\displaystyle x_{n+1}=1}$。觀察到在 ${\displaystyle V}$ 之中的函數根據微積分的基本定義是不可微分的。 當然，當 ${\displaystyle v\in V}$，則通常不定義 ${\displaystyle x=x_{k}}$，${\displaystyle k=1,\ldots ,n}$的導數，但導數事實上存在於每一個${\displaystyle x}$的位置，並可以利用這些導數來進行部分積分運算。

兩種不同維度（二維及三維空間）的分段線性函數

在此在區間 ${\displaystyle (0,1)}$之中選擇 ${\displaystyle n}$個${\displaystyle x}$的可能值 ${\displaystyle 0=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}<x_{n+1}=1}$ 接著定義${\displaystyle V}$ 為：

${\displaystyle V=\{v:\rightarrow \mathbb {R} \;:v{\mbox{ is continuous, }}v|_{}{\mbox{ is linear for }}k=0,\dots ,n{\mbox{, and }}v(0)=v(1)=0\}}$

令e ${\displaystyle x_{0}=0}$ 和 ${\displaystyle x_{n+1}=1}$。觀察到在 ${\displaystyle V}$ 之中的函數根據微積分的基本定義是不可微分的。 當然，當 ${\displaystyle v\in V}$，則通常不定義 ${\displaystyle x=x_{k}}$，${\displaystyle k=1,\ldots ,n}$的導數，但導數事實上存在於每一個${\displaystyle x}$的位置，並可以利用這些導數來進行部分積分運算。

兩種不同維度（二維及三維空間）的分段線性函數

${\displaystyle V}$ 是屬於 ${\displaystyle \Omega }$的一系列函數。 在右圖中，圖片下半部是一個15邊形的平面${\displaystyle \Omega }$的三角分割，以及該多邊形的分段線性函數（圖片上半部彩色部份），即 在三角分割所形成的每個三角形上呈線性； 空間${\displaystyle V}$則由在所在的三角分割的每個三角形上的函數線性組合而成。

我們希望當下面的三角形網格變得越來越精細，離散子問題（3）的解在某種意義上將收斂到原始邊界值問題P2的解。 為了測量此網格的細度，三角分割由一很小的實數${\displaystyle h>0}$所表示。此參數將與三角分割中最大或平均三角形的大小有關。 當我們提高三角分割的精度時（分割出更多三角形），分段線性函數的空間${\displaystyle V}$應會隨${\displaystyle h}$變動。因此，在某些文獻中會以${\displaystyle V_{h}}$來代表。

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