普朗克单位制

每一個單位制都有一組基本單位。（在國際單位制裏，長度的基本單位是公尺）在普朗克單位制裏，長度的基本單位是普朗克長度，時間的基本單位是普朗克時間，等等。這些單位都是由表1的五個基礎物理常數衍生的。表2展示出這些基本普朗克單位。

表1：基礎物理常數

常數	符號	因次	國際單位等值與不確定度
真空光速	${\displaystyle c\,\!}$	${\displaystyle {\frac {\mathrm {L} }{\mathrm {T} }}\,\!}$	299 792 458m s−1
萬有引力常數	${\displaystyle G\,\!}$	${\displaystyle {\frac {\mathrm {L} ^{3}}{\mathrm {M} \mathrm {T} ^{2}}}\,\!}$	6.674 08(31)×10−11 m3 kg−1 s−2
約化普朗克常數	${\displaystyle \hbar \,\!}$	${\displaystyle {\frac {\mathrm {L} ^{2}\mathrm {M} }{\mathrm {T} }}\,\!}$	1.054 571 800(13)×10−34 J s
庫侖常數	${\displaystyle {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\,\!}$	${\displaystyle {\frac {\mathrm {L} ^{3}\mathrm {M} }{\mathrm {T} ^{2}\mathrm {Q} ^{2}}}\,\!}$	8 987 551 787.368 1764 N m2 C−2
波茲曼常數	${\displaystyle k_{B}\,\!}$	${\displaystyle {\frac {\mathrm {L} ^{2}\mathrm {M} }{\mathrm {T} ^{2}\Theta }}\,\!}$	1.380 648 52(79)×10−23 J K−1

字鍵：${\displaystyle \mathrm {L} \,\!}$ = 長度，${\displaystyle \mathrm {T} \,\!}$ = 時間，${\displaystyle \mathrm {M} \,\!}$ = 質量，${\displaystyle \mathrm {Q} \,\!}$ = 電荷，${\displaystyle \Theta \,\!}$ = 溫度。因為定義的關係，光速與庫侖常數的數值是精確值，不存在误差。

表2：基本普朗克單位

單位名稱	因次	表達式	國際單位等值與不確定度
普朗克長度	${\displaystyle \mathrm {L} \,\!}$	${\displaystyle l_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{3}}}}\,\!}$	1.616 229(38)×10−35 m
普朗克質量	${\displaystyle \mathrm {M} \,\!}$	${\displaystyle m_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar c}{G}}}\,\!}$	2.176 470(51)×10−8 kg
普朗克時間	${\displaystyle \mathrm {T} \,\!}$	${\displaystyle t_{\text{P}}={\frac {l_{\text{P}}}{c}}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{5}}}}\,\!}$	5.391 16(13)×10−44 s
普朗克電荷	${\displaystyle \mathrm {Q} \,\!}$	${\displaystyle q_{\text{P}}={\sqrt {\hbar c4\pi \epsilon _{0}}}\,\!}$	1.875 545  956(41)×10−18 C
普朗克溫度	${\displaystyle \Theta \,\!}$	${\displaystyle T_{\text{P}}={\frac {m_{\text{P}}c^{2}}{k}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{Gk^{2}}}}\,\!}$	1.416 808(33)×1032 K

使用普朗克單位後，表1的五個基礎物理常數的數值都約化為1，因此表2的普朗克長度，普朗克質量，普朗克時間，普朗克電荷，與普朗克溫度這些計量也都約化為1。這可以無因次地表達為

因為${\displaystyle G=c=\hbar ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}=k_{B}=1\,\!}$，所以${\displaystyle l_{\text{P}}=m_{\text{P}}=t_{\text{P}}=q_{\text{P}}=T_{\text{P}}=1\,\!}$。

在任何單位系統裏，許多物理量的單位是由基本單位衍生的。表3展示了一些在理論物理研究裏常見的衍生普朗克單位。實際上，大多數普朗克單位不是太大，就是太小，並不適合於實驗或任何實際用途。

表3：衍生普朗克單位

單位名	因次	表達式	國際單位等值
普朗克面積	${\displaystyle \mathrm {L} ^{2}\,\!}$	${\displaystyle l_{P}^{2}={\frac {\hbar G}{c^{3}}}\,\!}$	2.61223×10-70 m2
普朗克動量	${\displaystyle {\frac {\mathrm {L} \mathrm {M} }{\mathrm {T} }}\,\!}$	${\displaystyle m_{P}c={\frac {\hbar }{l_{P}}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{3}}{G}}}\,\!}$	6.52485kg m/s
普朗克能量	${\displaystyle {\frac {\mathrm {L} ^{2}\mathrm {M} }{\mathrm {T} ^{2}}}\,\!}$	${\displaystyle E_{P}=m_{P}c^{2}={\frac {\hbar }{t_{P}}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{G}}}\,\!}$	1.9561×109 J
普朗克力	${\displaystyle {\frac {\mathrm {L} \mathrm {M} }{\mathrm {T} ^{2}}}\,\!}$	${\displaystyle F_{P}={\frac {E_{P}}{l_{P}}}={\frac {\hbar }{l_{P}t_{P}}}={\frac {c^{4}}{G}}\,\!}$	1.21027×1044 N
普朗克功率	${\displaystyle {\frac {\mathrm {L} ^{2}\mathrm {M} }{\mathrm {T} ^{3}}}\,\!}$	${\displaystyle P_{P}={\frac {E_{P}}{t_{P}}}={\frac {\hbar }{t_{P}^{2}}}={\frac {c^{5}}{G}}\,\!}$	3.62831×1052 W
普朗克密度	${\displaystyle {\frac {\mathrm {M} }{\mathrm {L} ^{3}}}\,\!}$	${\displaystyle \rho _{P}={\frac {m_{P}}{l_{P}^{3}}}={\frac {\hbar t_{P}}{l_{P}^{5}}}={\frac {c^{5}}{\hbar G^{2}}}\,\!}$	5.15500×1096 kg/m3
普朗克角頻率	${\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {T} }}\,\!}$	${\displaystyle \omega _{P}={\frac {1}{t_{P}}}={\sqrt {\frac {c^{5}}{\hbar G}}}\,\!}$	1.85487×1043 s−1
普朗克壓力	${\displaystyle {\frac {\mathrm {M} }{\mathrm {L} \mathrm {T} ^{2}}}\,\!}$	${\displaystyle p_{P}={\frac {F_{P}}{l_{P}^{2}}}={\frac {\hbar }{l_{P}^{3}t_{P}}}={\frac {c^{7}}{\hbar G^{2}}}\,\!}$	4.63309×10113 Pa
普朗克電流	${\displaystyle {\frac {\mathrm {Q} }{\mathrm {T} }}\,\!}$	${\displaystyle I_{P}={\frac {q_{P}}{t_{P}}}={\sqrt {\frac {c^{6}4\pi \epsilon _{0}}{G}}}\,\!}$	3.4789×1025 A
普朗克電壓	${\displaystyle {\frac {\mathrm {L} ^{2}\mathrm {M} }{\mathrm {Q} \mathrm {T} ^{2}}}\,\!}$	${\displaystyle V_{P}={\frac {E_{P}}{q_{P}}}={\frac {\hbar }{t_{P}q_{P}}}={\sqrt {\frac {c^{4}}{G4\pi \epsilon _{0}}}}\,\!}$	1.04295×1027 V
普朗克阻抗	${\displaystyle {\frac {\mathrm {L} ^{2}\mathrm {M} }{\mathrm {Q} ^{2}\mathrm {T} }}\,\!}$	${\displaystyle Z_{P}={\frac {V_{P}}{I_{P}}}={\frac {\hbar }{q_{P}^{2}}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}c}}={\frac {Z_{0}}{4\pi }}\,\!}$	29.9792458 Ω

嚴格地說，不同因次的物理量，雖然它們的數值可能相等，仍舊不能用在相等式的兩邊。但是，在理論物理學裏，為了簡化運算，我們可以把這顧慮放在一邊。簡化的過程稱為無因次化。表4展示出普朗克單位怎樣通过無因次化使許多物理方程式變得更簡單。

表4：物理方程式與其無因次形式

	通常形式	無因次的形式
萬有引力定律	${\displaystyle F=-G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}\,\!}$	${\displaystyle F=-{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}\,\!}$
薛丁格方程式	${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} ,\,t)+V(\mathbf {r} ,\,t)\psi (\mathbf {r} ,\,t)\,\!}$ ${\displaystyle =i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}(\mathbf {r} ,\,t)\,\!}$	${\displaystyle -{\frac {1}{2m}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} ,\,t)+V(\mathbf {r} ,\,t)\psi (\mathbf {r} ,\,t)\,\!}$ ${\displaystyle =i{\frac {\partial \psi }{\partial t}}(\mathbf {r} ,\,t)\,\!}$
普朗克關係式	${\displaystyle {E=\hbar \omega }\ \,\!}$	${\displaystyle {E=\omega }\ \,\!}$
狹義相對論的質能方程式	${\displaystyle {E=mc^{2}}\ \,\!}$	${\displaystyle {E=m}\ \,\!}$
廣義相對論的愛因斯坦場方程式	${\displaystyle {G_{\mu \nu }=8\pi {G \over c^{4}}T_{\mu \nu }}\ \,\!}$	${\displaystyle {G_{\mu \nu }=8\pi T_{\mu \nu }}\ \,\!}$
一個粒子的每個自由度的熱能	${\displaystyle {E={\frac {1}{2}}k_{B}T}\ \,\!}$	${\displaystyle {E={\frac {1}{2}}T}\ \,\!}$
庫侖定律	${\displaystyle F={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}\,\!}$	${\displaystyle F={\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}\,\!}$
麦克斯韦方程組	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {1}{\epsilon _{0}}}\rho \,\!}$ ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0\ \,\!}$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\,\!}$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\,\!}$	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =4\pi \rho \ \,\!}$ ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0\ \,\!}$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\,\!}$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =4\pi \mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\,\!}$

• 因次分析
• 物理常數
• 普朗克尺寸
• 普朗克粒子
• 普朗克紀元
• 高斯單位制

• Barrow, John D. . New York: Pantheon Books. 2002. ISBN 0375422218. 這是本簡單易解的書.
• Duff, Michael, , ArΧiv e-prints, 2002 , 這篇文章評論基礎物理常數可能隨時間而改變
• Duff, Michael; Okun, L. B.; Veneziano, Gabriele, , Journal of High Energy Physics, 2002, 3: 023 , doi:10.1088/1126-6708/2002/03/023, 關於到底有幾個最基礎的物理常數的對話 引文使用过时参数coauthors (帮助)
• Planck, Max, , Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1899, 5: 440–480 , 除了普朗克電荷與普朗克常數以外，普朗克單位最先出現於這篇文章裡面。
• Penrose, Roger. . New York: Alfred A. Knopf. 2005: Section 31.1. ISBN 0679454438.