德鲁德模型

德鲁德模型最简单的分析，假设了电场${\displaystyle \mathbf {E} }$既是均匀的又是恒定的，且电子的热速度足够大，使得它们在碰撞之间仅仅积累了无穷小的动量${\displaystyle d\mathbf {p} }$，这平均每隔${\displaystyle \tau }$秒发生一次。

于是，在时间${\displaystyle t}$分离的电子自从它上一次碰撞将平均运动了${\displaystyle \tau }$秒，因此将积累了动量：

${\displaystyle d\langle \mathbf {p} \rangle =q\mathbf {E} \tau .}$

在它上一次碰撞期间，这个电子向前面反弹的机会将刚刚与向后面反弹的机会相等，因此所有对电子动量的之前的贡献都可以忽略，便得到表达式：

${\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle =q\mathbf {E} \tau .}$

代入以下关系：

${\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle =m\langle \mathbf {v} \rangle ,}$

${\displaystyle \mathbf {J} =nq\langle \mathbf {v} \rangle ,}$

便得出上面提到的欧姆定律的表述：

${\displaystyle \mathbf {J} =\left({\frac {nq^{2}\tau }{m}}\right)\mathbf {E} .}$

电子的运动也可以通过引入一个有效的阻力来描述。在时间${\displaystyle t=t_{0}+dt}$，电子的平均动量将为：

${\displaystyle \langle \mathbf {p} (t_{0}+dt)\rangle =\left(1-{\frac {dt}{\tau }}\right)\left(\langle \mathbf {p} (t_{0})\rangle +q\mathbf {E} dt+...\right),}$

由于平均来说，${\displaystyle (1-dt/\tau )}$个电子将不经历另外一次碰撞，而那些经历另外一次碰撞的电子将对总的动量仅有可忽略的贡献。

经过一番计算，便得出以下的微分方程：

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle \mathbf {p} (t)\rangle =q\mathbf {E} -{\frac {\langle \mathbf {p} (t)\rangle }{\tau }},}$

其中${\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle }$表示平均动量，m表示有效质量，q表示电子的电荷。这是一个非齐次微分方程，它的通解为：

${\displaystyle \langle \mathbf {p} (t)\rangle =q\tau \mathbf {E} +\mathbf {C} e^{-t/\tau }}$

于是，稳态解（${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle \mathbf {p} \rangle =0}$）为：

${\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle =q\tau \mathbf {E} ,}$

像上面一样，平均动量可以与平均速度有关，而这又可以与电流密度有关：

${\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle =m\langle \mathbf {v} \rangle ,}$

${\displaystyle \mathbf {J} =nq\langle \mathbf {v} \rangle ,}$

于是可以证明，物质满足欧姆定律，其直流电电导率为${\displaystyle \,\sigma _{0}}$：

${\displaystyle \mathbf {J} =\left({\frac {nq^{2}\tau }{m}}\right)\mathbf {E} .}$

德鲁德模型还可以预言在角频率为${\displaystyle \,\omega }$的时变电场的响应下的电流，在这种情况下：

${\displaystyle \sigma (\omega )={\frac {\sigma _{0}}{1+i\omega \tau }}.}$

这里假设了

${\displaystyle E(t)=\Re (E_{0}e^{i\omega t});}$

${\displaystyle J(t)=\Re (\sigma (\omega )E_{0}e^{i\omega t}).}$

还存在另一种惯例，所有方程中的${\displaystyle \,i}$都用${\displaystyle \,-i}$来代替。虚数部分表示电流落后于电场，这是由于电子大约需要时间${\displaystyle \,\tau }$来对电场的变化作出响应。这里德鲁德模型是应用于电子的；它既可以应用于电子，又可以应用于空穴，也就是说，半导体中的正电荷载流子。

这个简单、经典的德鲁德模型提供了金属中的直流电和交流电传导、霍尔效应，以及热传导的非常好的解释。这个模型也解释了1853年发现的魏德曼-弗朗茨定律。然而，它大大高估了金属的电子热容。实际上，金属和绝缘体在常温下的热容大致上相等。虽然模型可以应用于正电荷（空穴）载流子，像霍尔效应所验证的那样，它并不预言它们的存在。

德鲁德在最初的论文中犯了一个概念性的错误，他估计电导率仅有实际值的一半。

• 自由电子模型
• 阿诺·索末菲
• 经典和量子传导
• 电导率