微磁学

假定在铁磁体内某区域${\displaystyle dV}$中存在${\displaystyle N}$个磁矩

${\displaystyle \mu _{j},j=1,2,\cdots ,N}$。

那么区域内的平均磁矩可以表示为

${\displaystyle M(r)={\frac {\sum _{j=1}^{N}\mu _{j}}{dV}}}$。

连续性假设认为在铁磁体内任意一点，

${\displaystyle |M(r)|=M_{s}}$。

式中${\displaystyle M_{s}}$为饱和磁化强度。其意义在于小区域${\displaystyle V}$内可以近似地认为所有磁矩都是指向同一方向的。这是交换作用在小区域内的结果（交换作用倾向于使得磁矩指向同一方向）。连续性假设是微磁学的基础。

静微磁学的目标是求得平衡态下磁体内磁矩的空间分布情况。当温度低于居里温度时，由连续性假设，磁化强度的大小${\displaystyle |M|}$总是等于${\displaystyle M_{s}}$。所以问题简化为求磁矩的方向，或称约化磁化强度${\displaystyle m=M/M_{s}}$。 铁磁体内的总能量密度可表示为

${\displaystyle E=E_{\text{exch}}+E_{\text{anis}}+E_{\text{Z}}+E_{\text{demag}}}$

其中${\displaystyle E}$为总能量密度，${\displaystyle E_{\text{exch}}}$为交换能，${\displaystyle E_{\text{anis}}}$为各向异性能，${\displaystyle E_{\text{Z}}}$为赛曼能，${\displaystyle E_{\text{demag}}}$为退磁场能。

交换能是与磁矩之间的交换作用相关的能量。 交换能可表示为:${\displaystyle E_{\text{exch}}=A\int _{V}\left((\nabla m_{x})^{2}+(\nabla m_{y})^{2}+(\nabla m_{z})^{2}\right)\mathrm {d} V}$

式中${\displaystyle A}$为交换作用常数，${\displaystyle m_{x},m_{y},m_{z}}$是磁矩${\displaystyle m}$在三个方向上的分量。如前所述，交换作用倾向于使磁矩统一指向一个方向，因为在这时交换作用能最低。

各向异性能来自于材料的微观各向异性，与晶体结构的对称性有关。 各项异性能可表示为

${\displaystyle E_{\text{anis}}=\int _{V}F_{\text{anis}}(\mathbf {m} )\mathrm {d} V}$

式中${\displaystyle F_{anis}}$是各向异性能密度，与磁矩的指向方向有关。磁矩的指向方向为易轴时，各向异性能最低。

赛曼能来源于磁矩和外加磁场的作用。当磁矩与外场方向一致时，该能量最低。 赛曼能可表示为

${\displaystyle E_{\text{Z}}=-\mu _{0}\int _{V}\mathbf {M} \cdot \mathbf {H} _{\text{a}}\mathrm {d} V}$

其中${\displaystyle H_{a}}$是外加磁场，${\displaystyle \mu _{0}}$是真空磁导率。

退磁场是磁距在铁磁体内部给自己施加的场。 退磁场能可表示为

${\displaystyle E_{\text{demag}}=-{\frac {\mu _{0}}{2}}\int _{V}\mathbf {M} \cdot \mathbf {H} _{\text{d}}\mathrm {d} V}$

式中${\displaystyle H_{d}}$是退磁场。这个场的大小与方向是磁矩的分布决定的：

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {H} _{\text{d}}=-\nabla \cdot \mathbf {M} }$

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} _{\text{d}}=0}$

式中−∇·M又被称为磁荷密度。从式中可以看出，退磁场来源于磁矩M分布的不均匀性(若分布均匀则${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {M} =0}$)。这些方程的解是：

${\displaystyle \mathbf {H} _{\text{d}}=-{\frac {1}{4\pi }}\int _{V}\nabla \cdot \mathbf {M} {\frac {\mathbf {r} }{r^{3}}}\mathrm {d} V}$

式中r是从积分点指向观察点的矢量。

值得注意的是，在平衡态下，总能量最低，但并不代表每项能量都处于最低状态。实际上磁矩经常不均匀分布，以增加交换能的代价降低了退磁场能，而使得总能量最低。

动微磁学的研究对象是磁矩在等效场下随时间的演化过程。该过程可以由解朗道-利夫希茲-吉爾伯特方程式（Landau–Lifshitz–Gilbert, LLG)得出。

等效场是磁矩感受到的所有场的总和。它可以由以下公式描述：

${\displaystyle \mathbf {H} _{\mathrm {eff} }=-{\frac {1}{\mu _{0}M_{s}}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}E}{\mathrm {d} \mathbf {m} \mathrm {d} V}}}$

式中dE/dV是能量密度。

由能量密度的表达式，可以计算出：

${\displaystyle \mathbf {H} _{\mathrm {eff} }={\frac {2A}{\mu _{0}M_{s}}}\nabla ^{2}\mathbf {m} -{\frac {1}{\mu _{0}M_{s}}}{\frac {\partial F_{\text{anis}}}{\partial \mathbf {m} }}+\mathbf {H} _{\text{a}}+\mathbf {H} _{\text{d}}}$

LLG方程是磁矩的动力学方程。它描述了磁矩在等效场下的拉莫爾進動，以及一个阻尼项。 LLG方程可表示为

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial t}}=-|\gamma |\mathbf {m} \times \mathbf {H} _{\mathrm {eff} }+\alpha \mathbf {m} \times {\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial t}}}$

在数学上可以推出LLG方程等价于下面的方程（又称为LL方程）：

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial t}}=-{\frac {|\gamma |}{1+\alpha ^{2}}}\mathbf {m} \times \mathbf {H} _{\mathrm {eff} }-{\frac {\alpha |\gamma |}{1+\alpha ^{2}}}\mathbf {m} \times (\mathbf {m} \times \mathbf {H} _{\text{eff}})}$

式中${\displaystyle \gamma }$为旋磁比，${\displaystyle \alpha }$为Gilbert阻尼常数。

微磁学可用于计算机硬盘的磁头和磁介质、永磁体的研发。

早期由于计算机运算能力不足，对微磁学的研究以理论推导为主。80年代后随着计算机技术的进展，计算机模拟成为重要手段。常用的模拟软件有oommf、magpar等。最近几年随着GPU通用计算的发展，出现了一批GPU加速的模拟软件如mumax、GPMagnet和TetraMag等。

1963年William Fuller Brown Jr.发表了一篇关于反平行磁畴结构的文章，代表了这一领域的开端。

<references>

1. http://math.nist.gov/oommf/
2. http://www.magpar.net/
3. http://mumax.github.io/
4. https://www.goparallel.net/index.php/gp-software
5. http://www.fz-juelich.de/pgi/pgi-6/EN/Forschung/MagnetizationDynamics/Simulations/TetraMAG/_node.html
6. http://scitation.aip.org/content/aip/journal/jap/34/4/10.1063/1.1729489