圆周运动

• ${\displaystyle \theta =\omega t\ }$
• ${\displaystyle v=r\omega \ }$
• ${\displaystyle a=r\omega ^{2}\ }$
• ${\displaystyle \omega }={2\pi \over \ T\ }$

其中${\displaystyle v}$为速度，${\displaystyle a}$为角加速度, ${\displaystyle T}$为周期，${\displaystyle \omega }$为角速度（单位：rad/s）。

在运动平面中建立平面直角坐标系，并以圆心为原点，初位置的位置矢量${\displaystyle {\vec {r}}}$的方向为${\displaystyle x}$轴正方向。

变速圆周运动

物体做变速圆周运动时，切向速度和角速度都在变化

主条目：变速圆周运动

一般地，将作圆周运动的物体所受的合力分解为向心力（垂直于速度方向）和切向力（沿速度方向，使物体速度大小发生变化）。而物体在这两个方向上满足牛顿第二定律。

向心力的大小：

${\displaystyle F_{n}=ma_{n}=m{\frac {v^{2}}{r}}}$

${\displaystyle v}$是物体的速度，${\displaystyle r}$是运动轨迹的半径。

• ${\displaystyle \left|{\vec {x}}\right|=r\cos \theta =r\cos \omega t}$
• ${\displaystyle \left|{\vec {y}}\right|=r\sin \theta =r\sin \omega t}$

• ${\displaystyle \left|{\vec {V}}_{x}\right|={\frac {d{\vec {x}}}{dt}}={\frac {dr\cos \theta }{d\theta }}{\frac {d\theta }{dt}}=-r\omega \sin \omega t}$
• ${\displaystyle \left|{\vec {V}}_{y}\right|={\frac {d{\vec {y}}}{dt}}={\frac {dr\sin \theta }{d\theta }}{\frac {d\theta }{dt}}=r\omega \cos \omega t}$
• ${\displaystyle \omega ={\frac {d\theta }{dt}}}$

• ${\displaystyle {\vec {a}}_{x}={\frac {d{\vec {V}}_{x}}{dt}}=-{\vec {r}}\omega ^{2}\cos \omega t}$
• ${\displaystyle {\vec {a}}_{y}={\frac {d{\vec {V}}_{y}}{dt}}=-{\vec {r}}\omega ^{2}\sin \omega t}$
• ${\displaystyle \left|{\vec {a}}\right|={\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}=r\omega ^{2}={\frac {v^{2}}{r}}={\frac {4\pi ^{2}r}{T^{2}}}}$
• ${\displaystyle {\vec {v}}={\vec {\omega }}\times {\vec {r}}={\frac {2\pi {\vec {r}}}{T}}}$

将做圆周运动的质点受到的合力${\displaystyle F}$分解为切向力${\displaystyle F_{\tau }}$和法向力${\displaystyle F_{n}}$。

切向力产生切向加速度： ${\displaystyle F_{\tau }=ma_{\tau }}$

法向力产生法向加速度: ${\displaystyle F_{n}=ma_{n}}$

当质点做匀速圆周运动时，质点受到的合外力${\displaystyle F=F_{n}}$，此时${\displaystyle F}$又称向心力。

假设一个1千克的物体，以角速度1 rad·s⁻¹沿半径为1 m的匀速圆周运动。

• 该物体的速率为1 m·s⁻¹
• 向心加速度为1 m·s⁻²
• 该物体受到的向心力为1 kg·m·s⁻²，即1牛顿
• 该物体的动量为1 kg·m·s⁻¹
• 转动惯量为1 kg·m²
• 角动量为1 kg·m²·s⁻¹
• 动能为${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$焦耳
• 轨道的周长为${\displaystyle 2\pi }$ (≈6.283)米
• 运动的周期为${\displaystyle 2\pi }$秒
• 频率为${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}}$赫兹
• 從量子力學的觀點，系統在受激態的量子數大約為～9.48×10³⁵。

然后假设一个质量为${\displaystyle m}$的物体，以角速度${\displaystyle \omega }$沿半径为r的圆周运动。

• 速度${\displaystyle v=r\omega }$
• 向心加速度${\displaystyle a=r\omega ^{2}={\frac {v^{2}}{r}}}$
• 向心力${\displaystyle F=ma=rm\omega ^{2}={\frac {mv^{2}}{r}}}$
• 物体的动量${\displaystyle p=mv=rm\omega }$
• 转动惯量${\displaystyle I=r^{2}m}$
• 角动量${\displaystyle L=rmv=r^{2}m\omega =I\omega }$
• 动能${\displaystyle E={\frac {mv^{2}}{2}}={\frac {r^{2}m\omega ^{2}}{2}}={\frac {p^{2}}{2m}}={\frac {I\omega ^{2}}{2}}={\frac {L^{2}}{2I}}}$
• 轨道周长为${\displaystyle 2\pi r}$
• 运动周期${\displaystyle T={\frac {2\pi }{\omega }}}$
• 频率${\displaystyle f={\frac {1}{T}}}$. (常用希腊字母ν表示频率，但为了与表示速度的符号${\displaystyle v}$区分，这里使用${\displaystyle f}$表示频率)
• 量子数${\displaystyle J={\frac {2\pi L}{h}}}$（${\displaystyle h}$是普朗克常数）

物体做变速圆周运动时，切向速度和角速度都在变化

一般地，将作圆周运动的物体所受的合力分解为向心力（垂直于速度方向）和切向力（沿速度方向，使物体速度大小发生变化）。而物体在这两个方向上满足牛顿第二定律。

向心力的大小：

${\displaystyle F_{n}=ma_{n}=m{\frac {v^{2}}{r}}}$

${\displaystyle v}$是物体的速度，${\displaystyle r}$是运动轨迹的半径。

在圓周運動時，物體沿著一個曲率半徑固定的曲線運動。

${\displaystyle {\vec {r}}}$ 徑向量為：

${\displaystyle {\vec {r}}=R{\vec {e}}_{R}}$ 此處 ${\displaystyle {\vec {e}}_{R}}$ 是平行於徑向量的單位向量。

在極座標中，物體的速度可以用兩個分量表示：徑向分量和切線分量。當圓的半徑為常數且徑向分量的速度為零，則速度:

${\displaystyle {\vec {v}}=R{\dot {\varphi }}\cdot {\vec {e}}_{\varphi }}$

所以 ${\displaystyle v_{\varphi }=R\omega }$

物體的加速度也可以分解成徑向分量及切線分量：

${\displaystyle {\vec {a}}={\dot {\vec {v}}}=-R{\dot {\varphi }}^{2}{\vec {e}}_{R}+R{\ddot {\varphi }}{\vec {e}}_{\varphi }}$

我們可以看到向心加速度是徑向的分量，它是：

${\displaystyle a_{R}=R{\dot {\varphi }}^{2}=R\omega ^{2}}$

徑向分量可改變速度的大小:

${\displaystyle a_{\varphi }=R{\ddot {\varphi }}=R\varepsilon }$

我們可以使用複數來描述圓周運動。令${\displaystyle x}$軸表示實數，${\displaystyle y}$軸表示虛數，則物體的位置可以表示成在${\displaystyle z}$的複數向量：

${\displaystyle z=x+iy=R(\cos \varphi +i\sin \varphi )=Re^{i\varphi }}$

此處${\displaystyle i}$是虛數單位。

${\displaystyle \varphi =\varphi (t)}$是複數向量的實數部份，並且是時間的函數。

因為半徑是常數（定值）${\displaystyle {\dot {R}}={\ddot {R}}=0}$

所以速度是：

${\displaystyle v={\dot {z}}=iR{\dot {\varphi }}e^{i\varphi }=i\omega \cdot Re^{i\varphi }=i\omega z}$

而加速度則是：

${\displaystyle a=i{\dot {\omega }}z+i\omega {\dot {z}}=(i\varepsilon -\omega ^{2})z}$

• 角动量
• 向心力
• 離心力
• 慣性力
• 简谐运动
• 曲线运动
• 运动方程
• 时间导数
• 簡諧運動
• 地球靜止軌道
• 地球同步轨道
• 机弦
• 擺 (數學)

• Circular Motion （页面存档备份，存于） - 网上教科书（英文）